练习微积分中关于函数导数的计算与性质的问题。这些问题帮助您深入理解导数的性质。每个解答隐藏在可折叠下拉框中，您可以先独立练习，再查看步骤。
判断对错：若函数在 \(x = a\) 处连续，则它在 \(x = a\) 处有切线。
答案：错误。例如，函数 \(f(x) = |x|\) 在 \(x = 0\) 处连续，但在该点没有切线。
判断对错：函数在给定点处的导数等于该点处切线的斜率。
答案：正确。这直接来自导数的定义。
判断对错：若 \(f'\) 是 \(f\) 的导数，则 \(f\) 的反函数的导数是 \(f'\) 的反函数。
答案：错误。若 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的反函数，其导数为：
\[ g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}. \]判断对错：\(\ln(ax)\) 的导数为 \(\frac{1}{x}\)，其中 \(a\) 为常数。
答案：正确。
判断对错：罗尔定理是中值定理的一个特例。
答案：正确。
若 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + x\)，\(g\) 是 \(f\) 的反函数，则 \(g'(3)\) 等于：
(A) 10
(B) \(\dfrac{1}{10}\)
(C) 1
(D) 以上都不对
答案：(B)。利用 \(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\)，先通过解 \(f(x) = 3\) 求 \(g(3)\)：
\[ x^3 - 3x^2 + x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \Rightarrow g(3) = 3 \]再计算 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 1\) 并求值：
\[ f'(g(3)) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 1 = 10 \quad \Rightarrow \quad g'(3) = \frac{1}{10}. \]判断对错：\(f(x) = a^x\)（其中 \(a\) 为常数）的导数是 \(x a^{x-1}\)。
答案：错误。令 \(y = a^x\)，则 \(\ln y = x \ln a\)。对两边求导：
\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = y \ln a = a^x \ln a. \]