本页提供关于微积分中连续性与连续函数概念的问题及解答。这些问题旨在帮助您深入理解连续性。每个解答隐藏在可折叠下拉框中，您可以先独立练习，再查看步骤。
判断对错：若函数 \( f \) 满足 \[ \lim_{x \to a} f(x) \text{ 不存在}, \] 则 \( f \) 在 \( x = a \) 处不连续。
答案：正确。要使 \( f \) 在 \( x = a \) 处连续，\( \lim_{x \to a} f(x) \) 必须存在且等于 \( f(a) \)，且 \( f \) 必须在 \( x = a \) 处有定义。
判断对错：所有多项式函数都是连续的。
答案：正确。这由所有多项式处处连续这一定理得出。
若函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 处处连续，则
(A) \( \frac{f}{g}(x) \) 处处连续。
(B) \( \frac{f}{g}(x) \) 除 \( g(x) \) 的零点外处处连续。
(C) 需要更多信息才能回答此问题。
答案：(B)。函数 \( \frac{f}{g}(x) \) 在 \( g(x) \) 的零点处无定义。
若 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 处处连续，且
\[
f(1) = 2, \quad f(3) = -4, \quad f(4) = 8, \quad g(0) = 4, \quad g(3) = -6, \quad g(7) = 0,
\]
求 \( \lim_{x \to 3} (f + g)(x) \)。
(A) -10
(B) -11
(C) 无法确定
答案：(A)。由于 \( f \) 和 \( g \) 连续， \[ \lim_{x \to 3} (f+g)(x) = \lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 3} g(x) = f(3) + g(3) = -4 + (-6) = -10. \]
命题“若 \( f(x) = \sin x \)，则 \( f \) 连续”为真。以下哪一项也为真？ (A) 若 \( f(x) \neq \sin x \)，则 \( f \) 不连续。 (B) 若 \( f \) 不连续，则 \( f(x) \neq \sin x \)。 (C) 若 \( f \) 连续，则 \( f(x) = \sin x \)。
答案：(B)。这是已知命题的逆否命题。在逻辑中，“若 \( p \) 则 \( q \)”的逆否命题是“若非 \( q \) 则非 \( p \)”。
判断对错：若 \( f(x) \) 处处连续，则 \( |f(x)| \) 处处连续。
答案：正确。这由连续函数复合定理得出：\( f(x) \) 和 \( |x| \) 都处处连续。
判断对错：若 \( f(x) \) 处处连续，则 \( \sqrt{f(x)} \) 处处连续。
答案：错误。\( \sqrt{f(x)} \) 仅在 \( f(x) \ge 0 \) 处连续。
判断对错：若复合函数 \( f \circ g \) 在 \( x = a \) 处不连续，则要么 \( g \) 在 \( x = a \) 处不连续，要么 \( f \) 在 \( g(a) \) 处不连续。
答案：正确。这是连续函数复合定理的推论。