函数 f 的临界数 c 的条件是什么？

c 在 f 的定义域内，且 f'(c) = 0 或 f'(c) 不存在。

f(x) = |x| 是否有临界点？

有。f'(x) = x/|x| 在 x = 0 处不存在，因此 x = 0 是临界点。

临界点一定是局部极大值或极小值吗？

不一定。例如 f(x) = x^3 在 x = 0 处有临界点，但既不是局部极大值也不是极小值。

非临界点可能是局部极值吗？

不可能。这是费马定理的逆否命题：若 f(c) 是局部极值，则 c 必为临界数。

f(x) = x^3 + ax^2 + 3x 有两个不同临界数时 a 的范围？

由判别式 4a^2 - 36 > 0 得 a ∈ (-∞, -3) ∪ (3, +∞)。

函数的临界数 - 微积分问题与解答

问题 1

函数 \(f\) 的临界数 \(c\) 是 \(f\) 定义域内的一个数，使得：

(A) \(f'(c) = 0\)
(B) \(f'(c)\) 不存在
(C) 上述 (A) 或 (B)
(D) 以上都不对

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答案：(C)

问题 2

判断对错：函数 \(f(x) = |x|\) 没有临界点。

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答案：错误。

导数为

\[ f'(x) = \frac{x}{|x|} \]

它在 \(x = 0\) 处不存在。因此，\(x = 0\) 是临界点。

问题 3

判断对错：若 \(c\) 是临界数，则 \(f(c)\) 要么是局部极大值，要么是局部极小值。

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答案：错误。

例如，\(f(x) = x^3\) 在 \(x = 0\) 处有临界数，但 \(f(0)\) 既不是局部极大值也不是局部极小值。

问题 4

判断对错：若 \(c\) 不是临界数，则 \(f(c)\) 既不是局部极小值也不是局部极大值。

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答案：正确。

这是费马定理的逆否命题：若 \(f(c)\) 是局部极大值或极小值，则 \(c\) 必为临界数。

问题 5

使函数 \[ f(x) = x^3 + ax^2 + 3x \] 有两个不同临界数的参数 \(a\) 的取值范围是：

(A) \((- \infty , + \infty)\)
(B) \((- \infty , -3] \cup [3 , +\infty)\)
(C) \((0 , + \infty)\)
(D) 以上都不对

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答案：D

导数：

\[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3 \]

解 \(f'(x) = 0\) 求临界数。判别式为

\[ D = (2a)^2 - 4(3)(3) = 4a^2 - 36 \]

当 \(a \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\) 时 \(D > 0\)，给出两个不同解。

问题 6

若 \(f(x)\) 在 \(x = c\) 处有一个临界点，则：

(A) \(f(x - a)\) 在 \(x = c + a\) 处有一个临界点
(B) \(-f(x)\) 在 \(x = -c\) 处有一个临界点
(C) \(f(kx)\) 在 \(x = \frac{c}{k}\) 处有一个临界点
(D) 以上都不对
(E) 仅 (A) 和 (C)

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答案：(E)

水平平移图像会平移临界点。水平压缩 \(k\) 倍会将临界点缩放为 \(\frac{1}{k}\)。

函数的临界数

问题与解答

问题 1

问题 2

问题 3

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问题 5

问题 6

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