第二基本定理的内容是什么？

若 F(x) = ∫_a^x f(t)dt 且 f 连续，则 F'(x) = f(x)。

若 F(x) = ∫_(-2)^(3x) sin(t)dt，则 F'(x) 等于 sin(3x) 吗？

不相等。需用链式法则，F'(x) = sin(3x)·(3x)' = 3sin(3x)。

不能。被积函数在区间 [−1,1] 内的 x=0 处不连续，定理条件不满足。

以下是关于微积分两大基本定理的练习题。这些练习旨在帮助您更好地理解并应用这些定理。每个解答隐藏在可折叠下拉框中，您可以先独立练习，再查看步骤。事先复习定理内容可能会有所帮助。

判断对错：第二基本定理指出，若 \[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \] 则 \[ F'(x) = f(x). \]

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答案：正确。

判断对错：若 \[ F(x) = \int_{-2}^{3x} \sin(t) \, dt \] 则可用第二基本定理求出 \[ F'(x) = \sin(3x). \]

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答案：错误。

注意积分上限是 \(3x\) 而不是 \(x\)，因此积分形如

\[ F(x) = \int_{-2}^{u(x)} f(t) \, dt. \]

使用链式法则得

\[ F'(x) = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3 \sin(3x). \]

判断对错：利用第一基本定理 \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a), \] 可以计算 \[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx = -2. \]

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答案：错误。

积分区间 \([-1, 1]\) 包含 0，而 \( \frac{1}{x^2} \) 在 0 处不连续。因此该定理在此情形下不适用。