微积分极限：问题与详细解答

问题 1

判断对错：若函数 \( f \) 在 \( x = a \) 处无定义，则极限 \( \lim_{x \to a} f(x) \) 一定不存在。

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答案：错误。即使 \( f \) 在 \( x = a \) 处无定义，\( \lim_{x \to a} f(x) \) 仍可能存在，因为极限只依赖于 \( f \) 在 \( a \) 附近的行为，而非在 \( a \) 点本身。

问题 2

判断对错：若 \( f \) 和 \( g \) 是两个函数，满足 \[ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{且} \quad \lim_{x \to a} g(x) = +\infty, \] 则 \[ \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] \] 总是 0。

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答案：错误。无穷大不是数，因此 \( +\infty - \infty \) 是不定式。\( +\infty \) 和 \( -\infty \) 只是表示非常大或非常小的量的符号。

问题 3

判断对错：有理函数的图像可能穿过其竖直渐近线。

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答案：错误。竖直渐近线出现在使分母为 0 的 \( x \) 值处，函数在该处无定义。

问题 4

判断对错：函数的图像可能穿过其水平渐近线。

例如： \[ f(x) = \frac{x - 2}{(x - 1)(x + 3)} \] 分母的次数（2）高于分子（1），因此水平渐近线为 \( y = 0 \)。但图像在 \( x = 2 \) 处的 x 轴截距穿过了这条水平渐近线。

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答案：正确。

问题 5

若 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 满足 \[ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{且} \quad \lim_{x \to a} g(x) = 0, \] 则关于 \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)]\) 的哪些说法正确？

• (A) 总是 0
• (B) 永远不为 0
• (C) 可能为 \( +\infty \) 或 \( -\infty \)
• (D) 可能为有限值

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答案：(C) 和 (D)。例如： \[ f(x) = \frac{1}{x}, \; g(x) = 2x \quad \text{当 } x \to 0 \] \[ f(x) = \frac{1}{x^2}, \; g(x) = x \quad \text{当 } x \to 0 \]

问题 6

判断对错：若 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 和 \(\lim_{x \to a} g(x)\) 都存在，则 \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}. \]

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答案：错误。该等式仅在 \(\lim_{x \to a} g(x) \neq 0\) 时成立。

问题 7

判断对错：对任意多项式 \( p(x) \)，\(\lim_{x \to a} p(x) = p(a)\)。

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答案：正确。多项式是连续函数。

问题 8

判断对错：若 \(\lim_{x \to a^-} f(x) = L_1\) 且 \(\lim_{x \to a^+} f(x) = L_2\)，则 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 存在当且仅当 \(L_1 = L_2\)。

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答案：正确。这是极限的基本性质。

问题 9

判断对错：\(\lim_{x \to \infty} \sin x = \pm 1\)。

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答案：错误。\(\sin x\) 无限振荡，在 \(x \to \infty\) 或 \(x \to -\infty\) 时没有极限。\(\cos x\) 同理。