大学代数习题与答案
复合函数与反函数

• a) 求反函数 \( f^{-1}(x) \)：
  用 \( y \) 代替 \( f(x) \)：
  \[ y = \sqrt{x - 4} + 3 \]
  交换 \( x \) 与 \( y \)，互换输入与输出的角色：
  \[ x = \sqrt{y - 4} + 3 \]
  两边减去 3，分离平方根项：
  \[ x - 3 = \sqrt{y - 4} \]
  两边平方：
  \[ (x - 3)^2 = y - 4 \]
  两边加 4，解出 \( y \)：
  \[ y = (x - 3)^2 + 4 \]
  考虑原函数 \( f(x) \) 的值域 \([3, +\infty)\)，反函数的定义域限制为 \( x \geq 3 \)。因此：
  \[ f^{-1}(x) = (x - 3)^2 + 4 \quad \text{其中 } x \geq 3 \]
• b) 求 \( f^{-1} \) 的值域：
  反函数的值域等于原函数的定义域。由于 \( f(x) = \sqrt{x - 4} + 3 \) 的定义域要求 \( x - 4 \geq 0 \)（即 \( x \geq 4 \)），所以 \( f \) 的定义域为 \([4, +\infty)\)。因此，\( f^{-1} \) 的值域为： \[ [4, +\infty) \text{ } \]

• a) 求反函数 \( h^{-1}(x) \)：
  用 \( y \) 表示函数：
  \[ y = \dfrac{x - 1}{-x + 3} \]
  交换 \( x \) 与 \( y \)：
  \[ x = \dfrac{y - 1}{-y + 3} \]
  两边乘以 \((-y + 3)\) 以消去分母：
  \[ x(-y + 3) = y - 1 \]
  展开左边：
  \[ -xy + 3x = y - 1 \]
  移项，将所有含 \( y \) 的项收集到一边：
  \[ 3x + 1 = y + xy \]
  右边提取公因式 \( y \)：
  \[ 3x + 1 = y(x + 1) \]
  解出 \( y \)：
  \[ y = \dfrac{3x + 1}{x + 1} \]
  改写为标准分数形式：
  \[ h^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x + 1} \text{ } \]
• b) 求 \( h \) 的值域：
  函数 \( h \) 的值域等于其反函数 \( h^{-1} \) 的定义域。观察 \( h^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x + 1} \)，分母不能为零，即 \( x + 1 \neq 0 \)，或 \( x \neq -1 \)。因此，\( h^{-1} \) 的定义域（也就是 \( h \) 的值域）为： \[ (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \text{ } \]

• a) 求 \( (f \circ g)(x) \)：
  根据定义，\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)。将 \( g(x) = \dfrac{1}{x + 3} \) 代入 \( f(x) \)： \[ (f \circ g)(x) = \dfrac{ \dfrac{1}{x + 3} - 1}{ \dfrac{1}{x + 3} + 5} \] 为化简繁分数，分子分母同乘 \((x + 3)\)： \[ (f \circ g)(x) = \dfrac{\left( \dfrac{1}{x + 3} - 1\right)(x + 3)}{\left( \dfrac{1}{x + 3} + 5\right)(x + 3)} = \dfrac{1 - (x + 3)}{1 + 5(x + 3)} \] 展开并化简分子和分母： \[ = \dfrac{1 - x - 3}{1 + 5x + 15} = \dfrac{-x - 2}{5x + 16} = - \dfrac{x + 2}{5x + 16} \text{ } \]
• b) 求 \( f \circ g \) 的定义域：
  复合函数 \( f \circ g \) 的定义域包括所有在 \( g \) 的定义域内且使 \( g(x) \) 在 \( f \) 的定义域内的 \( x \) 值：
  1. 由内层函数 \( g(x) = \dfrac{1}{x + 3} \)，必须有 \( x + 3 \neq 0 \)，即 \( x \neq -3 \)。
  2. 由所得表达式 \( \dfrac{-x - 2}{5x + 16} \)，分母必须非零：\( 5x + 16 \neq 0 \implies x \neq - \dfrac{16}{5} \)。
  合并这些限制，\( f \circ g \) 的定义域为： \[ \left(-\infty, - \dfrac{16}{5}\right) \cup \left(- \dfrac{16}{5}, -3\right) \cup (-3, +\infty) \text{ } \]

求反函数 \( h^{-1}(x) \)，按以下系统步骤进行：

从定义 \( h(x) \) 的方程开始：
\[ y = f(x) + k \]
交换 \( x \) 与 \( y \) 以得到反函数关系：
\[ x = f(y) + k \]
两边减去 \( k \)，分离函数项 \( f(y) \)：
\[ x - k = f(y) \]
对两边同时应用反函数 \( f^{-1} \)：
\[ f^{-1}(x - k) = f^{-1}(f(y)) \]
由于 \( f^{-1}(f(y)) = y \)，得到：
\[ y = f^{-1}(x - k) \]
因此，反函数为：
\[ h^{-1}(x) = f^{-1}(x - k) \text{ } \]

求反函数 \( h^{-1}(x) \)，按以下代数步骤进行：

从 \( h(x) \) 的定义开始，用 \( y \) 代替 \( h(x) \)：
\[ y = Af(x - h) + k \]
交换 \( x \) 与 \( y \)，开始求反函数：
\[ x = Af(y - h) + k \]
减去 \( k \) 并除以 \( A \)，分离含 \( f(y - h) \) 的项：
\[ x - k = Af(y - h) \] \[ \dfrac{x - k}{A} = f(y - h) \]
对两边应用反函数 \( f^{-1} \) 以消去 \( f \)：
\[ f^{-1}\left( \dfrac{x - k}{A}\right) = f^{-1}(f(y - h)) \] \[ f^{-1}\left( \dfrac{x - k}{A}\right) = y - h \]
两边加上 \( h \)，解出 \( y \)：
\[ y = f^{-1}\left( \dfrac{x - k}{A}\right) + h \]
因此，反函数的表达式为：
\[ h^{-1}(x) = f^{-1}\left( \dfrac{x - k}{A}\right) + h \text{ } \]

• a) \( (f \circ g)(-4) = f(g(-4)) = f(2) = -2 \)
• b) \( (g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(-3) = -1 \)

• a) \( (f \circ h)(1) = f(h(1)) = f(2) = 6 \)
• b) \( (f \circ f)(0) = f(f(0)) = f(1) = 2 \)
• c) \( (f \circ h)(5) = f(h(5)) = f(26) = \text{未定义} \)
• d) \( (f \circ h^{-1})(5) = f(h^{-1}(5)) = f(2) = 6 \)
• e) \( (h \circ f^{-1})(6) = h(f^{-1}(6)) = h(2) = 5 \)