大学代数问题与习题及解答
圆的方程

半径为 \(r\)、圆心位于点 \((h , k)\) 的圆的标准方程为：

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]

本题中，半径 \(r = \frac{10}{2} = 5\)，\(h = -2\)，\(k = 3\)。

将这些值代入标准形式得：

\[(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\]

将给定方程中含 \(x\) 与 \(x^2\) 的项、含 \(y\) 与 \(y^2\) 的项分别分组：

\[(x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) = 5\]

在括号内配方：

\[(x^2 + 4x + 4 - 4) + (y^2 - 8y + 16 - 16) = 5\] \[(x + 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 = 5\] \[(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 5 + 4 + 16 = 25\]

将其与标准方程 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) 比较，可知圆心位于 \((-2 , 4)\)，半径 \(r = \sqrt{25} = 5\)。

由于圆与 \(x\) 轴相切，圆心到 \(x\) 轴的距离等于半径 \(4\)。同理，与 \(y\) 轴相切意味着圆心到 \(y\) 轴的距离也等于 \(4\)。

由于圆心位于第二象限，其坐标必须为 \((-4 , 4)\)。

该圆的方程为：

\[(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 16\]

首先需求半径 \(r\)，它等于圆心 \((-4, 6)\) 到点 \((1, 2)\) 的距离：

\[r = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\]

该圆的方程为：

\[(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 41\]

由于圆与 \(y\) 轴相切，半径等于圆心到 \(y\) 轴的距离，即圆心 \(x\) 坐标的绝对值：

\[r = |-3| = 3\]

方程为：

\[(x + 3)^2 + (y - 6)^2 = 9\]

由于圆与 \(x\) 轴相切，半径等于圆心到 \(x\) 轴的距离，即圆心 \(y\) 坐标的绝对值：

\[r = |-5| = 5\]

方程为：

\[(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25\]

圆心 \(C\) 是两个端点的中点：

\[C = \left(\frac{-5 + 3}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (-1, 4)\]

半径 \(r\) 是直径长度的一半：

\[r = \frac{1}{2} \sqrt{(3 - (-5))^2 + (6 - 2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{8^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 16} = \frac{1}{2} \sqrt{80} = 2\sqrt{5}\]

因此，\(r^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20\)。方程为：

\[(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20\]

• \(x\) 截距： 令给定方程中 \(y = 0\)： \[x^2 + 3x = 18 \implies x^2 + 3x - 18 = 0 \implies (x + 6)(x - 3) = 0\] 解出 \(x\)：\(x = 3\) 和 \(x = -6\)。两个 \(x\) 截距为 \((3 , 0)\) 和 \((-6 , 0)\)。
• \(y\) 截距： 令给定方程中 \(x = 0\)： \[y^2 - 4y = 18 \implies y^2 - 4y - 18 = 0\] 利用二次公式解 \(y\)： \[y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-18)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{2} = 2 \pm \sqrt{22}\] 两个 \(y\) 截距为 \((0 , 2 - \sqrt{22})\) 和 \((0 , 2 + \sqrt{22})\)。

先通过配方将方程写成标准形式：

\[(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) = 5 + 4 + 16\] \[(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 25 = 5^2\]

圆心位于 \((-2 , 4)\)，半径 \(r = 5\)。

现在计算圆心到点 A\((-3 , 8)\) 的距离 \(d\)：

\[d = \sqrt{(-3 - (-2))^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.1\]

由于圆心到点 A 的距离小于半径（\(4.1 < 5\)），点 A 在圆的内部。

将 \(y = 3x\) 代入圆的方程，解方程组：

\[(x - 2)^2 + (3x - 6)^2 = 40\]

从第二项中提取公因式 3：\((3x - 6) = 3(x - 2)\)，因此 \((3x - 6)^2 = 9(x - 2)^2\)：

\[(x - 2)^2 + 9(x - 2)^2 = 40 \implies 10(x - 2)^2 = 40 \implies (x - 2)^2 = 4\]

开平方得 \(x - 2 = \pm 2\)，即 \(x = 0\) 和 \(x = 4\)。

利用 \(y = 3x\) 求对应的 \(y\) 值：

• 当 \(x = 0\) 时，\(y = 3(0) = 0\)
• 当 \(x = 4\) 时，\(y = 3(4) = 12\)

交点为 \((0 , 0)\) 和 \((4 , 12)\)。

• a) BC 的中点 M： \[M = \left(\frac{6 - 2}{2}, \frac{1 + 7}{2}\right) = (2, 4)\]
• b) 线段长度：
  \(L(MA) = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)
  \(L(MB) = \sqrt{(6 - 2)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)
  \(L(MC) = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)
• c) 圆的方程：

  三个点到点 \(M\) 的距离相等，因此点 \(M\) 是外接圆的圆心，半径 \(r = 5\)。方程为：

  \[(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 25\]