问题与解答
问题 1
求焦点位于 \((0, 4)\)、顶点位于 \((0, 0)\) 的抛物线方程。
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顶点 \((0, 0)\) 到焦点 \((0, 4)\) 的距离为 \(|a| = 4\)。由于顶点位于 \((0, 0)\)，焦点位于 y 轴上的 \((0, 4)\)，抛物线开口向上，因此 \(a = 4\)，其方程为：
\[ x^2 = 4ay = 16y \]问题 2
求顶点位于 \((0, 0)\)、x 轴为其对称轴且图像经过点 \((-2, 4)\) 的抛物线方程。
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由于 x 轴是抛物线的对称轴且顶点位于原点，抛物线方程具有以下形式：
\[ y^2 = 4ax \]将点 \((-2, 4)\) 代入方程：
\[ 4^2 = 4a(-2) \implies 16 = -8a \implies a = -2 \]方程为：
\[ y^2 = -8x \]问题 3
求顶点位于 \((0, 2)\)、焦点位于 \((0, 6)\) 的抛物线方程。
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由于顶点位于 \((0, 2)\)，焦点位于 \((0, 6)\)，抛物线开口向上，顶点位于 \((h, k)\) 的抛物线方程为：
\[ (x - h)^2 = 4a(y - k) \]这里 \(h = 0\)，\(k = 2\)，方程为：
\[ x^2 = 4a(y - 2) \]\(|a|\) 是顶点到焦点的距离 = \(6 - 2 = 4\)。由于抛物线开口向上，\(a = 4\)。
方程为：
\[ x^2 = 16(y - 2) \]问题 4
求以下方程所给抛物线的顶点、焦点、对称轴和准线：
\[ 2y^2 + 8y + x + 1 = 0 \]查看解答
首先利用含 \(y\) 和 \(y^2\) 的项配方，将给定方程写成 \((y - k)^2 = 4a(x - h)\) 的形式，其中 \((h, k)\) 为顶点，焦点位于 \((h + a, k)\)，对称轴由 \(y = k\) 给出，准线由 \(x = h - a\) 给出。
\[ 2(y^2 + 4y) + x + 1 = 0 \] \[ 2((y + 2)^2 - 4) + x + 1 = 0 \] \[ 2(y + 2)^2 - 8 + x + 1 = 0 \implies 2(y + 2)^2 + x - 7 = 0 \implies (y + 2)^2 = -\frac{1}{2}(x - 7) \]- 顶点： \((7, -2)\)
- \(a\) 的值： \(4a = -\frac{1}{2} \implies a = -\frac{1}{8}\)
- 焦点： \(\left(7 - \frac{1}{8}, -2\right) = (6.875, -2)\)
- 对称轴： \(y = -2\)
- 准线： \(x = h - a = 7 - \left(-\frac{1}{8}\right) = 7.125\)
问题 5
求以下方程所给抛物线的顶点、焦点、对称轴和准线：
\[ x^2 - 8x - y + 2 = 0 \]查看解答
首先利用含 \(x\) 和 \(x^2\) 的项配方，将给定方程写成 \((x - h)^2 = 4a(y - k)\) 的形式，其中 \((h, k)\) 为顶点，焦点位于 \((h, k + a)\)，对称轴由 \(x = h\) 给出，准线由 \(y = k - a\) 给出。
\[ (x^2 - 8x + 16 - 16) - y + 2 = 0 \] \[ (x - 4)^2 - 16 - y + 2 = 0 \implies (x - 4)^2 - y - 14 = 0 \implies (x - 4)^2 = y + 14 \]- 顶点： \((4, -14)\)
- \(a\) 的值： \(4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}\)
- 焦点： \(\left(4, -14 + \frac{1}{4}\right) = (4, -13.75)\)
- 对称轴： \(x = 4\)
- 准线： \(y = k - a = -14 - \frac{1}{4} = -14.25\)
问题 6
求顶点位于 \((-2, -2)\)、焦点位于 \((-2, -8)\) 的抛物线方程。
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顶点和焦点位于同一条垂直线 \(x = -2\) 上，且焦点位于顶点下方；因此，抛物线开口向下，其方程具有以下形式：
\[ (x - h)^2 = 4a(y - k) \]顶点位于 \((h, k) = (-2, -2)\)，方程为：
\[ (x + 2)^2 = 4a(y + 2) \]顶点 \((-2, -2)\) 到焦点 \((-2, -8)\) 的距离为 \(|a| = |-8 - (-2)| = 6\)。由于抛物线开口向下，\(a = -6\)。
抛物线方程为：
\[ (x + 2)^2 = 4(-6)(y + 2) \implies (x + 2)^2 = -24(y + 2) \]问题 7
写出下图所示抛物线的方程，并求该抛物线的焦点。
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对于形式为 \((y - k)^2 = 4a(x - h)\) 的抛物线方程，顶点位于 \((h, k)\)。
由给定图像，顶点位于 \((h, k) = (2, 4)\)；因此，抛物线方程为：
\[ (y - 4)^2 = 4a(x - 2) \]利用图像上的点 \((-2, -2)\) 求 \(a\)：
\[ (-2 - 4)^2 = 4a(-2 - 2) \implies (-6)^2 = 4a(-4) \implies 36 = -16a \implies a = -\frac{36}{16} = -2.25 \]抛物线的方程： \((y - 4)^2 = -9(x - 2)\)
焦点： \((h + a, k) = (2 + (-2.25), 4) = (-0.25, 4)\)
问题 8
求焦点位于 \((8, 0)\)、准线由方程 \(x = 2\) 给出的抛物线方程。
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由于准线为直线 \(x = 2\)，焦点位于 \((8, 0)\)，抛物线以 x 轴为对称轴并开口向右。其方程具有以下形式：
\[ (y - k)^2 = 4a(x - h) \]顶点是准线与 x 轴的交点 \((2, 0)\) 和焦点 \((8, 0)\) 的中点：
\[ h = \frac{2 + 8}{2} = 5, \quad k = 0 \]准线与焦点之间的距离为 \(8 - 2 = 6\)，等于 \(2|a|\)。因此 \(|a| = 3\)。由于抛物线开口向右，\(a = 3\)。
抛物线方程为：
\[ y^2 = 12(x - 5) \]问题 9
求准线由方程 \(y = 2\) 给出、焦点位于 y 轴上且点 \((-6, -8)\) 位于抛物线上的抛物线方程。
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焦点位于 y 轴上，因此具有形式 \(F(0, b)\)。根据定义，抛物线上的任意一点，特别是点 \((-6, -8)\)，到准线 \(y = 2\) 和焦点 \((0, b)\) 的距离必须相等：
\[ \text{到准线的距离} = |-8 - 2| = 10 \]令其等于 \((-6, -8)\) 到 \((0, b)\) 的距离：
\[ 10 = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (-8 - b)^2} \implies 10 = \sqrt{36 + (b + 8)^2} \]两边平方：
\[ 100 = 36 + (b + 8)^2 \implies (b + 8)^2 = 64 \implies b + 8 = \pm 8 \]由此得到 \(b\) 的两个解：\(b = 0\) 和 \(b = -16\)。
第一个解（\(b = 0\)）： 焦点位于 \((0, 0)\)，准线为 \(y = 2\)。焦点到准线的距离为 \(2|a| = 2\)，所以 \(|a| = 1\)。由于开口向下，\(a = -1\)。顶点位于 \((0, 1)\)。
方程：\(x^2 = -4(y - 1)\)
第二个解（\(b = -16\)）： 焦点位于 \((0, -16)\)，准线为 \(y = 2\)。焦点到准线的距离为 \(|2 - (-16)| = 18 = 2|a|\)，所以 \(|a| = 9\)。由于开口向下，\(a = -9\)。顶点位于 \((0, -7)\)。
方程：\(x^2 = -36(y + 7)\)
问题 10
下图所示为一个直径为 200 厘米、最大深度为 50 厘米的抛物面天线。求该天线的焦点。
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将抛物线的顶点置于原点 \((0, 0)\) 并开口向上，抛物面天线的方程为：
\[ x^2 = 4ay \]由于总直径为 200 厘米，从中心轴到边缘的宽度为 \(100\) 厘米，最大深度为 \(50\) 厘米。因此，点 \((100, 50)\) 位于抛物线的图像上。
将该点代入方程求 \(a\)：
\[ 100^2 = 4a(50) \implies 10000 = 200a \implies a = 50 \]\(a\) 表示顶点到焦点的距离。因此，焦点位于距顶点 \((0, 50 \text{ 厘米})\) 处。