欧拉数 \( e \) 是数学中最重要的常数之一。它自然出现在微积分、金融、物理、工程和人口动力学中。本指南探讨 \( e \) 如何从复利中产生、其极限定义，以及它作为自然指数函数和对数函数底数的作用。
欧拉常数 \( e \) 的定义
在复利研究中，如果本金 \( P \) 以年利率 \( r \) 投资，按年复利计算，则 \( t \) 年后的总金额 \( A \) 为：
\[ A = P(1 + r)^t \]如果利息每年复利 \( n \) 次，则金额变为：
\[ A = P\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt} \]令 \( N = \dfrac{n}{r} \)，则 \( \dfrac{r}{n} = \dfrac{1}{N} \)，\( n = rN \)。将这些代入公式得：
\[ A = P\left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^{Nrt} = P\left( \left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^N \right)^{rt} \]当复利次数 \( n \)（以及 \( N \)）无限增加（\( N \to \infty \)）时，内部表达式趋近于一个称为欧拉数（\( e \)）的常数值，以莱昂哈德·欧拉命名：
\[ e \approx 2.71828182846 \]\( e \) 的数值近似
下表展示了当 \( N \) 增大时，表达式 \( \left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^N \) 如何趋近于 \( e \)。
| \( N \) | \( \left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^N \) |
|---|---|
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 3 | 2.37037 |
| 10 | 2.59374 |
| 20 | 2.65329 |
| 40 | 2.68506 |
| 100 | 2.70481 |
| 200 | 2.71149 |
| 400 | 2.71488 |
下图展示了 \( y = \left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^N \) 作为 \( N \) 的函数。当 \( N \to \infty \) 时，曲线渐近地趋近于水平线 \( y = e \)。
\( e \) 的极限定义
严格地说，欧拉数由以下极限定义：
\[ e = \lim_{N \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^N \]通过代入 \( m = \dfrac{1}{N} \)，得到当 \( m \to 0 \) 时的等价极限定义：
\[ e = \lim_{m \to 0} (1 + m)^{\dfrac{1}{m}} \]当利息连续复利时，\( t \) 年后的总金额由连续指数增长公式给出：
\[ A = Pe^{rt} \]以 \( e \) 为底的指数函数和对数函数
欧拉数 \( e \) 在微积分和高等数学中起着基础性作用。自然指数函数定义为：
\[ f(x) = e^x \]其反函数，即自然对数，记为：
\[ g(x) = \ln(x) \]下图展示了自然指数函数和自然对数的图像。
