问题 1
下面所示的正方形四棱锥的每一条底边长均为 $10$ 英寸。该棱锥的斜高 $H$ 为 $12$ 英寸。
- 该棱锥底部的面积是多少平方英寸？
- 该棱锥的总表面积是多少平方英寸？
- 该棱锥的高 $h$ 是多少英寸？
- 利用你在 (c) 部分中求得的高，该棱锥的体积是多少立方英寸？
查看解答
a) 正方形面积：$10 \times 10 = 100$ 平方英寸。
b) 总面积 = 底面积 + 4个三角形侧面积：
$$100 + 4 \left( \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \right) = 340 \text{ 平方英寸。}$$
c) 在由斜高和半个底边构成的直角三角形中应用勾股定理：
$$h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \text{ 英寸。}$$
d) 体积：
$$\text{体积} = \frac{1}{3} \times 100 \times \sqrt{119} \approx 363.6 \text{ 立方英寸。}$$
问题 2
如下图所示的平行四边形周长为 $44$ 厘米，面积为 $64$ 平方厘米。求角 $T$ 的度数。
查看解答
建立周长方程：
$$44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4)$$
求解 $x$：
$$x = 2$$
底边长为 $5(2) + 4 = 14$。斜边长为 $3(2) + 2 = 8$。
通过面积求平行四边形的高：
$$\text{高} = \frac{\text{面积}}{\text{底}} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \text{ 厘米}$$
利用三角函数求角 $T$：
$$\sin(T) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{32/7}{8} = \frac{32}{56} = \frac{4}{7}$$
$$T = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right) \approx 34.8^\circ$$
问题 3
求图中所示四边形的面积。（注意：图形未按比例绘制）
查看解答
三角形 $\triangle ABD$ 是直角三角形；因此根据勾股定理：
$$BD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$$
对于三角形 $\triangle BCD$，通过检查其较短边平方和来判断它是否为直角三角形：
$$BC^2 + CD^2 = 21^2 + 3^2 = 441 + 9 = 450$$
由于 $BC^2 + CD^2 = BD^2$，三角形 $\triangle BCD$ 也是一个直角三角形。
四边形的总面积等于两个直角三角形面积之和：
$$\text{面积} = \left(\frac{1}{2} \times 15 \times 15\right) + \left(\frac{1}{2} \times 21 \times 3\right) = 112.5 + 31.5 = 144$$
问题 4
如下图所示，三角形 OAB 的面积为 $72$ 平方单位，三角形 ODC 的面积为 $288$ 平方单位。求线段 BC 的长度 $x$ 以及线段 AD 的长度 $y$。
查看解答
利用三角形面积的正弦公式评估 $\triangle OAB$：
$$\triangle OAB \text{ 的面积} = 72 = \frac{1}{2} \sin(\angle AOB) \cdot OA \cdot OB$$
由于 $OA = 18$ 且 $OB = 16$，解出 $\sin(\angle AOB)$：
$$\sin(\angle AOB) = \frac{2 \cdot 72}{18 \cdot 16} = \frac{1}{2}$$
由于 $\angle DOC$ 与 $\angle AOB$ 是对顶角，$\sin(\angle DOC) = \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}$。
现在计算 $\triangle ODC$ 的面积：
$$\triangle ODC \text{ 的面积} = 288 = \frac{1}{2} \sin(\angle DOC) \cdot OD \cdot OC$$
$$288 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \cdot (18 + y)(16 + x)$$
$$1152 = (18 + y)(16 + x)$$
点 A、B、C 和 D 在同一个圆上。根据相交弦定理（割线定理）：
$$OA \cdot OD = OB \cdot OC$$
$$18(18 + y) = 16(16 + x)$$
现在我们得到了一个方程组：
1) $(18 + y)(16 + x) = 1152$
2) $18(18 + y) = 16(16 + x) \Rightarrow (18 + y) = \frac{8}{9}(16 + x)$
将方程 2 代入方程 1：
$$\left(\frac{8}{9}(16 + x)\right)(16 + x) = 1152$$
$$(16 + x)^2 = 1152 \times \frac{9}{8} = 1296$$
$$16 + x = 36 \Rightarrow x = 20$$
将 $x = 20$ 代回方程 2：
$$18 + y = \frac{8}{9}(16 + 20) = \frac{8}{9}(36) = 32$$
$$y = 14$$
问题 5
求一个矩形的尺寸，其长比宽多 $3$ 米，且其周长在数值上等于其面积。
查看解答
设 $L$ 为矩形的长，$W$ 为矩形的宽。已知：$L = W + 3$
周长：$2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6$
面积：$LW = (W + 3)W = W^2 + 3W$
由于面积和周长在数值上相等：
$$W^2 + 3W = 4W + 6$$
解此一元二次方程：
$$W^2 - W - 6 = 0$$
$$(W - 3)(W + 2) = 0$$
宽度不能为负数，因此 $W = 3$。代入求长：
$$L = 3 + 3 = 6$$
答案： 宽 = $3$ 米，长 = $6$ 米。
问题 6
求一个面积为 $100 \pi$ 平方厘米的圆盘的周长。
查看解答
设 $r$ 为圆盘的半径。面积为 $100\pi$；因此，
$$100\pi = \pi r^2$$
求解 $r$：
$$r = 10$$
周长为：
$$C = 2\pi r = 20\pi \text{ 厘米}$$
问题 7
一个面积为 $1250 \pi$ 平方厘米的半圆内接于一个矩形。半圆的直径与矩形的长重合。求该矩形的面积。
查看解答
设 $r$ 为半圆的半径。面积为：
$$1250\pi = \frac{1}{2} \pi r^2$$
求解 $r$：
$$2500 = r^2 \Rightarrow r = 50$$
矩形的长为 $2r = 100$（因为半圆内接于矩形）。
矩形的宽为 $r = 50$（因为半圆内接于矩形）。
矩形的面积为：
$$\text{面积} = 100 \times 50 = 5000 \text{ 平方厘米}$$