根式表达式
十年级习题与解答

本文为十年级学生提供运用重要公式化简根式代数表达式的习题及解答。

重要公式


A) 若 \( n \) 和 \( m \) 为正整数且 \( \sqrt[n]{y} \) 为实数，则 \[ \Large{\color{blue}{ \left( \sqrt[n]{y} \right)^m = \sqrt[n]{y^m}} }\] 示例
1) \( \sqrt 5 \) 为实数，因此 \[ \Large{(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5} \]
2) \( \sqrt[3]{-7} \) 为实数，因此 \[ \Large{(\sqrt[3]{-7})^6 = \sqrt[3]{(-7)^6} = \sqrt[3]{(-1)^6 \cdot 7^6} = \sqrt[3]{(7^2)^3} = 7^2 = 49} \] B) 若 \(n\) 为偶数正整数，则 \[ \Large{\color{blue}{ \sqrt[n]{y^n} = |y|} }\] 示例
  1. \( \quad \sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4 \)
  2. \( \sqrt[4]{\left( -3 \right)^4} = |-3| = 3 \)
  3. \( \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \)
  4. \( \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
  5. \( \sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2 \)
C) 若 \(n \) 为奇数正整数，则 \[ \Large{\color{blue}{\sqrt[n]{y^n} = y}} \]

示例

  1. \( \quad \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1\)
  2. \( \quad \sqrt[5]{(-2)^5} = -2\)
  3. \( \quad \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3\)
  4. \( \quad\sqrt[5]{x^5} = x\)
  5. \( \quad\sqrt[3]{-x^6} = \sqrt[3]{(-x^2)^3} = -x^2\)

习题

将下列表达式去根号化简（若可能）：
  1. \( \quad \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = \)
  2. \( \quad \left( \sqrt{x} \right)^2 = \)
  3. \( \quad -\left( \sqrt{x} \right)^4 = \)
  4. \( \quad \sqrt{-x^2 - 1} = \)
  5. \( \quad \sqrt[8]{x^8} = \)
  6. \( \quad \sqrt{x^6} = ? \)
  7. \( \quad \sqrt{x \cdot |x|} = \)
  8. \( \quad \sqrt[10]{x^{10}} = \)
  9. \( \quad \sqrt[3]{(x - 2)^3} = \)
  10. \( \quad \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \)
  11. \( \quad \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \)
  12. \( \quad \sqrt{(-x + 3)^2} = \)
  13. \( \quad \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \)

习题解答

  1. 根指数 \( 3 \) 为奇数且与根号内幂次相等 \[ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x \]
  2. 由于 \( \sqrt{x} \) 为实数，\( x \) 为正数，故 \( |x| = x \) \[ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x \]
  3. \[ - \left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 \]
  4. 由于 \( -x^2 - 1 \) 恒为负数 \[ \sqrt{-x^2 - 1} \] 不是实数
  5. 根指数 \( 8 \) 为偶数且与根号内幂次相等 \[ \sqrt[8]{x^8} = |x| \]
  6. \[ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| \]
  7. \[ \sqrt{x \cdot |x|} = ? \] 若 \( x \lt 0 \)，\( |x| = -x \) 且 \( \sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2} \) 不是实数
    若 \( x \geq 0 \)，\( |x| = x \) 且 \( \sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x \)
  8. 根指数 \( 10 \) 为偶数且与根号内幂次相等 \[ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| \]
  9. 根指数 \( 3 \) 为奇数且与根号内幂次相等 \[ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 \]
  10. \[ \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \left|\frac{x}{3}\right| = \frac{|x|}{3} \]
  11. \[ \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^5} = \frac{x}{2} \]
  12. 偶数根指数且与根号内幂次相等 \[ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 | \]
  13. 偶数根指数且与根号内幂次相等 \[ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2| \]

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