以下是关于如何对根式表达式进行分母有理化的高一（10年级）练习题。复习公式和示例，尝试解答练习题，然后点击箭头查看分步解答。
对含有分母的根式表达式进行有理化，就是将分母表示为不含根式的形式。
下列恒等式可用于对有理表达式的分母进行有理化：
通过查看以下示例了解如何应用有理化：
有理化：$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
由于分母中有 $\sqrt{2}$，将分子和分母都乘以 $\sqrt{2}$ 并化简：
$$ \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
有理化：$\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$
由于分母中有 $\sqrt[3]{x}$，将分子和分母都乘以 $\left( \sqrt[3]{x} \right)^2$ 并化简：
$$ \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x} $$
有理化：$\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$
由于分母中有表达式 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$，将分子和分母都乘以其共轭式 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$，得到：
$$ \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $$
有理化：$\dfrac{5x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
由于分母中有表达式 $\sqrt[3]{x^2}$，将分子和分母都乘以 $\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2$，得到：
$$ \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2} $$
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^3} $$
化简并约去项：
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{x^2} = 5\sqrt[3]{x^4} = 5x\sqrt[3]{x} $$
有理化：$\dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
由于分母中有表达式 $y + \sqrt{x^2 + y^2}$，将分子和分母都乘以其共轭式 $y - \sqrt{x^2 + y^2}$，得到：
$$ \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{(y)^2 - (\sqrt{x^2 + y^2})^2} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} $$
$$ = -y + \sqrt{x^2 + y^2} $$
对下列表达式的分母进行有理化，并在可能的情况下进行化简：
化简：$\dfrac{10}{\sqrt{5}}$
将分子和分母都乘以 $\sqrt{5}$：
$$ \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} $$
化简：$2\sqrt{2}\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$
关注分数部分。将其分子和分母都乘以共轭式 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$：
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \right) $$
化简分数：
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} $$
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3}}{2-3} $$
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}}{-1} $$
分配负号：
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} $$
$$ = 5 $$
化简：$\dfrac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}}$
将分子和分母都乘以 $\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2$：
$$ \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} = \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} \cdot \frac{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2} $$
化简：
$$ = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^3} = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{x^4} = 7 \sqrt[3]{x^8} = 7x^2 \sqrt[3]{x^2} $$
化简：$\dfrac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
将分子和分母都乘以共轭式 $y - \sqrt{x^2 + y^2}$：
$$ \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
化简分母：
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} = y - \sqrt{x^2 + y^2} $$