实数根与根式
含解答的问题集

本页面为十年级学生提供关于数的根与根式的问题集，并附有解答。

定义

\[ \large{\textcolor{red}{x \text{ 是数 } y \text{ 的 } n \text{ 次根，等价于 } x^n = y。}} \] 当 \( \large {\textcolor{red} {n = 2} } \) 时，该 \( n \) 次根称为 \( \large {\textcolor{red} {\text{平方根}}} \)。

当 \( \large {\textcolor{red} {n = 3} } \) 时，该 \( n \) 次根称为 \( \large {\textcolor{red} {\text{立方根}}} \)。

示例

1) 因为 \( 3^2 = 9 \)，所以 \( 3 \) 是 \( 9 \) 的平方 (\( n = 2 \)) 根。

2) 因为 \( (-3)^2 = 9 \)，所以 \( -3 \) 也是 \( 9 \) 的一个平方根。

3) 因为 \( (-2)^3 = -8 \)，所以 \( -2 \) 是 \( -8 \) 的立方 (\( n = 3 \)) 根。

4) 因为 \( 3^4 = 81 \) 且 \( (-3)^4 = 81 \)，所以 \( 81 \) 的四次根是 \( 3 \) 和 \( -3 \)。

实数根的性质

1) 当 \( n \) 为偶数且 \( y \) 为正数时，\( y \) 有两个 \( n \) 次根。

例

因为 104=10000 且 (-10)4 = 10000，所以 10000 的四次根是 10 和 -10。

2) 当 \( n \) 为偶数且 \( y \lt 0 \) 时，\( y \) 没有实数 \( n \) 次根。

例

\(-4\) 的平方根不是实数，因为不存在实数 \(x\) 使得 \(x^2 = -4\)。

\(-16\) 的四次根不是实数，因为不存在实数 \(x\) 使得 \(x^4 = -16\)。

3) 当 \( n \) 为奇数时，\( y \) 总是有一个 \( n \) 次根。

例

\( 8 \) 的立方 (\( n=3 \)) 根等于 \( 2 \)。

\(-100000\) 的五次 (\( n=5 \)) 根等于 \( -10 \)。

主根

当 \( n \) 为偶数时，主根是指正根。当 \( n \) 为奇数时，只有一个根，它就是主根。

例

\( 64 \) 的 \( 6 \) 次主根等于 \( 2 \)，因为 \( 2^6 = 64 \)。

\( -64 \) 的立方主根等于 \( - 4 \)，因为 \( (-4)^3 = - 64 \)。

根式表示法

符号 \( \sqrt{\hphantom{9}} \) 称为根号，用于表示一个数的主根，表示方法如下： \[ \large{\sqrt[n]{y}} \] 其中 \( n \) 称为根指数，\( y \) 称为被开方数。

例

\[ \sqrt[6]{64} = 2 \] \[ \sqrt[3]{-27} = -3 \] 由于广泛使用，\( y \) 的平方根 (\( n=2 \)) 写作 \( \sqrt{y} \)，而无需标明根指数。

含解答的问题

  1. 16 的四次根是什么？
  2. -1 的七次根是什么？
  3. 哪个数的五次根等于 -3？
  4. 如果 \( y \) 的六次根等于 -5，那么 \( y = \underline{\hspace{2cm}} \)
  5. -1 的二十次根是什么？
  6. 81 的四次主根是什么？
  7. \[ \sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  8. \[ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  9. \[ \sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  10. \[ \sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  11. \[ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  12. \[ \sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  13. \[ \sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  14. \[ \sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  15. \[ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  16. \[ \sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  17. \[ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  18. 使用计算器将下列各式近似到 3 位小数：
    1. \(\sqrt[3]{4} =\)
    2. \(\sqrt{1.3} =\)
    3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}} =\)
    4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} =\)

上述问题的解答

  1. 16 的四次根是什么？
    \(2\) 和 \(-2\)，因为 \(2^4 = 16\) 且 \((-2)^4 = 16\)。
  2. -1 的七次根是什么？
    \(-1\)，因为 \((-1)^7 = -1\)。
  3. 哪个数的五次根等于 -3？
    \((-3)^5 = -243\)。
  4. 如果 \( y \) 的六次根等于 -5，那么 \( y = \underline{\hspace{2cm}} \)
    \(y = (-5)^6 = 15625\)。
  5. -1 的二十次根是什么？
    如果 \(x\) 是 \(-1\) 的二十次根，那么 \(x^{20} = -1\)。不存在实数 \(x\) 在取偶次幂后得到负数。\(-1\) 的二十次根不是实数。
  6. 81 的四次主根是什么？
    \(81 = 3^4\) 且 \(81 = (-3)^4\)。因此 \(81\) 有两个四次根，但主根是正根 \(3\)。
  7. \[ \sqrt{-4} = \text{不是实数} \]
  8. \[ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} = \text{不是实数} \]
  9. \[ \sqrt[3]{-1} = -1 \]
  10. \[ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 \]
  11. \[ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 \]
  12. \[ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 \]
  13. \[ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 \]
  14. \[ \sqrt[7]{5^7} = 5 \]
  15. \[ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \]
  16. \[ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 \]
  17. \[ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2.5 \]
  18. 使用计算器将下列各式近似到 3 位小数：
    1. \(\sqrt[3]{4} \approx 1.587\)
    2. \(\sqrt{1.3} \approx 1.140\)
    3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}} = \sqrt{0.4} \approx 0.632\)
    4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{3}} \approx 1.326\)

更多参考资料和链接