以下是关于如何化简根式表达式的高一（10年级）练习题。复习根式的规则和性质，尝试练习题，然后点击箭头查看分步解答。
为了化简根式表达式，你需要了解以下根式的规则和性质。
A） $\sqrt[n]{x^n} = |x|$（当 $n$ 为偶数时）
B） $\sqrt[n]{x^n} = x$（当 $n$ 为奇数时）
示例：
更多关于实数的根与根式的示例。
具有相同根指数的根式乘法公式如下：
更多关于如何进行根式乘法的示例。
具有相同根指数的根式除法公式如下：
更多关于如何进行根式除法的示例。
你只能对同类根式进行加法或减法运算。
示例：
更多关于如何进行根式加法的示例。
你可以使用诸如此类的恒等式重写表达式，以消除分母中的根号（有理化）：
更多关于如何进行分母有理化的示例。
对给定表达式进行有理化和化简：
化简：$\sqrt{128} \cdot \sqrt{32}$
将 128 和 32 写成质因数的乘积：$128 = 2^7$，$32 = 2^5$。
$$ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} $$
$$ = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 $$
化简：$\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12}$
使用乘积法则写出 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12}$。
$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} $$
$$ = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} $$
$$ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$
化简：$\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}}$
将 14 和 63 写成质数的乘积（$14 = 2 \times 7$，$63 = 3^2 \times 7$）并代入：
$$ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 $$
化简：$\sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16}$
将 32 和 16 写成质数的乘积（$32 = 2^5$，$16 = 2^4$）并代入：
$$ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} $$
$$ = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
化简：$\sqrt[3]{\dfrac{64}{7}}$
将 64 写成质数的乘积（$64 = 2^6$）并代入：
$$ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} $$
通过将分子和分母同乘以 $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$ 来对分母进行有理化：
$$ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} $$
化简：$\dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}}$
将 54 写成质数的乘积（$54 = 2 \times 3^3$）并代入：
$$ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} $$
化简：$\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$
将分母和分子同乘以分母的共轭式：
$$ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $$
展开并化简：
$$ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} $$
$$ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{x - (x + 1)} $$
$$ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} $$
$$ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} $$
运用根式的所有规则与性质，对下列表达式进行有理化和化简。
化简：$\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125}$
$$ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = 5\sqrt[3]{25} $$
化简：$(5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16})$
首先，化简已知的立方根（$\sqrt[3]{64} = 4$）：
$$ (5 \cdot 4)(-3\sqrt[3]{16}) = 20(-3\sqrt[3]{16}) = -60\sqrt[3]{16} $$
将 $\sqrt[3]{16}$ 化简为 $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$：
$$ -60(2\sqrt[3]{2}) = -120\sqrt[3]{2} $$
化简：$(7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10})$
$$ (7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} $$
$$ = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28 $$
化简：$\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}}$
将带分数化为假分数：
$$ \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} $$
化简：$(\sqrt{17x})(\sqrt{34x})$
$$ (\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} $$
$$ = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2} $$
（假设 $x \ge 0$，正如原表达式所要求的那样。）
化简：$\sqrt{4y^2}$
$$ \sqrt{4y^2} = 2|y| $$
化简：$\sqrt{8y^4}$
$$ \sqrt{8y^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (y^2)^2} = 2y^2\sqrt{2} $$
化简：$\sqrt{25+144}$
$$ \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 $$
化简：$\sqrt[2n]{x^{2n}}$（其中 $n$ 为正整数）
因为 $2n$ 表示一个偶数根指数：
$$ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $$
化简：$(\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2})$
$$ (\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2) $$
化简：$\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}}$
使用根式的商法则进行合并：
$$ \dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{27a^3b^5}{8a^6b^2}} $$
化简根号内的分数：
$$ = \sqrt[3]{\dfrac{27b^3}{8a^3}} $$
提取立方数：
$$ = \dfrac{3b}{2a} $$
化简：$\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}$
将分子和分母同乘以分母的共轭式 $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$：
$$ \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-2})^2} $$
展开分子并化简分母：
$$ = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{x - (x-2)} $$
$$ = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} $$
将分子中的所有项除以 2：
$$ = x - 1 - \sqrt{x(x-2)} $$