问题 1
求下图中直角三角形的 $x$ 和 $H$。
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$$ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8.1 \; \text{ （保留2位有效数字）} $$
$$ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{ （保留2位有效数字） } $$
问题 2
如果下图中直角三角形的面积为 400，求其所有边的长度。
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面积公式为：
$$ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 $$
求解 $x$：
$$ x = 20, \quad 2x = 40 $$
应用勾股定理：
$$ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 $$
求解 $H$：
$$ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} $$
问题 3
$BH$ 垂直于 $AC$。求 $x$，即 $BC$ 的长度。
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$BH$ 垂直于 $AC$ 意味着三角形 $\triangle ABH$ 和 $\triangle HBC$ 是直角三角形。因此：
$$ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$
$$ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$
对三角形 $\triangle HBC$ 应用勾股定理：
$$ 11^2 + HC^2 = x^2 $$
代入 $HC$ 并求解 $x$：
$$ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} $$
$$ x \approx 12.3 \quad \text{（四舍五入到3位有效数字）} $$
问题 4
ABC 是一个直角三角形，直角在 $A$ 点。求 $x$，即 $DC$ 的长度。
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由于 $\angle A$ 是直角，三角形 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 都是直角三角形，因此我们可以应用勾股定理：
$$ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 $$
求解 $AD$ 和 $AC$：
$$ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} $$
此外，$x = AC - AD$：
$$ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} $$
$$ x \approx 2.69 \quad \text{（四舍五入到3位有效数字）} $$
问题 5
在下图的图形中，$AB$ 和 $CD$ 垂直于 $BC$，角 $\angle ACB$ 的大小为 $31^\circ$。求线段 $BD$ 的长度。
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利用直角三角形 $\triangle ABC$ 写出：
$$ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} $$
在直角三角形 $\triangle BCD$ 中应用勾股定理写出：
$$ 9^2 + BC^2 = BD^2 $$
求解 $BD$ 并代入 $BC$：
$$ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} $$
$$ BD \approx 13.4 \quad \text{（四舍五入到3位有效数字）} $$
问题 6
一个直角三角形的面积是 50。其中一个角是 $45^\circ$。求该三角形的各边和斜边的长度。
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该三角形是直角三角形且其中一个角为 $45^\circ$。第三个角也是 $45^\circ$，因此该三角形是等腰直角三角形。
设 $x$ 为其中一条直角边的长度，$H$ 为斜边。
$$ \text{面积} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$
应用勾股定理：
$$ x^2 + x^2 = H^2 $$
$$ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} $$
问题 7
在直角三角形 $\triangle ABC$ 中，$\tan(A) = \frac{3}{4}$。求 $\sin(A)$ 和 $\cos(A)$。
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设 $a$ 为角 $A$ 对边的长度，$b$ 为角 $A$ 邻边的长度，$h$ 为斜边的长度。
$$ \tan(A) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $$
我们可以写出：$a = 3k$ 且 $b = 4k$，其中 $k$ 是比例系数。
让我们求 $h$。使用勾股定理，我们写出：
$$ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$
$$ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k $$
$$ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} $$
问题 8
在一个角 $A = 90^\circ$ 的直角三角形 $\triangle ABC$ 中，求满足 $\sin(B) = \cos(B)$ 的角 $B$ 和 $C$。
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设 $b$ 为角 $B$ 对边的长度，$c$ 为角 $C$ 对边的长度，$h$ 为斜边。
$$ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} $$
$$ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c $$
由于两条边的长度相等，该三角形是等腰三角形，角 $B$ 和 $C$ 相等，每个角均为 $45^\circ$。
问题 9
一个矩形的尺寸为 10 厘米乘 5 厘米。确定对角线交点处的夹角大小。
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下图显示了一个矩形，标有对角线和其中一个角的一半 $x$。
$$ \tan(x) = \frac{5}{2.5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) $$
对角线形成的较大夹角为 $2x$：
$$ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{（3位有效数字）} $$
$$ \text{对角线形成的较小夹角： } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ $$
问题 10
不等边三角形 ABC 的边 AB 和边 BC 的长度分别为 12 厘米和 8 厘米。角 C 的大小为 $59^\circ$。求边 AC 的长度。
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设 $x$ 为边 AC 的长度。使用余弦定理：
$$ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) $$
求解关于 $x$ 的二次方程：
$$ x = 14.0 \quad \text{和} \quad x = -5.7 $$
由于 $x$ 不能为负，解为：
$$ x = 14.0 \quad \text{（保留一位小数）} $$
问题 11
从一座高 200 米的建筑物顶部看第二座建筑物的底部的俯角为 20 度。从同一点看第二座建筑物顶部的仰角为 10 度。计算第二座建筑物的高度。
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$$ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} $$
$$ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \quad \Rightarrow \quad H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) $$
$$ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} $$
$$ \text{第二座建筑物的高度} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ 米} $$
问题 12
卡拉（Karla）正乘热气球垂直上升，正位于地面上 P 点的正上方。卡拉发现地面上停着的一辆汽车的俯角为 $30^\circ$。热气球上升了 50 米。此时俯角变为 $35^\circ$。汽车距离 P 点有多远？
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设 $h$ 为热气球初始时在 P 点上方的高度。上升后，新高度为 $h + 50$ 米。
汽车到 P 点的水平距离为 $d$（保持不变）。
从热气球到汽车的俯角等于汽车到热气球的仰角（根据内错角相等）。
所以，对于初始位置：
$$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{（由于 } \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{）} $$
因此，
$$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} $$
上升 50 米后，新高度为 $h + 50$，俯角为 $35^\circ$：
$$ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} $$
所以，
$$ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} $$
现在将方程 (1) 代入方程 (2)：
$$ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) $$
重新排列以求解 $d$：
$$ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} $$
$$ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$
$$ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} $$
使用数值：$\tan(35^\circ) \approx 0.7002$ 且 $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735$ 得到：
$$ d = \frac{50}{0.7002 - 0.57735} = \frac{50}{0.12285} \approx 406.97 $$
因此，汽车距离 P 点大约为 $407$ 米。
问题 13
当太阳光线的仰角从 $70^\circ$ 减小到 $60^\circ$ 时，一座建筑物的影子增加了 10 米，这座建筑物的高度是多少？
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设 $h$ 为建筑物的高度。最初，当仰角为 $70^\circ$ 时，影子的长度为 $s$。
当仰角减小到 $60^\circ$ 时，影子长度变为 $s + 10$。
对于初始情况（角 $70^\circ$）：
$$ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} $$
所以，
$$ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} $$
对于新情况（角 $60^\circ$）：
$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} $$
所以，
$$ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} $$
现在，用方程 (2) 减去方程 (1)：
$$ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} $$
$$ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) $$
所以，
$$ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } $$
简化表达式：
$$ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } $$
数值计算：
$$ h \approx 46.86474 $$
因此，建筑物的高度约为 $46.9$ 米。