高二（11年级）代数练习题与解答

从前两项中提取公因数 2：

$$ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 $$

在括号内加上并减去 $\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2$：

$$ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 $$

将 $x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ 写成完全平方式 $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$：

$$ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 $$

$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 $$

$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 $$

合并 $-\dfrac{9}{2} + 4$：

$$ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} $$

抛物线与直线的交点坐标可以通过求解方程组来获得：

$$ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$

在第一个方程中用 $2x - 2$ 替换 $y$：

$$ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 $$

将二次方程化为标准形式（一侧等于零）：

$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$

解此一元二次方程：

$$ x = 1 \quad \text{和} \quad x = 6 $$

求对应的 $y$ 坐标：

当 $x = 1$ 时，$y = 2(1) - 2 = 0$

当 $x = 6$ 时，$y = 2(6) - 2 = 10$

交点为：

$$ (1, 0) \quad \text{和} \quad (6, 10) $$

给定方程：

$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$

展开右侧：

$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$

两个多项式如果恒等，其对应系数必须相等，因此：

$$ -(k + 7) = 6 $$

求解 $k$：

$$ k = -13 $$

将含 $x$ 的项和含 $y$ 的项分别组合：

$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 $$

对 $x^2 - 2x$ 配方：

$$ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 $$

对 $y^2 + 4y$ 配方：

$$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$

将原方程重写为：

$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 $$

将圆的方程写成标准形式 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$：

$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 $$

确定圆心 $(h,k)$ 和半径 $r$：

$$ x - h = x - 1 \quad \text{得到} \quad h = 1 $$

$$ y - k = y + 2 \quad \text{得到} \quad k = -2 $$

$$ r^2 = 4^2 \quad \text{得到} \quad r = 4 $$

因此：

$$ \text{圆心坐标为：} (1, -2), \quad \text{半径 = } 4 $$

给定的一元二次方程：

$$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$

计算判别式：

$$ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k $$

当判别式严格大于零时，一元二次方程有两个不同的实数解：

$$ 25 + 8k > 0 $$

求解 $k$：

$$ k > -\frac{25}{8} $$

根据克拉默法则，如果系数矩阵的行列式 $D$ 等于零，且行列式 $D_x$ 或 $D_y$ 不等于零，则该方程组无解。

系数矩阵 $A$ 为：

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} $$

其行列式 $D$ 为：

$$ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k $$

令 $D = 0$：

$$ -6 - 5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{6}{5} $$

用常数矩阵 $\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}$ 替换矩阵 $A$ 的第一列来定义行列式 $D_x$：

$$ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k $$

代入 $k = -\frac{6}{5}$：

$$ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 $$

由于系数行列式 $D = 0$ 但 $D_x \neq 0$，因此当满足以下条件时，该方程组矛盾且无解：

$$ k = -\frac{6}{5} $$

在二次表达式 $ax^2 + bx + c$ 中，确定 $a = 6$，$b = -13$ 且 $c = 5$。将 $a$ 和 $c$ 相乘：

$$ 6 \times 5 = 30 $$

我们需要找到两个数，其乘积为 30 且和为 -13。数字 -10 和 -3 满足这些条件：

$$ -10 \times -3 = 30 $$

$$ -10 + (-3) = -13 $$

利用这两个数将 $-13x$ 拆分为 $-10x - 3x$：

$$ 6x^2 - 10x - 3x + 5 $$

分组并提取公因式：

$$ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) $$

由于含有公因式 $(3x - 5)$，该表达式可因式分解为：

$$ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) $$

注意 $i^4 = 1$。此外，观察到 $231 = 4 \times 57 + 3$。因此：

$$ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \cdot i^3 = (i^4)^{57} \cdot i^3 $$

由于 $i^4 = 1$，我们得到：

$$ = 1^{57} \cdot (-i) = -i $$

根据余数定理，多项式 $f(x)$ 除以 $x - c$ 的余数 $r$ 由 $f(c)$ 给出。这里，$c = 1$。

$$ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 $$

顶点横坐标 $h$ 的公式为 $-\frac{b}{2a}$：

$$ h = \frac{- (-b)}{2(4)} = \frac{b}{8} = 2 $$

求解 $b$：

$$ b = 16 $$

顶点是抛物线方程的解，因此代入 $x=2$ 和 $y=4$：

$$ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 $$

$$ 16 - 32 - c = 4 \quad \Rightarrow \quad -16 - c = 4 $$

求解 $c$：

$$ c = -20 $$

因此 $b = 16$ 且 $c = -20$。

由于 $x = 2$ 是一个根，因此 $(x - 2)$ 是 $P(x)$ 的一个因式。将 $P(x)$ 除以 $(x - 2)$ 以求得二次商式 $Q(x)$：

$$ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24}{x - 2} = x^2 - x - 12 $$

所以我们现在有：

$$ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) $$

对二次式进行因式分解：

$$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$

最终因式分解形式：

$$ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) $$

令每个因式等于零以列出所有根：

$$ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 $$

通过从所有部分减去 2 来求解复合不等式：

$$ 3 \lt 2x \lt 7 $$

除以 2：

$$ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} $$

由于 $\frac{7}{2} = 3.5$，满足给定不等式的 $x$ 的最大整数值是 $3$（严格小于 $3.5$ 的最大整数）。

a) $A$ 和 $B$ 唯一的公共元素是 3，因此交集为：

$$ A \cap B = \{3\} $$

b) 并集包含 $A$ 和 $B$ 的所有元素，重复元素只列出一次：

$$ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $$

提取负号重写表达式：

$$ = | - (x^2 - 4x + 4) | $$

配方：

$$ = | -(x - 2)^2 | $$

利用性质 $|-A| = |A|$。由于对于任何实数 $x$，$(x-2)^2$ 总是非负的，因此我们可以直接去掉绝对值符号：

$$ = (x - 2)^2 $$

如果直线和圆有且仅有一个交点，则它们相切。将 $y = kx$ 代入圆的方程：

$$ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 $$

展开：

$$ x^2 - 6x + 9 + k^2x^2 - 10kx + 25 = 4 $$

将各项分组以写出标准形式的一元二次方程 $(Ax^2 + Bx + C = 0)$：

$$ (1 + k^2)x^2 - (6 + 10k)x + 30 = 0 $$

为了使直线相切，该二次方程必须有且仅有一个解，这意味着其判别式 $\Delta$ 必须等于零：

$$ \Delta = B^2 - 4AC = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 $$

展开判别式方程：

$$ (36 + 120k + 100k^2) - 120 - 120k^2 = 0 $$

$$ -20k^2 + 120k - 84 = 0 $$

将整个方程除以 $-4$ 以简化求解：

$$ 5k^2 - 30k + 21 = 0 $$

使用求根公式求解 $k$：

$$ k = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(5)(21)}}{2(5)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 420}}{10} = \frac{30 \pm \sqrt{480}}{10} $$

化简根式（$\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$）：

$$ k = \frac{30 \pm 4\sqrt{30}}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{30}}{5} $$

最终答案：

$$ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{或} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} $$