11年级代数习题及解答

从前两项中提取因子 2： \[ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 \] 在括号内加上并减去 \(\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\)： \[ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 \] 将 \( x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \) 写成一个完全平方 \( \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 \) ： \[ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 \] \[ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 \] \[ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 \] 合并 \( - \dfrac{9}{2} + 4 \) \[ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} \]

抛物线和平面的交点坐标通过求解以下方程组得到： \[ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\\\ y = 2x - 2 \end{cases} \] 将第一个方程中的 \( y \) 替换为 \( 2x - 2 \)： \[ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 \] 将二次方程写成标准形式（一边为零） \[ x^2 - 7 x + 6 = 0 \] 求解二次方程： \[ x = 1 \quad \text{和} \quad x = 6 \] 求 \( y \) 坐标：

当 \( x = 1 \) 时，\[ y = 2x - 2 = 2(1) - 2 = -1 \]

当 \( x = 6 \) 时，\[ y = 2 x - 2 = 2(6) - 2 = 10 \] 交点： \[ (1, -1) \quad \text{和} \quad (6, 10) \]

已知方程： \[ - x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) \] 展开右边： \[ - x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 \] 两个多项式相等当且仅当它们的对应系数相等，因此： \[ -(k + 7) = 6 \] 解出 \( k \)： \[ k = -13 \]

将含 \(x\) 的项和含 \(y\) 的项分别组合： \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 \] 对 \( x^2 - 2x \) 进行配方： \[ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 \] 对 \( y^2 + 4y \) 进行配方： \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \] 将原方程重写为： \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 \] 将圆的方程写成标准形式 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)： \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 \] 识别圆心 \( (h,k) \) 和半径 \(r\)： \[ x - h = x - 1 \quad \text{得到} \quad h = 1 \] \[ y - k = y + 2 \quad \text{得到} \quad k = -2 \] \[ r^2 = 4^2 \quad \text{得到} \quad r = 4 \] 因此 \[ \text{圆心位于： } (1, -2), \quad \text{半径 = } 4 \]

给定二次方程： \[ 2x^2 + 5x - k = 0 \] 计算判别式： \[ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k \] 当判别式大于零时，二次方程有两个实数解： \[ 25 + 8 k > 0 \] 解出 \( k \)： \[ k > -\frac{25}{8} \]

根据克莱姆法则，如果系数矩阵的行列式 \( D \) 等于零，并且行列式 \( D_x \) 或 \( D_y \) 中至少有一个不为零，则方程组无解。

计算方程组的系数矩阵的行列式： \[ \begin{aligned} 2x + ky &= 2 \\ 5x - 3y &= 7 \end{aligned} \] 系数矩阵为： \[ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \] 其行列式为： \[ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k \] 令 \( D = 0 \)： \[ -6 - 5k = 0 \] \[ k = -\frac{6}{5} \] 我们通过将 \( A \) 中的对应列替换为常数矩阵来定义行列式 \( D_x \) 和 \( D_y \)。

行列式 \( D_x \) 通过将 \( A \) 的第一列替换为常数 \( \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix} \) 来定义： \[ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} \] \[ D_x = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k \] 代入 \( k = -\frac{6}{5} \)： \[ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) \] \[ D_x = -6 + \frac{42}{5} \] \[ D_x = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 \] 由于系数行列式 \( D = 0 \) 但 \( D_x \neq 0 \)，方程组不相容，在以下情况下无解： \[ k = -\frac{6}{5} \]

我们将逐步对二次表达式进行因式分解： \[ 6x^2 - 13x + 5 \] 在二次表达式 \( ax^2 + bx + c \) 中，我们识别： \[ a = 6 \] \[ b = -13 \] \[ c = 5 \] 计算 \( a \) 和 \( c \) 的乘积： \[ 6 \times 5 = 30 \] 我们需要两个数满足：

1) 乘积为 30

2) 和为 -13

数字 \( -10 \) 和 \( -3 \) 满足这些条件： \[ -10 \times -3 = 30 \] \[ -10 + (-3) = -13 \] 我们使用数字 \( -10 \) 和 \( -3 \) 将 \( -13x \) 拆分为 \( -10x - 3x \)： \[ 6x^2 - 10x - 3x + 5 \] 分组： \[ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) \] 对每组提取公因式： \[ 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) \] 由于 \( (3x - 5) \) 是公共因子，原表达式因式分解为： \[ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) \]

注意： \[ i^4 = 1 \] 同时，观察到： \[ 231 = 4 \times 57 + 3 \] 因此： \[ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \; i^3 = (i^4)^{57} \times i^3 \] 因为 \( i^4 = 1 \)，我们得到： \[ = 1^{57} \times (-i) = -i \] 因此 \[ i^{231} = - i \]

根据余数定理，\( f(x) = (x - 2)^{54} \) 除以 \( x - 1\) 的余数 \( r \) 由下式给出： \[ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 \]

顶点 x 坐标的公式： \[ h = \frac{- (-b)}{2\cdot4} = \frac{b}{8} = 2 \] 解出 \( b \)： \[ b = 16 \] 顶点是抛物线方程的一个解： \[ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 \] 解出 \( c \)： \[ c = -20 \] 因此 \[ b = 16 \; , \; c = -20 \]

因为 \( x = 2 \) 是一个根，所以 \( (x - 2) \) 是 \( P(x) \) 的一个因式。

使用多项式除法将 \( P(x) \) 除以 \( (x - 2) \) \[ \begin{align*} P(x) &= x^3 - 3x^2 - 10x + 24 \\ &= (x - 2) Q(x) \end{align*} \] 使用长除法或综合除法将 \( P(x) \) 除以 \( (x - 2) \) 得到： \[ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24 }{x - 2} = x^2 - x - 12 \] 所以我们现在有： \[ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) \] 对二次式进行因式分解 \[ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \] 最终因式分解： \[ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) \] 使用这三个因式列出所有零点 \[ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 \]

已知： \[ 5 \lt 2x + 2 \lt 9 \] 解这个复合不等式： \[ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} \] 由于 \( \frac{7}{2} = 3.5 \)，满足给定不等式的最大整数值 \( x \) 是 3（小于 \( \frac{7}{2} \) 的最大整数）

a) \( A \) 和 \( B \) 共有的元素是 3，因此： \[ A \cap B = \{3\} \] b) \( A \) 和 \( B \) 的所有元素都在并集中。由于是集合，\( A \) 和 \( B \) 共有的元素只列出一次，因此： \[ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \]

已知： \[ | -x^2 + 4x - 4 | \] 提取负号重写表达式： \[ = | - (x^2 - 4x + 4) | \] 配方： \[ = | -(x - 2)^2 | \] 利用负的平方的绝对值就是该平方的性质： \[ = (x - 2)^2 \]

一条直线与一个圆相切当且仅当它们只有一个交点，即切点。

已知 \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4 \] 将 \( y \) 替换为 \( k x \)： \[ (x - 3)^2 + (k x - 5)^2 = 4 \] 展开 \[ x^2 - 6 x + 9 + ( k x )^2 -10 kx + 25 = 4 \] 将二次方程写成标准形式： \[ x^2(1 + k^2) - x (6 + 10k) + 30 = 0 \] 为了使直线 \( y = k x \) 与圆相切，上述二次方程的判别式 \( \Delta \) 必须等于零： \[ \Delta = b^2 - 4 a c = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 \] 展开上述方程： \[ -20 k^2+120 k-84 = 0 \] 解上述二次方程，得到使直线与圆相切的 \( k \) 值： \[ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{或} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} \]