根据图像确定关系的定义域和值域
分步详解
通过分步详解学习如何根据关系图像确定其定义域和值域。通过清晰示例掌握判断定义域、值域以及关系是否为函数的方法。
问题1 - 根据图像确定关系的定义域和值域
考虑通过点A、B和C的图形。确定该关系的定义域和值域。图形如下所示：
a) 定义域： 点 \( A(-8 , -0.5) \) 和 \( B(4,0) \) 分别具有最小和最大的x坐标。因此定义域为： \[ -8 \le x \le 4 \] 两点均为实心点，故使用 \( \le \)。
b) 值域： 点 \( C(-3,-5) \) 和 \( B(4,0) \) 分别具有最小和最大的y坐标。因此值域为： \[ -5 \le y \le 0 \] 两点均为实心点，故使用 \( \le \)。
c) 该关系是函数，因为任意垂直线与图像至多相交一次。
问题2 - 根据图像确定关系的定义域和值域
考虑连接点A、B和C的曲线关系图像。确定该关系的定义域和值域。图形如下所示：
a) 定义域： 点 \( A(-2, 4) \) 和 \( B(4, 6) \) 分别具有最小和最大的x坐标。因此： \[ -2 \le x \le 4 \] A和B为实心点，故使用 \( \le \)。
b) 值域： 点 \( C(2,-2) \) 和 \( B(4,6) \) 分别具有最小和最大的y坐标。因此： \[ -2 \le y \le 6 \] 这些点为实心点，故使用 \( \le \)。
c) 该关系是函数，因为任意垂直线与图像至多相交一次。
问题3 - 半无限图形的定义域和值域
考虑向左无限延伸并在实心点A终止的图形。确定该关系的定义域和值域。图形如下所示：
a) 定义域： 最大x坐标位于 \( A(4,2) \)。图形向左无限延伸，故： \[ x \le 4 \] A为实心点，故使用 \( \le \)。
b) 值域： 最小y坐标出现在点 \( B(2,-2) \) 和 \( C(-2,-2) \)。图形向上无限延伸，故： \[ y \ge -2 \] \( y=-2 \) 为实心点，故使用 \( \ge \)。
c) 该关系是函数，因为任意垂直线与图像至多相交一次。
问题4 - 闭合曲线的定义域和值域
确定下图所示闭合曲线所定义关系的定义域和值域：
a) 定义域： 点 \( A(-5,-1) \) 和 \( B(1,-1) \) 给出： \[ -5 \le x \le 1 \]
b) 值域： 点 \( C(-2,-3) \) 和 \( D(-2,1) \) 给出： \[ -3 \le y \le 1 \]
c) 该关系不是函数，因为至少存在一条垂直线与图像相交于两点。
问题5 - 半无限图形的定义域和值域
考虑从点A开始向右无限延伸的图形。确定该关系的定义域和值域。图形如下所示：
a) 定义域： 最小x坐标位于 \( A(-3, 1.8) \)。图形向右无限延伸，故： \[ x > -3 \] A为空心点，故使用 \( > \)。
b) 值域： 最大y坐标位于 \( B(-2,2) \)。图形向下无限延伸，故： \[ y \le 2 \] B为实心点，故使用 \( \le \)。
c) 该关系是函数，因为任意垂直线与图像至多相交一次。