如何求解定义域的有理函数？本文提供详细步骤解析和图形化说明的典型示例。
首先需要理解：仅当分母不为零时，\( \dfrac{1}{x} \) 才能取得实数值。即需满足 \( x \ne 0 \)。
通过观察函数 \( y = \dfrac{1}{x} \) 的图像（如下所示），可直观验证此限制条件。该图像在 \( x = 0 \) 处"不存在"，此时函数无定义。
\( \dfrac{1}{x} \) 的定义域用区间记号表示为：
\[ (-\infty , 0) \cup (0 , \infty) \]
该函数在分母不为零时取得实数值，故其定义域需满足：
\[ x - 2 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne 2 \]用区间记号表示为：
\[ (-\infty , 2) \cup (2 , \infty) \]函数 \( f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \) 的图像如下所示。在 \( x = 2 \) 处函数无定义，图像上清晰呈现为垂直渐近线。
该函数取得实数值的条件为：
\[ (x - 1)(x + 2) \ne 0 \]此不等式成立当且仅当 \( x \ne 1 \) 且 \( x \ne -2 \)。
用区间记号表示为：
\[ (-\infty , -2) \cup (-2 , 1) \cup (1 , \infty) \]函数 \( f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \) 的图像如下，可见在 \( x = -2 \) 和 \( x = 1 \) 处函数无定义，对应位置存在垂直渐近线。
函数取得实数值的条件为分母不为零：
\[ x^2 - 4 \ne 0 \]因式分解并改写不等式：
\[ (x - 2)(x + 2) \ne 0 \]该表达式不为零的条件为：
\[ x \ne -2 \quad \text{且} \quad x \ne 2 \]用区间记号表示为：
\[ (-\infty , -2) \cup (-2 , 2) \cup (2 , \infty) \]函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \) 的图像如下，可见在 \( x = -2 \) 和 \( x = 2 \) 处函数无定义：
函数取得实数值的条件为：
\[ x^2 + x - 2 \ne 0 \]因式分解并改写不等式：
\[ (x - 1)(x + 2) \ne 0 \]该表达式不为零的条件为 \( x \ne 1 \) 且 \( x \ne -2 \)。
用区间记号表示为：
\[ (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty) \]函数 \( f \) 的图像如下所示，可见在 \( x = -2 \) 和 \( x = 1 \) 处函数无定义。
函数取得实数值的条件为：
\[ x^2 + x + 5 \ne 0 \]表达式 \( x^2 + x + 5 \) 在实数范围内不可因式分解。通过判别式 \( \Delta \) 求解二次方程：
\[ x^2 + x + 5 = 0 \] \[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \]判别式为负值，说明不存在使 \( x^2 + x + 5 \) 等于零的实数 \( x \)。因此函数定义域为全体实数。
用区间记号表示为：
\[ (-\infty, \infty) \]函数 \( f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \) 的图像如下，可见其对所有实数 \( x \) 均有定义。
