除以零
函数 $y = \frac{1}{x}$ 仅在 $x \neq 0$ 时有定义。用区间表示法，其定义域为 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。如下图所示，该函数在垂直线 $x = 0$ 处无定义。
分步问题、解答与图象解释
有理函数定义为两个多项式的比值。定义域包含所有的实数，但使分母等于零的数值除外。
函数 $y = \frac{1}{x}$ 仅在 $x \neq 0$ 时有定义。用区间表示法，其定义域为 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。如下图所示，该函数在垂直线 $x = 0$ 处无定义。
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \]
该函数在分母为零的地方无定义：
\[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]定义域：除 $x = 2$ 以外的所有实数。
\[ (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \]
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \]
如果任一因式为零，则分母为零：
\[ (x - 1) = 0 \quad \text{或} \quad (x + 2) = 0 \] \[ x = 1, \quad x = -2 \]定义域：$(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$。
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \]
令分母为零并进行因式分解：
\[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ x = 2, \quad x = -2 \]定义域：$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \]
将三项式分母因式分解：
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]分母在 $x = -2$ 和 $x = 1$ 时为零。
定义域：$(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$。
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \]
使用判别式（$\Delta$）检查 $x^2 + x + 5 = 0$ 是否有实数根：
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \]由于 $\Delta < 0$，没有使分母为零的实数值。
定义域：所有实数，$(-\infty, \infty)$。
