分步问题、引导例题与详细解答
当函数表示为值表时，求其反函数涉及互换输入和输出的角色。
如果 $f$ 是一个具有反函数 $f^{-1}$ 的函数，其关系定义为：
\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]通俗易懂地说：如果原表说明 $x$ 映射到 $y$，则反函数将 $y$ 映射回 $x$。
利用下表求出下列值（如果存在）：
a) $f^{-1}(-4)$ | b) $f^{-1}(6)$ | c) $f^{-1}(9)$ | d) $f^{-1}(10)$ | e) $f^{-1}(-10)$
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| -4 | 9 |
| -2 | 4 |
| 0 | -5 |
| 3 | 5 |
| 6 | -4 |
| 7 | 7 |
| 8 | -10 |
a) $f^{-1}(-4)$：我们在 $f(x)$ 列中查找 $-4$。它对应于 $x = 6$。因此，$f^{-1}(-4) = 6$。
b) $f^{-1}(6)$：我们在 $f(x)$ 列中查找 $6$。它不存在。因此，$f^{-1}(6)$ 无定义。
c) $f^{-1}(9)$：当 $x = -4$ 时，$f(x) = 9$。因此，$f^{-1}(9) = -4$。
d) $f^{-1}(10)$：$10$ 不在 $f(x)$ 列中。因此，$f^{-1}(10)$ 无定义。
e) $f^{-1}(-10)$：当 $x = 8$ 时，$f(x) = -10$。因此，$f^{-1}(-10) = 8$。
利用函数 $g$ 的表格求出：$g^{-1}(0)$、$g^{-1}(-5)$、$g^{-1}(-10)$ 和 $g^{-1}(3)$。
| $x$ | $g(x)$ |
|---|---|
| -5 | 9 |
| -2 | 3 |
| 0 | -5 |
| 3 | 7 |
| 4 | -4 |
| 7 | 10 |
| 11 | 0 |
a) $g^{-1}(0)$：在表中，$g(11) = 0$。因此，$g^{-1}(0) = 11$。
b) $g^{-1}(-5)$：在表中，$g(0) = -5$。因此，$g^{-1}(-5) = 0$。
c) $g^{-1}(-10)$：值 $-10$ 未出现在 $g(x)$ 列中。因此，$g^{-1}(-10)$ 无定义。
d) $g^{-1}(3)$：在表中，$g(-2) = 3$。因此，$g^{-1}(3) = -2$。