根据函数表求反函数
含解答的问题集
如何根据表格求反函数的值？本文提供相关问题及其详细解答和说明。
函数与其反函数之间的关系
如果函数 \( f \) 的反函数是 \( f^{-1} \)，那么 \( f \) 和 \( f^{-1} \) 之间的关系可以表示为：
\[
f(a) = b \iff a = f^{-1}(b)
\]
示例
尽可能使用下面的表格求以下各项：
- a) \( f^{-1}(-4) \)
- b) \( f^{-1}(6) \)
- c) \( f^{-1}(9) \)
- d) \( f^{-1}(10) \)
- e) \( f^{-1}(-10) \)
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-4 & 9 \\
\hline
-2 & 4 \\
\hline
0 & -5 \\
\hline
3 & 5 \\
\hline
6 & -4 \\
\hline
7 & 7 \\
\hline
8 & -10 \\
\hline
\end{array}
\]
解答
a)
根据反函数的定义：
\[
a = f^{-1}(-4) \iff f(a) = -4
\]
这意味着 \( a \) 是使得 \( f(x) = -4 \) 的 \( x \) 值。从给定表格可知，当 \( x = 6 \) 时，\( f(x) = -4 \)。因此：
\[
a = 6 \quad \text{所以} \quad f^{-1}(-4) = 6
\]
b)
\[
a = f^{-1}(6) \iff f(a) = 6
\]
没有任何 \( x \) 值使得 \( f(x) = 6 \)，因此 \( f^{-1}(6) \) 无定义。
c)
\[
a = f^{-1}(9) \iff f(a) = 9
\]
使得 \( f(x) = 9 \) 的 \( x \) 值是 \( x = -4 \)。因此：
\[
f^{-1}(9) = -4
\]
d)
\[
a = f^{-1}(10) \iff f(a) = 10
\]
没有任何 \( x \) 值使得 \( f(x) = 10 \)，因此 \( f^{-1}(10) \) 无定义。
e)
\[
a = f^{-1}(-10) \iff f(a) = -10
\]
使得 \( f(x) = -10 \) 的 \( x \) 值是 \( x = 8 \)，因此：
\[
f^{-1}(-10) = 8
\]
更多问题与解答
尽可能使用下面的表格求以下各项：
- \( g^{-1}(0) \)
- \( g^{-1}(-10) \)
- \( g^{-1}(-5) \)
- \( g^{-1}(-7) \)
- \( g^{-1}(3) \)
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-5 & 9 \\
\hline
-2 & 3 \\
\hline
0 & -5 \\
\hline
3 & 7 \\
\hline
4 & -4 \\
\hline
7 & 10 \\
\hline
11 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
解答
a)
根据反函数的定义：
\[
a = g^{-1}(0) \iff g(a) = 0
\]
这意味着 \( a \) 是使得 \( g(x) = 0 \) 的 \( x \) 值。
使用上表，当 \( x = 11 \) 时，有 \( g(x) = 0 \)。
因此，\( a = 11 \)，所以 \[ g^{-1}(0) = 11 \]
b)
\( a = g^{-1}(-5) \) 当且仅当 \( g(a) = -5 \)。
使得 \( g(x) = -5 \) 的 \( x \) 值是 \( 0 \)。
因此，\[ g^{-1}(-5) = 0 \]
c)
\( a = g^{-1}(-10) \) 当且仅当 \( g(a) = -10 \)。
没有任何 \( x \) 值使得 \( g(x) = -10 \)。
因此，\[ g^{-1}(-10) \; \text{ 无定义} \]
d)
\( a = g^{-1}(-7) \iff g(a) = -7 \)。
没有任何 \( x \) 值使得 \( g(x) = -7 \)。
因此，\[ g^{-1}(-7) \; \text{ 无定义} \]
e)
\( a = g^{-1}(3) \) 当且仅当 \( g(a) = 3 \)。
使得 \( g(x) = 3 \) 的 \( x \) 值是 \( -2 \)。
因此，\[ g^{-1}(3) = -2 \]
更多参考资料和链接