正弦与余弦函数图像绘制

本文讨论形式为 \[ \Large \mathbf { \color{red}{ y = a \sin(b x + c) + d}} \] 和 \[ \Large \mathbf { \color{red}{ y = a \cos(b x + c) + d}} \] 的正弦与余弦函数图像，并通过包含详细解答的多个示例进行说明。

我们从基本正弦函数 $ y = \sin(x) $ 和基本余弦函数 $ g(x) = \cos(x) $ 的图像开始，然后展示如何绘制这些函数经过变换后的版本。有效使用本教程的方法是从开头开始，按顺序学习各个示例。

基本正弦函数图像：$ y = \sin(x) $

示例 1

求函数 $ y = \sin(x) $ 的值域和周期并绘制其图像。

示例 1 解答

以直角坐标系原点为圆心的单位圆（半径为1）有4个特殊点，对应5个象限角 $ (0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi ) $，如下图1所示。单位圆上一点的 $ x $ 和 $ y $ 坐标分别是对应角的余弦和正弦。

设 $ x $ 为标准位置的角，由单位圆我们可以得出以下结论：

$ \sin(x) $ 的值域（y坐标）是区间 \[ [-1 , 1] \] 内的所有值，或用不等式表示为 \[ -1 \leq \sin(x) \leq 1 \]

$ \sin(x) $ 的一个周期可以从 $ x = 0 $ 开始到 $ x = 2\pi $ 结束，在此旋转之后，$ \sin(x) $ 的值会重复，如单位圆所示，因此我们称 $ \sin(x) $ 的周期等于 $ 2\pi $。为了绘制图像，我们需要 $ \sin(x) $ 在不同 $ x $ 值处的值。我们将使用变量 $ x (0 ,\dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi) $ 对应的5个相同象限角的y坐标（即 $ \sin(x) $），其中三个值 $ (0 , \pi , 2 \pi) $ 是 $ \sin(x) $ 的零点，一个值 $ (\dfrac{\pi}{2}) $ 使 $ \sin(x) $ 取得最大值，一个值 $ ( \dfrac{3\pi}{2} ) $ 使 $ \sin(x) $ 取得最小值，如下表所示。 \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y = \sin(x) \\ \hline 0 & 0 \\ \dfrac{\pi}{2} & 1\\ \pi & 0 \\ 3\dfrac{\pi}{2} & -1 \\ 2 \pi & 0 \\ \hline \end{array} \] $ y = \sin(x) $ 的图像如下所示，其中一个周期从 $ 0 $ 到 $ 2\pi $（实线），其他周期（虚线）。

y = sin(x) 的图像 — 图 2. $ y = \sin(x) $ 的图像

基本余弦函数图像：$ f(x) = \cos(x) $

示例 2

求函数 $ y = \cos(x) $ 的值域和周期并绘制其图像。

示例 2 解答

我们将使用与5个象限角 $ 0 , \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \text{ 和 } 2\pi $ 对应的相同的4个特殊点，如上方的单位圆（图1）所示。$ \cos(x) $ 由单位圆上对应标准位置角 $ x $ 的点的x坐标给出。

由单位圆我们可以得出以下结论：

$ \cos(x) $ 的值域是区间 $[-1 , 1]$ 内的所有值，用不等式表示为： \[ -1 \leq \cos(x) \leq 1 \]

$ \cos(x) $ 的一个周期可以从 $ x = 0 $ 开始到 $ x = 2\pi $ 结束，在此旋转之后，$ \cos(x) $ 的值周期性地重复，如单位圆所示。因此我们得出结论，$ \cos(x) $ 的周期等于 $ 2\pi $。

我们使用单位圆中不同 $ x $ 值对应的 $ \cos(x) $ 的值（见图1）。我们将使用变量 $ x $ 对应的5个相同象限角的x坐标（即 $ \cos(x) $）：$ 0 , \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, \text{ 和 } 2\pi $。在这些值中，两个值（$ 0 , 2\pi $）使 $ \cos(x) $ 取得最大值 $ 1 $，两个值 $ \dfrac{\pi}{2} $ 和 $ \dfrac{3\pi}{2} $ 是 $ \cos(x) $ 的零点，一个值 $ \pi $ 使 $ \cos(x) $ 取得最小值，如下表所示。

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y = \cos(x) \\ \hline 0 & 1 \\ \dfrac{\pi}{2} & 0 \\ \pi & -1 \\ 3\dfrac{\pi}{2} & 0 \\ 2 \pi & 1 \\ \hline \end{array} \] $ \cos(x) $ 的图像如下所示，其中一个周期从 $ 0 $ 到 $ 2\pi $（实线），更多周期（虚线）。

函数图像：$ y = 3\sin(x) $

示例 3

求函数 $ y = 3\sin(x) $ 的值域和周期并绘制其图像。

示例 3 解答

比较给定函数 $ y = 3 \sin(x) $ 和基本正弦函数 $ y = \sin(x) $，存在一个乘以3的因子。由于变量 $ x $ 在两个函数中以相同的方式出现，没有水平拉伸或平移。 \[ \text{周期} = 2\pi \] 我们已经在上面为 $ \sin(x) $ 制作了一个表格；让我们扩展它并包含给定函数 $ y = 3 \sin(x) $ 以便绘图。注意：要获得函数 $ 3 \sin(x) $ 的值，需要将函数 $ \sin(x) $ 的值乘以3，如下表所示。从表中得出： \[ \text{值域：} -3 \leq 3 \sin(x) \leq 3 \] \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \sin(x) & y = 3 \sin(x) \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \dfrac{\pi}{2} & 1 & 3 \\ \pi & 0 & 0 \\ 3\dfrac{\pi}{2} & -1 & -3 \\ 2 \pi & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \] $ 3 \sin(x) $ 的图像如下所示，其中一个周期从 0 到 2π，正如预期的那样，存在垂直拉伸，因子为3（与 $ y = \sin(x) $ 比较，红色）。周期如预期没有改变，但值域现在是：$ [-3 , 3] $ 或用不等式表示：$ -3 \leq 3 \sin(x) \leq 3 $

y = 3sin(x) 的图像 — 图 4. $ y = 3 \sin(x) $ 的图像

函数图像：$ y = - 2 \cos(x) $

示例 4

求函数 $ y = -2 \cos(x) $ 的值域和周期并绘制其图像。

示例 4 解答

比较给定函数 $ y = - 2 \cos(x) $ 和基本余弦函数 $ y = \cos(x) $，存在垂直拉伸，因子为2，并且由于负号 -2，还存在关于x轴的反射。由于变量 x 在两个函数中以相同的方式出现，没有水平拉伸或平移。

周期 = 2π

上面已经为 $ \cos(x) $ 制作了一个表格，让我们扩展它以包含给定函数 $ y = - 2 \cos(x) $ 以便绘图。

从表中得出值域：$ -2 \leq -2 \cos(x) \leq 2 $

一般来说，形式为 $ y = a \sin(x) $ 或 $ y = a \cos(x) $ 的函数的值域由区间 \[ [ - |a| , |a| ] \quad \text{或用不等式表示} \quad - |a| \le y \le |a| \] 给出。 \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \cos(x) & y = -2 \cos(x) \\ \hline 0 & 1&-2 \\ \dfrac{\pi}{2} & 0 & 0 \\ \pi & -1& 2 \\ 3\dfrac{\pi}{2} & 0 & 0 \\ 2 \pi & 1 &-2 \\ \hline \end{array} \]

$ -2 \cos(x) $ 的图像如下所示，其中一个周期从 $ 0 $ 到 $ 2\pi $（蓝色实线），与 $ y = \cos(x) $（红色）相比，可以看到存在因子为2的拉伸和反射。

y = - 2 cos(x) 的图像 — 图 5. $ y = -2 \cos(x) $ 的图像

函数图像：$ y = \sin(2 x) $

示例 5

求函数 $ y =\sin(2 x) $ 的周期并绘制其图像。

示例 5 解答

比较给定函数 $ y = \sin(2 x) $ 和基本正弦函数 $ y = \sin(x) $，由于 $ \sin(2 x) $ 中的 $ 2x $，存在水平收缩，因子为 $ 2 $。

解释为了使函数 $ y =\sin(2 x) $ 经历一个周期，$ 2 x $ 必须满足以下条件： \[0 \leq 2x \leq 2\pi \] 将上述不等式的所有项除以 $ 2 $，我们得到： \[ 0 \leq x \leq \pi \] 这是用于绘制 $ y =\sin(2 x) $ 图像的一个周期区间。因此，$ \sin(2x) $ 的周期由 \[ \pi - 0 = \pi \] 给出。

一般来说，形式为 $ y = \sin( b x) $ 或 $ y = \cos( b x) $ 的函数的周期由 \[ \dfrac{\ 2\pi}{|b|} \] 给出，周期始终为正。 $ \sin(2 x) $ 的表格制作方式与 $ y = \sin(x) $ 类似，不同之处在于一个周期内 $ x $ 的值从 $ 0 $ 到 $ \pi $（一个周期）。

值 $ x = 0, \pi , \pi/4 , \pi/2 , 3\pi/4 $ 将周期分成4个相等的区间。 \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y = \sin(2 x) \\ \hline 0 & 0\\ \dfrac{\pi}{4} & 1 \\ \dfrac{\pi}{2} & 0 \\ 3\dfrac{\pi}{4} & -1\\ \pi & 0\\ \hline \end{array} \] $ y = \sin(2 x) $ 的图像如下所示，其中一个周期从 $ 0 $ 到 $ \pi $（蓝色实线），与周期为 $ 2\pi $ 的 $ y =\sin(x) $（红色）进行比较。

函数图像：$ y = \cos(2 x - \dfrac{\pi}{4}) $

示例 6

求函数 $ y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) $ 的周期和相位平移并绘制其图像。

示例 6 解答

将给定函数重写为： \[ y = \cos\left(2(x - \dfrac{\pi}{8})\right) \] 我们首先忽略项 $ -\dfrac{\pi}{8} $ 并为 $ y = \cos(2x) $ 定义一个周期： \[ 0 \leq 2x \leq 2\pi \] 将所有项除以2得到： \[ 0 \leq x \leq \pi \] 周期为 $ \pi $，如上文所计算。

为了使函数 $ y = \cos\left(2(x - \dfrac{\pi}{8})\right) $ 经历一个周期，表达式 $ 2(x - \dfrac{\pi}{8}) $ 必须满足以下条件： \[ 0 \leq 2(x - \dfrac{\pi}{8}) \leq 2\pi \] 将所有项除以2： \[ 0 \leq x - \dfrac{\pi}{8} \leq \pi \] 将所有项加上 $ \dfrac{\pi}{8} $： \[ \dfrac{\pi}{8} \leq x \leq \pi + \dfrac{\pi}{8} \] 这是用于绘制 $ y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) $ 图像的一个周期区间。

当我们比较 $ \cos(2x) $ 的一个周期区间 \[ 0 \leq x \leq \pi \] 和 $ \cos\left(2(x - \dfrac{\pi}{8})\right) $ 的一个周期区间 \[ \dfrac{\pi}{8} \leq x \leq \pi + \dfrac{\pi}{8} \] 时，唯一的区别是向右相位平移了 $ \dfrac{\pi}{8} $。

一般来说，形式为 $ y = \sin(bx + c) $ 或 $ y = \cos(bx + c) $ 的函数的相位平移由 \[ -\dfrac{c}{b} \] 给出。如果相位平移为正，则向右平移；如果为负，则向左平移。

我们按如下方式构建数值表：

如上所述，在本例中，一个周期从 x = π/8 开始，到 x = π + π/8 = 9π/8 结束。因此，我们使用这两个点开始制作表格。

一个周期

接下来，我们找到 $ x = \pi/8 $ 和 $ x = 9\pi/8 $ 之间的中间值，计算如下： \[ \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{9\pi}{8} \right) = \dfrac{5\pi}{8} \] 并将其放入表中。

一个周期内的三个点

接下来，我们找到 x = π/8 和 5π/8 之间的中间值，计算如下：(1/2)(π/8 + 5π/8) = 3π/8；以及 5π/8 和 9π/8 之间的中间值，计算如下：(1/2)(5π/8 + 9π/8) = 7π/8，并将所有这些放入表中，如下所示：我们找到 $ x = \dfrac{\pi}{8} $ 和 $ \dfrac{5\pi}{8} $ 之间的中间值，计算如下： \[ \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{5\pi}{8} \right) = \dfrac{3\pi}{8} \] 以及 $\dfrac{5\pi}{8}$ 和 $\dfrac{9\pi}{8}$ 之间的中间值，计算如下： \[ \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{5\pi}{8} + \dfrac{9\pi}{8} \right) = \dfrac{7\pi}{8} \] 并将所有这些放入表中，如下所示：

一个周期内的五个点我们将一个周期区间分成了4个相等的区间，这使得计算给定函数 $ y =\cos(2x - \pi/4) $ 变得容易，该函数在区间 $ \dfrac{\pi}{8} , \dfrac{9\pi}{8} $ 内具有相同的最大值、最小值位置。现在我们通过填入函数值来完成表格。

y = cos(2 x - pi/4) 的值 $ y = \cos(2 x - \dfrac{\pi}{4}) $（蓝色）的图像与 $\cos(2 x) $（红色）的图像进行比较。它们除了向右平移 $ \dfrac{\pi}{8} $ 外是相似的。

y = cos(2x - pi/4) 的图像 — 图 7. $ y = \cos(2 x - \dfrac{\pi}{4}) $ 的图像

函数图像：$ y =\sin(3 x + \dfrac{\pi}{3}) $

示例 7

求函数 $ y =\sin(3 x + \dfrac{\pi}{3}) $ 的周期和相位平移并绘制其图像。

示例 7 解答

周期由下式给出：\[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{3} \]

相位平移计算如下： \[ \dfrac{-c}{b} = \dfrac{-\pi/3}{3} = \dfrac{-\pi}{9} \] 我们预计 $ y = \sin(3x + \dfrac{\pi}{3}) $ 的图像将是 $ y = \sin(3x) $ 的图像向左平移 $ \dfrac{\pi}{9} $，因为相位平移中的负号。

为了使函数 $ y = \sin(3x + \dfrac{\pi}{3}) $ 经历一个周期，表达式 $ 3x + \dfrac{\pi}{3} $ 必须满足以下条件： \[ 0 \leq 3x + \dfrac{\pi}{3} \leq 2\pi \] 解上述不等式求 $ x $，得到对应一个周期的区间。 \[ -\dfrac{\pi}{9} \leq x \leq \dfrac{5\pi}{9} \] 找到中间值，如示例6中所做，并完成数值表。

y = sin(3 x + pi/3) 的值给定函数 $ y =\sin(3 x + \dfrac{\pi}{3}) $（蓝色）的图像与 $\sin(3 x) $（红色）的图像进行比较。它们除了向左平移 $ \dfrac{\pi}{9} $ 外是相似的。

y = sin(3x + pi/3) 的图像 — 图 8. $ y = \sin(3x + \dfrac{\pi}{3} $ 的图像

函数图像：$ y = - 2\sin(2 x - \dfrac{\pi}{5}) + 1 $

示例 8

求函数 $ y = - 2\sin(2 x - \dfrac{\pi}{5}) + 1 $ 的值域、周期和相位平移并绘制其图像。

示例 8 解答

我们知道 $ \sin(2x - \pi/5) $ 的值域由区间 $[-1 , 1]$ 给出，或用不等式表示为： \[ -1 \leq \sin(2x - \pi/5) \leq 1 \] 将不等式的所有项乘以 $-2$ 并改变不等号方向： \[ 2 \geq -2\sin(2x - \pi/5) \geq -2 \] 将所有项加上 $+1$ 并重写为： \[ -2 + 1 \leq -2\sin(2x - \pi/5) + 1 \leq 2 + 1 \] 这给出了给定函数的值域为： \[ -1 \leq -2\sin(2x - \pi/5) + 1 \leq 3 \] 一般来说，函数 $ y = a\sin(bx + c) + d $ 或 $ y = a\cos(bx + c) + d $ 的值域由区间 \[ [ -|a| + d , |a| + d ] \quad \text{或用不等式表示} \quad -|a| + d \leq y \leq |a| + d \] 给出。周期由下式给出： \[ \dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{|2|} = \pi \] 相位平移由下式给出： \[ -\dfrac{c}{b} = -\dfrac{-\pi/5}{2} = \dfrac{\pi}{10} \] 为了绘制 $ y = -2\sin(2x - \pi/5) + 1 $ 在一个周期内的图像，表达式 $ 2x - \pi/5 $ 必须经历一个周期，如下所示： \[ 0 \leq 2x - \pi/5 \leq 2\pi \] 解上述不等式得到： \[ \dfrac{\pi}{10} \leq x \leq \dfrac{11\pi}{10} \] 使用上述不等式（给出一个周期）中的最小值 $ \dfrac{\pi}{10} $ 和最大值 $ \dfrac{11\pi}{10} $，通过将周期分成4个相等的区间来构建数值表，如下所示：

$y = - 2 sin(2 x - \dfrac{\pi}{5}) + 1 的值$ 重要的是要注意，一个周期内的图像被内接在一个矩形中，该矩形的长度从 $ \dfrac{\pi}{10} $ 到 $ 11\dfrac{\pi}{10} $ ，这是上面通过解不等式 $ 0 \leq (2x - \pi/5) \leq 2\pi $ 找到的一个周期区间，宽度从 $ y = - 2\sin(2 x - \dfrac{\pi}{5}) + 1 $ 的最小值和最大值（值域）得出，等于 $ -2 + 1 = - 1 $ 和 $ 2 + 1 = 3 $，这已在表格中找到的值域中给出。

y = -2 sin(2x - π/5) + 1 的图像 — 图 9. $ y = - 2\sin(2 x - \dfrac{\pi}{5}) + 1 $ 的图像

练习

对于下面给出的函数，求一个周期内的起始和结束 x 值、值域，并绘制其在一个周期内的图像。 \[ y = \dfrac{1}{2} \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1 \]

练习解答

一个周期：$ \dfrac{\pi}{18} \leq x \leq \dfrac{13\pi}{18} $ , 值域：$ [1/2 , 3/2] $ 。参见下图。

y = (1/2) cos(3x - π6) + 1 的图像 — 图 11. $ y = \dfrac{1}{2} \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1 $ 的图像

正弦与余弦函数图像绘制

基本正弦函数图像：\( y = \sin(x) \)

示例 1

示例 1 解答

基本余弦函数图像：\( f(x) = \cos(x) \)

示例 2

示例 2 解答

函数图像：\( y = 3\sin(x) \)

示例 3

示例 3 解答

函数图像：\( y = - 2 \cos(x) \)

示例 4

示例 4 解答

函数图像：\( y = \sin(2 x) \)

示例 5

示例 5 解答

函数图像：\( y = \cos(2 x - \dfrac{\pi}{4}) \)