单项式的最大公因数（GCF）

分步教程、已解答示例与详细解答

在代数中，两个或多个单项式的最大公因数（GCF）是可以整除所有这些单项式的最大单项式。这是因式分解多项式和化简有理表达式的关键技能。

质因数分解法

要求出 GCF，我们使用质因数分解将每个单项式拆解为其基本组成部分（系数和变量）。

  1. 写出每个数字系数的质因数分解。
  2. 列出该集合中出现指数最低的变量。
  3. 将公数字因数和变量因数相乘。

引导例题

例题 1：两个单项式

求 \( 12x \) 和 \( 18x^2 \) 的最大公因数。

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1. \( 12x \) 的质因数分解：
\[ 12x = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \]

2. \( 18x^2 \) 的质因数分解：
\[ 18x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x} \cdot x \]

3. 确定公因数：\( 2 \)、\( 3 \) 和 \( x \)。

\[ \text{GCF}(12x, 18x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6x} \]

例题 2：多个变量

求 \( 30x^2y^3 \)、\( 42x^3y^2 \) 和 \( 18x^2y^2 \) 的最大公因数。

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质因数分解：

  • \( 30x^2y^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \)
  • \( 42x^3y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \)
  • \( 18x^2y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \)

GCF 是公因数的乘积：

\[ \text{GCF} = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{6x^2y^2} \]

练习题与详细解答

应用质因数分解法解决以下问题。

第 1 题：求 \( 36x^2 \) 和 \( 42x^3 \) 的最大公因数。

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\[ 36x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 42x^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \]

最大公因数： \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x = \color{red}{6x^2} \)

第 2 题：求 \( 45x^3 \)、\( 60x^2 \) 和 \( 75x^4 \) 的最大公因数。

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\[ 45x^3 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \] \[ 60x^2 = \color{red} 2 \cdot 2 \cdot {3} \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 75x^4 = \color{red}{3 \cdot 5} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \]

最大公因数： \( 3 \cdot 5 \cdot x^2 = \color{red}{15x^2} \)

第 3 题：求 \( 50x^2y^3 \)、\( 75x^2y^2 \) 和 \( 125x^4y^3 \) 的最大公因数。

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\[ 50x^2y^3 = \color{red} 2 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \] \[ 75x^2y^2 = \color{red} 3 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \] \[ 125x^4y^3 = \color{red} 5 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \]

最大公因数： \( 5 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{25x^2y^2} \)

第 4 题：利用最大公因数化简有理表达式： \[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} \]

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首先，求出分子和分母的质因数分解：

\[ 35x^3y^2 = 5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x \] \[ 42x^2y^3 = 2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y \]

消去公共的 GCF 因数 \( (7x^2y^2) \)：

\[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} = \dfrac{5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y} = \dfrac{5x}{6y} \]

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