单项式的最大公因式
如何在数学中求两个或多个单项式的最大公因式（GCF）？本文提供11年级数学问题，并包含详细解答和说明。
什么是单项式的最大公因式（GCF）？
两个或多个单项式的最大公因式，是指能整除所有这些单项式的最大单项式。求解方法是先找到每个单项式的质因数分解。
示例 1
求单项式 \( 12x \) 和 \( 18x^2 \) 的最大公因式。
解答
1) 写出单项式 \( 12 x \) 的质因数分解：\( \quad 12 x = \color{red}{2} \cdot \color{black}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \)
2) 写出单项式 \( 18 x^2 \) 的质因数分解：\( \quad 18 x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot \color{black}{3} \cdot \color{red}{x}\cdot \color{black}{x} \)
\( 12 x \) 和 \( 18 x^2 \) 的最大公因式（GCF）是上述质因数分解中所有公共因子的乘积：
\[ \text{GCF} (12 x , 18 x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6 x } \]
示例 2
求下列单项式的最大公因式：
\[
30x^2 y^3,\quad 42x^3 y^2,\quad \text{和 } 18x^2 y^2
\]
解答
1) 写出单项式 \( 30x^2 y^3 \) 的质因数分解：
\[
30x^2 y^3 =
\color{red}{2 \times 3} \times \color{black} 5 \times \color{red} {{x \times x} \times \color{red}{y \times y} \times \color{black}y}
\]
2) 写出单项式 \( 42 x^3 y^2 \) 的质因数分解：
\[
42 x^3 y^2 =
\color{red}{2 \cdot 3} \cdot \color{black} 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{black} {x} \cdot \color{red}{y \cdot y}
\]
3) 写出单项式 \( 18 x^2 y^2 \) 的质因数分解：
\[ 18 x^2 y^2 = \color{red} { 2 \cdot 3 \cdot {\color{black}3} \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y } \]
这三个单项式的最大公因式是上述质因数分解中所有公共因子的乘积：
\[ \text{GCF}( 30x^2 y^3 , 42 x^3 y^2 , 18 x^2 y^2 ) = \color{red}{ 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y = 6 x^2 y^2}
\]
回答下列问题
详细解答和说明已包含。
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求单项式 \( 36 x^2 \; \text{和} \; 42 x^3 \) 的最大公因式。
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求 \( 45 x^3 \; , \; 60 x^2 \; \text{和} \; 75 x^4 \) 的最大公因式。
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求 \( 50 x^2 y^3 \; , \; 75 x^2 y^2 \; \text{和} \; 125 x^4 y^3 \) 的最大公因式？
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a) 求单项式 \( 35 x^3 y^2 \; \text{和} \; 42 x^2 y^3 \) 的质因数分解。
b) 化简有理表达式 \( \dfrac{35 x^3 y^2 }{42 x^2 y^3} \)
详细解答和说明已包含。
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