加、减、化简有理表达式
带有解答的示例

这两个分数有相同的分母，因此我们直接相减分子：

$$ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3} $$

这两个分数有不同的分母，因此我们需要找出 5 和 10 的最小公倍数（LCM）。

• 5 的倍数：5, 10, 15...
• 10 的倍数：10, 20, 30...

我们将分数转换为公分母 10：

$$ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10} $$

现在化简：

$$ = \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2} $$

这两个有理表达式具有相同的分母，因此我们相减分子并保持相同的分母：

$$ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2} $$

化简分子：

$$ = \dfrac{-x-2}{x+2} $$

从分子中提取 \(-1\) 并约去公因式：

$$ = \dfrac{-(x+2)}{x+2} = -1 \quad \text{其中 } x \neq -2 $$

找出分母 6、18 和 24 的 LCM。

• 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72...
• 18: 18, 36, 54, 72...
• 24: 24, 48, 72...

将所有 3 个分母转换为公分母 72：

$$ \frac{7 \times \color{red}{12}}{6 \times \color{red}{12}} + \frac{1 \times \color{red}{4}}{18 \times \color{red}{4}} - \frac{5 \times \color{red}{3}}{24 \times \color{red}{3}} $$

$$ = \frac{84}{72} + \frac{4}{72} - \frac{15}{72} = \frac{84 + 4 - 15}{72} = \frac{73}{72} $$

两个分母 \((x + 5)\) 和 \((x + 2)\) 没有公因式，因此它们的 LCM 为：

$$ \text{LCM} = (x + 5)(x + 2) $$

用相同的分母重写有理表达式：

$$ \frac{(x+3)\color{red}{(x+2)}}{(x+5)\color{red}{(x+2)}} + \frac{(x-3)\color{red}{(x+5)}}{(x+2)\color{red}{(x+5)}} $$

$$ = \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x+5)}{(x+5)(x+2)} $$

展开、化简，如果可能的话对分子进行因式分解：

$$ = \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 + 2x - 15}{(x+5)(x+2)} = \frac{2x^2 + 7x - 9}{(x+5)(x+2)} $$

$$ = \frac{(x-1)(2x+9)}{(x+5)(x+2)} $$

要将有理表达式与没有分母的表达式相加，用公分母除以公分母乘以整个表达式：

$$ \frac{-3}{x-4} + (x+4) \cdot \frac{\color{red}{x-4}}{\color{red}{x-4}} $$

这两个表达式现在具有相同的分母，相加如下：

$$ = \frac{-3 + (x+4)(x-4)}{x-4} = \frac{-3 + x^2 - 16}{x-4} = \frac{x^2 - 19}{x-4} $$

将分母完全因式分解以求得 LCM：

$$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$

$$ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) $$

$$ \text{LCM} = (x - 1)(x - 2)(x + 3) $$

用公分母重写有理表达式：

$$ \frac{x-4}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{\color{red}{x+3}}{\color{red}{x+3}} - \frac{x+5}{(x-1)(x+3)} \cdot \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x-2}} $$

$$ = \frac{(x-4)(x+3)}{(x-1)(x-2)(x+3)} - \frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)(x+3)(x-2)} $$

相减分子、展开并化简：

$$ = \frac{(x-4)(x+3) - (x+5)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+3)} $$

$$ = \frac{(x^2 - x - 12) - (x^2 + 3x - 10)}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{-4x - 2}{(x-1)(x-2)(x+3)} $$

将给定表达式的分子和分母写成因式分解形式，并先约去公因式：

$$ \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{(x + 6)(x - 1)}{(x + 6)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 3} $$

两个新分母 \((x + 1)\) 和 \((x + 3)\) 没有公因式，因此它们的 LCM 是 \((x + 1)(x + 3)\)。用公分母重写：

$$ = \frac{(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} $$

展开并化简：

$$ = \frac{(x^2 + 5x + 6) - (x^2 - 1)}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 3)} $$

完全分解三个分母以求得 LCM：

$$ 2x - 1 = 2x - 1 $$

$$ 2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5) $$

$$ 2x + 10 = 2(x + 5) $$

$$ \text{LCM} = 2(2x - 1)(x + 5) $$

用公分母重写有理表达式：

$$ \frac{2}{2x-1} \cdot \frac{\color{red}{2(x+5)}}{\color{red}{2(x+5)}} + \frac{x+8}{(2x-1)(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} - \frac{5}{2(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{(2x-1)}}{\color{red}{(2x-1)} $$

合并分子并化简：

$$ = \frac{2 \cdot 2(x+5) + 2(x+8) - 5(2x-1)}{2(2x-1)(x+5)} $$

$$ = \frac{4x + 20 + 2x + 16 - 10x + 5}{2(2x-1)(x+5)} $$

$$ = \frac{-4x + 41}{2(2x-1)(x+5)} = \frac{-(4x-41)}{2(2x-1)(x+5)} $$

完全分解两个分母以求得 LCM：

$$ y(xy - y + 3x - 3) = y(y(x - 1) + 3(x - 1)) = y(x - 1)(y + 3) $$

$$ 2x - 2 = 2(x - 1) $$

$$ \text{LCM} = 2y(x - 1)(y + 3) $$

用公分母重写有理表达式：

$$ \frac{y-2}{y(x-1)(y+3)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} + \frac{x}{2(x-1)} \cdot \frac{\color{red}{y(y+3)}}{\color{red}{y(y+3)}} $$

$$ = \frac{2(y-2) + xy(y+3)}{2y(x-1)(y+3)} $$

展开并化简：

$$ = \frac{2y - 4 + xy^2 + 3xy}{2y(x-1)(y+3)} = \frac{xy^2 + 3xy + 2y - 4}{2y(x-1)(y+3)} $$