探索关于有理式的乘法、除法、因式分解与化简的详细分步解答和解释。每个问题都配有完整的解题过程，包括因式分解技巧、公因式约简和定义域限制。这些例题旨在帮助学生、家长和教师更好地理解有理式，为代数练习做好准备。
两个有理式相乘，将其分子与分子相乘，分母与分母相乘： \[ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} \] 两个有理式相除，将第一个有理式乘以第二个有理式的倒数： \[ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} \]
图示为简单有理函数曲线。计算并化简：
\[ \frac{-3}{2} \div \frac{6x - 9}{2x - 3} \]两个有理式的除法可通过第一个有理式乘以第二个有理式的倒数来完成（见上述除法规则）。因此
\[ -\frac{3}{2} \div \frac{6x - 9}{2x - 3} = \frac{-3}{2} \cdot \frac{2x - 3}{6x - 9} \]将分子和分母相乘（乘法规则）。
\[ = \frac{-3(2x - 3)}{2(6x - 9)} \]对分母中的项 6x-9 进行因式分解：
\[ 6x - 9 = 3(2x - 3) \]并将因式分解形式代入有理式
\[ = \frac{-3(2x - 3)}{2 \cdot 3(2x - 3)} \]化简
\[ = \frac{\cancel{-3}\cancel{(2x - 3)}}{2 \cdot \cancel{3}\cancel{(2x - 3)}} = -\frac{1}{2} \text{，其中 } x \neq \frac{3}{2} \]图示为带有垂直渐近线的有理函数曲线。因式分解并化简：
\[ \frac{2x - 5}{2x + 2} \cdot \frac{10x + 10}{4x - 10} \]应用乘法规则（见上文）
\[ \frac{2x - 5}{2x + 2} \cdot \frac{10x + 10}{4x - 10} = \frac{(2x - 5)(10x + 10)}{(2x + 2)(4x - 10)} \]对分子和分母中的各项进行因式分解：
\[ 10 x + 10 = 10(x + 1) \qquad 2 x + 2 = 2(x + 1) \qquad 4 x - 10 = 2(2x - 5) \]并使用因式分解形式
\[ = \frac{(2x-5) \cdot 10(x+1)}{2(x+1) \cdot 2(2x-5)} \]尽可能化简
\[ = \frac{\cancel{(2x-5)} \cdot 10 \cancel{(x+1)}}{2 \cancel{(x+1)} \cdot 2 \cancel{(2x-5)}} = \frac{10}{4} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2} \text{，其中 } x \neq -1 \text{ 且 } x \neq \frac{5}{2} \]图示为相交的有理函数。
\[ \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \div \frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 1} \]两个有理式的除法可通过第一个有理式乘以第二个有理式的倒数来完成（见上述除法规则）。因此
\[ \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \div \frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 30} \]将分子和分母相乘（乘法规则），但不要展开，因为我们可能可以进行化简。
\[ = \frac{(2x^2 - 7x - 15)(x^2 - 1)}{(x^2 + 3x - 4)(x^2 + x - 30)} \]尽可能对分子和分母中的各项进行因式分解。
\[ 2 x^2 - 7 x - 15 = (2x + 3)(x - 5) ; x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] \[ x^2 + 3 x - 4 = (x + 4)(x - 1) ; x^2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5) \]并代入有理式
\[ = \frac{(2x+3)(x-5)(x-1)(x+1)}{(x+4)(x-1)(x+6)(x-5)} \]并进行化简。
\[ = \frac{\cancel{(2x+3)}\cancel{(x-5)}\cancel{(x-1)}(x+1)}{(x+4)\cancel{(x-1)}(x+6)\cancel{(x-5)}} = \frac{(2x+3)(x+1)}{(x+4)(x+6)} \text{，其中 } x\neq -6,-4,-1,1,5 \]图示为带有多条渐近线的有理函数曲线。计算、因式分解并化简：
\[ \left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x^2-4}{x^2-1} \right) + \frac{x-2}{x+5} \]括号内是两个有理式的乘法，我们应用乘法规则。同时还有一个有理式的除法，通过乘以倒数来完成。因此
\[ \left( \frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2-1} \right) \div \frac{x-2}{x+5} = \frac{(x-1)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-1)} \cdot \frac{x+5}{x-2} \]将分子和分母相乘（乘法规则），但不要展开，因为我们可能可以进行化简。
\[ = \frac{(x-1)(x^2-4)(x+5)}{(x+2)(x^2-1)(x-2)} \]尽可能对分子和分母中的各项进行因式分解，并代入有理式
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \text{ 且 } x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\]化简
\[ = \frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}(x+5)}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x-1)}(x+1)\cancel{(x-2)}} = \frac{x+5}{x+1} \text{，其中 } x\neq -2,-1,1,-5,2 \]图示为分子为三次的有理函数。计算、因式分解并化简：
\[ \frac{x^3 - 27}{x+3} \div \frac{x-3}{(x+3)^2} \]两个有理式的除法可通过第一个有理式乘以第二个有理式的倒数来完成（见上述除法规则）。因此
\[ \frac{x^3 - 27}{x + 3} \div \frac{x - 3}{(x + 3)^2} = \frac{x^3 - 27}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3)^2}{x - 3} \]将分子和分母相乘（乘法规则），但不要展开。
\[ = \frac{(x^3 - 27)(x + 3)^2}{(x + 3)(x - 3)} \]对分子中的项 \(x^3 - 27\) 进行因式分解并使用。
\[ x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3 x + 9) \]并代入有理式
\[ = \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x + 3)^2}{(x + 3)(x - 3)} \]并进行化简。
\[ = \frac{\cancel{(x - 3)}(x^2 + 3x + 9)(x + 3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x + 3)}\cancel{(x - 3)}} = (x + 3)(x^2 + 3x + 9) \] \[ \text{，其中 } x \neq -3 \text{ 且 } x \neq 3 \]图示为带有多条渐近线的有理函数。计算、因式分解并化简：
\[ \frac{2y - x}{4x^2 - 9y^2} \cdot \frac{4x + 6y}{y - \frac{1}{2}x} \]应用乘法规则（见上文）
\[ \frac{2y - x}{4x^2 - 9y^2} \cdot \frac{4x + 6y}{y - \frac{1}{2}x} = \frac{(2y - x)(4x + 6y)}{(4x^2 - 9y^2)(y - \frac{1}{2}x)} \]对分子和分母中的各项进行因式分解：
\[ 2 y - x = 2 (y - (1/2) x) ; 4 x + 6 y = 2(2 x + 3) ; 4 x^2 - 9 y^2 = (2x - 3y)(2x + 3y) \]并使用因式分解形式
\[ = \frac{2\left(y - \frac{1}{2}x\right) \cdot 2(2x + 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)\left(y - \frac{1}{2}x\right)} \]尽可能化简
\[ = \frac{\cancel{2}\cancel{\left(y - \frac{1}{2}x\right)} \cdot 2\cancel{(2x + 3y)}}{\cancel{(2x - 3y)}\cancel{(2x + 3y)}\cancel{\left(y - \frac{1}{2}x\right)}} = \frac{4}{2x - 3y} \text{，其中 } x \neq 2y , -\frac{3y}{2} , \frac{3y}{2} \]