高二（11年级）数学问题与解答

第一步：确定限制条件。分母不能为零，因此 \( x \ne 2 \) 且 \( x \ne -4 \)。

第二步：交叉相乘。为了消去分母，将每一侧的分子乘以另一侧的分母：
\[ (x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2) \]

第三步：展开两边。使用 FOIL 方法：
\[ x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 \]
\[ x^2 + 6x + 8 = 3x^2 - 10x + 8 \]

第四步：合并同类项，化为标准二次方程。从两边减去 \( x^2 + 6x + 8 \)：
\[ 0 = 2x^2 - 16x \]

第五步：因式分解并求解。提取公因式 \( 2x \)：
\[ 2x(x - 8) = 0 \]

令每个因式等于零，得到 \( x = 0 \) 和 \( x = 8 \)。两者都有效，因为它们都不等于我们的限制值。

最终解：{ 0 , 8 }。

第一步：使用有理根定理。可能的有理根是常数项（10）的因数与首项系数（1）的因数的比值。

常数项的因数（\(p\)）：\(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\)
首项系数的因数（\(q\)）：\(\pm 1\)

可能的根列表（\(\dfrac{p}{q}\)）：\(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\)。

测试 \( x = 1 \)：
\( P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0 \)。
既然 \( P(1) = 0 \)，说明 \( (x - 1) \) 是该多项式的一个因式。

第二步：进行多项式除法。用综合除法或长除法将 \( P(x) \) 除以 \( (x - 1) \)：
\[ \dfrac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10}{x-1} = x^2 - 3x - 10 \]

第三步：对所得的二次式进行因式分解。寻找相乘得 -10、相加得 -3 的两个数，即 -5 和 2：
\[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

第四步：组合所有因式。
因式分解结果：\( (x - 1)(x - 5)(x + 2) \)。

第一步：隔离指数项。两边同除以 6：
\[ 3^x = \dfrac{162}{6} \]
\[ 3^x = 27 \]

第二步：将两边写成相同的底数。认识到 27 是 3 的幂：
\[ 3^x = 3^3 \]

第三步：令指数相等。由于底数相同，指数必须相等。
x = 3。

第一步：回想等差数列的通项公式。
\[ a_n = a + (n-1)d \]

第二步：求公差（\( d \)）。代入第 15 项已知值：
\[ -35 = 7 + (15 - 1)d \]
\[ -35 = 7 + 14d \]
\[ -42 = 14d \Rightarrow d = -3 \]

第三步：计算第 30 项。再次使用公式，代入 \( n = 30 \) 和 \( d = -3 \)：
\[ a_{30} = 7 + (30 - 1)(-3) \]
\[ a_{30} = 7 + 29(-3) = 7 - 87 = \mathbf{-80} \]。p>

第一步：将应用题转化为方程。
\[ N + \dfrac{1}{N} = \dfrac{78}{15} \]

第二步：去分母。全式乘以公分母 \( 15N \)：
\[ 15N(N) + 15N\left(\dfrac{1}{N}\right) = 15N\left(\dfrac{78}{15}\right) \]
\[ 15N^2 + 15 = 78N \]

第三步：化简并令其等于零。将所有项移到一边：
\[ 15N^2 - 78N + 15 = 0 \]
全式除以 3 进行化简：
\[ 5N^2 - 26N + 5 = 0 \]

第四步：因式分解二次方程。
\[ (5N - 1)(N - 5) = 0 \]

第五步：求解。得到 \( N = 1/5 \) 和 \( N = 5 \)。由于题目要求求整数，我们舍去分数。
解：N = 5。

第一步：交叉相乘消去分母。
\[ 128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n \]

第二步：将所有数字表示为质因数底数。我们知道 \( 128 = 2^7 \)，\( 4 = 2^2 \)，\( 125 = 5^3 \)。
\[ 2^7 \cdot (2^2)^m = 5^3 \cdot 5^n \]

第三步：应用指数法则。合并底数为 2 和底数为 5 的项：
\[ 2^{7 + 2m} = 5^{3 + n} \]

第四步：求解 \( m \) 和 \( n \)。因为 2 和 5 是互不相同的质数，2 的幂等于 5 的幂的唯一可能情况是两者都等于 1（即 \( 2^0 = 5^0 \)）。因此，两个指数必须同时等于零：
\[ 7 + 2m = 0 \Rightarrow 2m = -7 \Rightarrow \mathbf{m = -3.5} \]
\[ 3 + n = 0 \Rightarrow \mathbf{n = -3} \]

第一步：确定定义域限制。对数只对正数有定义，因此 \( x > 0 \) 且 \( x - 2 > 0 \)。结合起来，我们的解必须满足 \( x > 2 \)。

第二步：合并对数。应用对数的乘积法则（\( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \））：
\[ \log_2[x(x - 2)] = 3 \]

第三步：转化为指数形式。根据对数的定义：
\[ x(x - 2) = 2^3 \]
\[ x^2 - 2x = 8 \]

第四步：解二次方程。
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]

得到潜在解 \( x = 4 \) 和 \( x = -2 \)。检查我们的定义域限制（\( x > 2 \）），我们发现 \( -2 \) 是增根（外来解）。
最终解：x = 4。

第一步：识别重复相加。将三个相同的项相加等于将该项乘以 3：
\[ 3 \cdot \left(3^{n + 4001}\right) \]

第二步：应用指数法则。数字 3 可以写成 \( 3^1 \)。同底数幂相乘，指数相加：
\[ 3^1 \cdot 3^{n + 4001} = 3^{1 + n + 4001} \]

化简形式：\( 3^{n + 4002} \)

第一步：用 \( y \) 替换 \( f(x) \)。
\[ y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \]

第二步：交换 \( x \) 和 \( y \)。这是求反函数的核心步骤：
\[ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} \]

第三步：解出新的 \( y \)。两边同乘以 \( y + 3 \)：
\[ x(y + 3) = 2y - 1 \]
\[ xy + 3x = 2y - 1 \]

将包含 \( y \) 的所有项移到一边，其他项移到另一边：
\[ xy - 2y = -3x - 1 \]

提取公因式 \( y \)：
\[ y(x - 2) = -3x - 1 \]

除以 \( x - 2 \)：
\[ y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \]

反函数：\( f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \)。

第一步：将两个方程设为相等。因为两个方程都等于 \( y \)：
\[ x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \]

第二步：化简为标准二次方程形式。将所有项移到左边：
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]

第三步：使用求根公式求解。（\( a=1, b=-6, c=4 \））
\[ x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \]
\[ x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \]

化简根式（\( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \））：
\[ x = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]

第四步：求对应的 y 值。将 x 值代回较简单的线性方程 \( y = 2x - 1 \) 中：
若 \( x = 3 + \sqrt{5} \)：\( y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \)。
若 \( x = 3 - \sqrt{5} \)：\( y = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \)。

解为：\( (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \) 与 \( (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \)。

第一步：写出抛物线的顶点式。
\[ y = a(x - h)^2 + k \]
代入顶点 \( (h, k) = (2, -1) \)：
\[ y = a(x - 2)^2 - 1 \]

第二步：求垂直拉伸系数（\( a \））。将已知点 \( (x, y) = (4, 7) \) 代入方程：
\[ 7 = a(4 - 2)^2 - 1 \]
\[ 7 = a(2)^2 - 1 \]
\[ 7 = 4a - 1 \]
\[ 8 = 4a \Rightarrow a = 2 \]

第三步：写出最终方程。
\( y = 2(x - 2)^2 - 1 \)。

第一步：建立周长和面积方程。设 \( x \) 为宽度（垂直于墙的两边），\( y \) 为长度（平行于墙的那一边）。
总围栏：\( 2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x \)。
面积：\( A = x \cdot y \)。

第二步：将面积表示为 \( x \) 的函数。将 \( y \) 代入面积方程：
\[ A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 \]

第三步：求最大值。这是一个开口向下的抛物线（\( a = -2 \)）。最大值出现在顶点处，其中 \( x = \dfrac{-b}{2a} \)：
\[ x = \dfrac{-100}{2(-2)} = \dfrac{-100}{-4} = 25 \]

第四步：求剩余尺寸和最大面积。
若 \( x = 25 \)，则 \( y = 100 - 2(25) = 50 \)。
尺寸：25米 乘 50米。
最大面积：\( 25 \cdot 50 = \) 1250平方米。

第一步：对分子和分母进行因式分解。
分子：\( x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \)
分母（平方差公式）：\( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\[ f(x) = \dfrac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 3)(x + 3)} \]

第二步：确定空洞（可去间断点）。因式 \( (x - 3) \) 被约分掉了，意味着在 \( x = 3 \) 处有一个空洞。
为了求空洞的 y 坐标，将 \( x = 3 \) 代入简化后的函数 \( \dfrac{x - 1}{x + 3} \) 中：
\( y = \dfrac{3 - 1}{3 + 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)。
空洞坐标为 (3, 1/3)。

第三步：确定垂直渐近线（VA）。将简化后剩下的分母设为零：
\( x + 3 = 0 \Rightarrow \) 垂直渐近线在 x = -3。

第四步：确定水平渐近线（HA）。因为分子的次数（2）等于分母的次数（2），水平渐近线为它们最高次项系数之比：
\( y = \dfrac{1x^2}{1x^2} \Rightarrow \) 水平渐近线在 y = 1。

第一步：求第二条直线的斜率（\( m_2 \））。
\[ m_2 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-6 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-9}{6} = -1.5 \]

第二步：确定第一条直线所需的斜率（\( m_1 \））。垂直的直线具有负倒数斜率（\( m_1 \cdot m_2 = -1 \））。
\[ m_1 = \dfrac{-1}{-1.5} = \dfrac{2}{3} \]

第三步：建立第一条直线的斜率方程以求 \( k \）。
\[ \dfrac{7 - 2}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} \]
\[ \dfrac{5}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} \]

第四步：交叉相乘并求解。
\( 15 = 2(-5 - k) \)
\( 15 = -10 - 2k \)
\( 25 = -2k \Rightarrow \) k = -12.5。

第一步：将抛物线方程代入圆方程。从抛物线方程中，我们可以隔离出 \( x^2 \)：
\( x^2 = y + 4 \)

将 \( (y+4) \) 代入圆方程中的 \( x^2 \)：
\[ (y + 4) + y^2 = 25 \]

第二步：解所得的二次方程。
\[ y^2 + y - 21 = 0 \]

使用求根公式：
\[ y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-21)}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} \]

第三步：求对应的 x 值。将这些 y 值代回 \( x^2 = y + 4 \) 中：
\[ x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} + \dfrac{8}{2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2} \]
\[ x = \pm \sqrt{\dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2}} \]

注意：\( 7 - \sqrt{85} \) 结果为负数，由于 \( x^2 \) 必须为正数，因此我们舍弃根号内部为负的情况。
交点为：
\( \left( \sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \) 与 \( \left( -\sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \)。

第一步：通过配方求第一个圆的半径。
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -1 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \)。
半径平方为 \( r_1^2 = 4 \)，因此 \( r_1 = 2 \)。

第二步：求第二个圆的半径。
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 11 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 \)。
半径平方为 \( r_2^2 = 16 \)，因此 \( r_2 = 4 \)。

第三步：用大圆面积减去小圆面积。
面积 = \( \pi(r_2)^2 - \pi(r_1)^2 \)
面积 = \( 16\pi - 4\pi = \mathbf{12\pi} \)。

第一步：在直线方程中隔离 \( y \) 并代入。
\( y = r - x \)。
代入圆方程：
\[ x^2 + (r - x)^2 = 4 \]
\[ x^2 + r^2 - 2rx + x^2 = 4 \]
\[ 2x^2 - 2rx + (r^2 - 4) = 0 \]

第二步：利用相切的判别式条件。若直线与圆相切，它们有且仅有一个交点，这意味着该二次方程的判别式（\( \Delta = b^2 - 4ac \））必须为零。
此处，\( a = 2 \), \( b = -2r \), \( c = r^2 - 4 \)。
\[ (-2r)^2 - 4(2)(r^2 - 4) = 0 \]
\[ 4r^2 - 8r^2 + 32 = 0 \]
\[ -4r^2 = -32 \Rightarrow r^2 = 8 \]

结果：\( r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \)。

第一步：建立两个直角三角形。设 \( h = 80\text{米} \) 为悬崖高度。俯角等于从船看悬崖顶部的仰角。

第二步：求较近船的距离（\( d_1 \）。
使用正切（对边/邻边）：
\( \tan(28^\circ) = \dfrac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 = \dfrac{80}{\tan(28^\circ)} \approx 150.44\text{米} \)

第三步：求较远船的距离（\( d_2 \）。
\( \tan(18^\circ) = \dfrac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 = \dfrac{80}{\tan(18^\circ)} \approx 246.30\text{米} \)

第四步：求差值。
\[ \text{船间距离} = d_2 - d_1 \approx 246.30 - 150.44 = \mathbf{95.86 \text{ 米}} \]

第一步：使用毕达哥拉斯三角恒等式。代入 \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) 将方程完全转化为关于正弦的方程：
\[ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 \]
\[ 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 3 \]

第二步：整理为标准二次方程形式。将所有项移到右边以保持二次项为正：
\[ 0 = 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \]

第三步：对二次式因式分解。把 \( \sin x \) 视为变量 \( u \)（\( 2u^2 - 3u + 1 = 0 \））：
\[ (2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0 \]

第四步：求解 \( x \)。
情况一：\( 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \)。参考角为 30°。正弦在第一象限和第二象限为正，因此 \( x = 30^\circ \) 且 \( x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)。
情况二：\( \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \)。这发生在 \( x = 90^\circ \)。

解为：30°, 90°, 150°。