如何化简有理式？利用有理式的加法、减法、乘法和除法规则来化简复杂的代数分式。以下呈现高二（11年级）示例及详细的分步解答。
提示：您可以使用我们的在线有理式化简计算器来检查您的最终结果。
如果您遇到困难，请在开始前复习有关加法与减法以及乘法与除法的教程。
| 加法与减法 （需要公分母） |
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \] |
| 乘法 | \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \] |
| 除法 （乘以倒数） |
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \] |
化简：\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]
我们首先化简分子 \( \dfrac{2}{3} + 5 \)。将其转换为公分母。
\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \]
将 4 改写为分数 \( \dfrac{4}{1} \)，并通过除以分数（乘以倒数）来化简。
\[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \]
将分数相乘。
\[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \]
转换为公分母并相加。
\[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \mathbf{\dfrac{23}{12}} \]
化简：\[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]
我们首先通过转换为最小公分母 \( (x - 2)(x + 1) \) 来化简分子。
\[ = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} \]
\[ = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\]
应用除法法则，乘以分母的倒数。
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \]
通过约去公因式来化简。
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{x-2}\]
展开并化简分子。
\[ = \dfrac{(x^2+2x+1) + (x^2-2x)}{x-2} = \mathbf{\dfrac{2x^2+1}{x-2}} \;\; \text{对于} \;\; x \ne -1\]
化简：\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
将分子的各项转换为相同的分母。
\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3(3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
展开并化简分子部分。
\[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
乘以倒数。
\[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \]
提取常数以寻找可以约分的项。
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \]
约去 \( (3x+2) \) 并相乘。
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \]
转换为相同的分母并合并。
\[ = \dfrac{10(2x+1)}{x+1} - 2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{20x + 10 - 2x - 2}{x+1} = \dfrac{18x+8}{x+1} = \mathbf{\dfrac{2(9x+4)}{x+1}} \]
化简：\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]
从最内层的分式开始向上计算。将 \( x + \dfrac{1}{x+1} \) 中的各项转换为相同的分母。
\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \]
注意 \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} \) 等于其倒数 \( \dfrac{B}{A} \)。
\[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
将剩余的分母项转换为公分母。
\[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
化简并相加。
\[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}}\]
取最终的倒数。
\[ = \mathbf{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}} \]
化简以下表达式。点击“查看解答”以验证您的答案。
题目： \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
答案： \( \dfrac{353}{60} \)
题目： \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
答案： \( 4(x-1) \)
题目： \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
答案： \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)} \)
题目： \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
答案： \( \dfrac{ (x+2)(x-5)}{3(x+1)} \)
题目： \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
答案： \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
题目： \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)
答案： \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)
挑战 1：化简需要多项式因式分解的复杂分数。
\[ \dfrac{ \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} }{ \dfrac{x+3}{x-2} } \]
第一步：应用除法法则（乘以倒数）。
\[ = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
第二步：对分子和分母进行因式分解。注意平方差公式和完全平方三项式。
\[ = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
第三步：约去公因式 \( (x+3) \) 和 \( (x-2) \)。
\[ = \dfrac{(x-3){\cancel{(x+3)}}}{(x-2){\cancel{(x-2)}}} \cdot \dfrac{\cancel{x-2}}{\cancel{x+3}} \]
答案： \( \mathbf{\dfrac{x-3}{x-2}} \)
挑战 2：对具有二次分母的有理式进行加减运算。
\[ \dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} \]
第一步：对所有分母进行因式分解以找出最简公分母（LCD）。此处，\( x^2-1 = (x-1)(x+1) \)。
最简公分母为 \( (x-1)(x+1) \)。
第二步：将每个分式改写为以最简公分母为分母的形式。
\[ \dfrac{2x}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
第三步：在同一个分母下合并。注意要展开负号！
\[ = \dfrac{2x - (x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
第四步：展开并合并分子中的同类项。
\[ = \dfrac{2x - x - 1 + 3x - 3}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{4x - 4}{(x-1)(x+1)} \]
第五步：对分子进行因式分解，看看是否有其他项可以约分。
\[ = \dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
答案： \( \mathbf{\dfrac{4}{x+1}} \)
挑战 3：化简多层连分数。
\[ 2 - \dfrac{1}{2 - \dfrac{1}{2 - x}} \]
第一步：化简最内层的分母 \( 2 - \dfrac{1}{2 - x} \)。
\[ 2 \cdot \dfrac{2-x}{2-x} - \dfrac{1}{2-x} = \dfrac{4 - 2x - 1}{2-x} = \dfrac{3 - 2x}{2-x} \]
第二步：将此结果代回主方程中。记住 \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{B}{A} \)。
\[ 2 - \dfrac{1}{\dfrac{3 - 2x}{2-x}} = 2 - \dfrac{2-x}{3-2x} \]
第三步：寻找公分母以合并最终的各项。
\[ = \dfrac{2(3-2x)}{3-2x} - \dfrac{2-x}{3-2x} = \dfrac{6 - 4x - (2 - x)}{3-2x} \]
第四步：合并同类项。
\[ = \dfrac{6 - 4x - 2 + x}{3-2x} \]
答案： \( \mathbf{\dfrac{4 - 3x}{3 - 2x}} \)