如何简化有理式？本文提供11年级的典型例题详解，并附有完整解答过程。页面底部还包含更多带答案的练习题。
本站提供在线有理式简化计算器可用于验证计算结果。
如何简化有理式？需要运用有理式的加、减、乘、除运算法则来处理复杂表达式。
同分母有理式的加减法：
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \]有理式的乘法：
\[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \]有理式的除法（将第一个有理式乘以第二个有理式的倒数）：
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \;\; \text{或} \;\; \dfrac{ \dfrac{A}{B} }{ \dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \]若在简化过程中遇到困难，请先学习有理式的加减法教程和有理式的乘除法教程。本教程将通过逐步详解帮助你掌握有理式简化技巧，建议认真理解每个运算步骤并进行针对性练习。
也可参考有理式化简习题集及答案解析。
首先处理分子部分 \( \dfrac{2}{3} + 5 \) 的通分：
\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \]将分母4转换为分数形式，并进行除法运算（转换为乘法）：
\[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \]执行乘法运算：
\[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \]通分后相加：
\[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \dfrac{23}{12} \]先对分子部分进行通分（最小公分母为 \( (x - 2)(x + 1) \)）：
\[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}} \]运用除法法则（乘以倒数）：
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \]约去公因式：
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x-2)} \]展开并化简：
\[ = \dfrac{2x^2+1}{x-2} \;\; \text{其中} \;\; x \ne -1 \]对分子第一部分进行通分：
\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]应用有理式加法法则：
\[ = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3 \cdot (3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]展开并化简分子：
\[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]将除法转换为乘法：
\[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \]因式分解：
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \]约分后处理剩余部分：
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \]通分合并：
\[ \dfrac{10(2x+1)}{x+1}-2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{10(2x+1) - 2(x+1)}{x+1} = \dfrac{2(9x+4)}{x+1} \;\; \text{其中} \;\; x \ne -2/3 \]分别对分子分母应用减法法则：
\[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{2-x -4}{x+2}}{\dfrac{1-4}{x+3}} \]简化后转换运算：
\[ = \dfrac{ \dfrac{-x - 2}{x+2}}{\dfrac{-3}{x+3}} = \dfrac{-x - 2}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{-(x + 2)}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \]最终约分结果：
\[ = \dfrac{-{\cancel{(x+2)}}}{{\cancel{x+2}}} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{x+3}{3} \;\; \text{其中} \;\; x \ne -2 \]分别处理乘法和减法：
\[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)}}{\dfrac{1 - 4}{x+3}} \]运用除法法则：
\[ = \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \]约分得到结果：
\[ = \dfrac{4(2-x)}{(x+2){\cancel{(x+3)}}} \cdot \dfrac{{\cancel{(x+3)}}}{-3} = -\dfrac{4(2-x)}{3(x+2)} \;\; \text{其中} \;\; x \ne -3 \]从最内层开始通分：
\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} \]合并内层分式：
\[ = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \]处理倒数关系：
\[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]对外层进行通分：
\[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]逐步简化：
\[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}} \]最终求倒数得：
\[ = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2} \]