使用对称性求精确的三角函数值
圆心的任何直线都是对称轴。我们考虑一个以原点 \( (0,0) \) 为中心的单位圆。我们关注三种特定类型的对称性：
下面的单位圆展示了以弧度和度数表示的特殊角（\( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ), \text{以及 } \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \)）的余弦（x 坐标）和正弦（y 坐标）。
考虑以下角：\( \dfrac{2\pi}{3} \)、\( \dfrac{4\pi}{3} \) 和 \( \dfrac{5\pi}{3} \)。它们的参考角都是 \( \dfrac{\pi}{3} \)。
基准值： \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]
在第二象限中，x 为负，y 为正。
\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]
在第三象限中，x 和 y 均为负。
\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]
在第四象限中，x 为正，y 为负。
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
考虑以下角：\( \dfrac{5\pi}{6} \)、\( \dfrac{7\pi}{6} \) 和 \( \dfrac{11\pi}{6} \)。它们的参考角都是 \( \dfrac{\pi}{6} \)。
基准值： \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)
\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]
\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]
\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]
考虑以下角：\( \dfrac{3\pi}{4} \)、\( \dfrac{5\pi}{4} \) 和 \( \dfrac{7\pi}{4} \)。它们的参考角都是 \( \dfrac{\pi}{4} \)。
基准值： \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]
\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
运用您对单位圆、参考角和同终边角的知识，在不使用计算器的情况下解决以下问题。
问题 1（负角）：求 \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) 和 \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) 的精确值。
第一步：负角意味着顺时针旋转。要求一个正的同终边角，加上 \( 2\pi \)。
\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]
第二步：角 \( \dfrac{5\pi}{4} \) 位于第三象限。正弦和余弦均为负。
答案： \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) 且 \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)
问题 2（大于 \(2\pi\) 的角）：求 \( \dfrac{16\pi}{3} \) 的精确正弦和余弦值。
第一步：通过重复减去整圈（\( 2\pi \) 或 \( \dfrac{6\pi}{3} \)）来找到介于 \( 0 \) 和 \( 2\pi \) 之间的同终边角。
\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]
\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]
第二步：角 \( \dfrac{4\pi}{3} \) 位于第三象限，参考角为 \( \dfrac{\pi}{3} \)。
答案： \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) 且 \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)
问题 3（倒数函数）：求 \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) 和 \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) 的精确值。
第一步：确定基本的正弦和余弦值。角 \( \dfrac{11\pi}{6} \) 位于第四象限。
\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{和} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]
第二步：使用倒数恒等式：\( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) 和 \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \)。
\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]
\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]