单位圆中的特殊角

如何利用单位圆的对称性，来求与特殊角 \( \dfrac{\pi}{6} \)、\( \dfrac{\pi}{4} \) 和 \( \dfrac{\pi}{3} \) 通过对称性相关的角的正弦和余弦函数值？

单位圆中的特殊角

任何通过圆心的直线都是对称轴。圆心是对称中心。我们现在考虑一个以直角坐标系原点为圆心的单位圆。我们这里关注的是关于原点、x轴和y轴的对称性。

已知第一象限角的正弦和余弦值，利用单位圆的对称性可以更容易地得到其他象限角的正弦和余弦值。

下面的单位圆显示了特殊角的余弦和正弦函数值（蓝色坐标，其中 x 坐标为余弦值，y 坐标为正弦值）：

弧度制和角度制下的角： \( 0 \), \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°), \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°), \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°), \( \dfrac{\pi}{2} \) (90°), \( \dfrac{2\pi}{3} \) (120°), \( \dfrac{5\pi}{4} \) (135°) ...

问题： 求在 \( 0 \) 到 \( 2 \pi \) 之间，通过对称性与角 \( \dfrac{\pi}{6} \)、\( \dfrac{\pi}{4} \) 或 \( \dfrac{\pi}{3} \) 相关的角的正弦和余弦值。

示例 1

考虑角：\( \dfrac{2\pi}{3} \)、\( \dfrac{4\pi}{3} \) 和 \( \dfrac{5\pi}{3} \)。它们都与 \( \dfrac{\pi}{3} \) 相关：

\[ \dfrac{\pi}{3} \quad \text{和} \quad \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \quad \text{关于 y 轴对称} \]

因此：

\[ \dfrac{\pi}{3} \quad \text{和} \quad \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \quad \text{关于原点对称} \]

因此：

\[ \dfrac{\pi}{3} \quad \text{和} \quad \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \quad \text{关于 x 轴对称} \]

因此：

注意： \( \dfrac{\pi}{3} \)、\( \dfrac{2\pi}{3} \)、\( \dfrac{4\pi}{3} \) 和 \( \dfrac{5\pi}{3} \) 的正弦和余弦值都具有相同的绝对值。符号取决于它们的终边所在的象限。因此，已知：

我们可以通过应用单位圆的对称性并相应地调整符号，轻松确定 \( \dfrac{2\pi}{3} \)、\( \dfrac{4\pi}{3} \) 和 \( \dfrac{5\pi}{3} \) 的正弦和余弦值。

示例 2

考虑角：\( \dfrac{5\pi}{6} \)、\( \dfrac{7\pi}{6} \) 和 \( \dfrac{11\pi}{6} \)。它们都与 \( \dfrac{\pi}{6} \) 相关：

\[ \dfrac{\pi}{6} \quad \text{和} \quad \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \quad \text{关于 y 轴对称} \]

因此：

\[ \dfrac{\pi}{6} \quad \text{和} \quad \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \quad \text{关于原点对称} \]

因此：

\[ \dfrac{\pi}{6} \quad \text{和} \quad \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \quad \text{关于 x 轴对称} \]

因此：

注意： \( \dfrac{\pi}{6} \)、\( \dfrac{5\pi}{6} \)、\( \dfrac{7\pi}{6} \) 和 \( \dfrac{11\pi}{6} \) 的正弦和余弦值都具有相等的绝对值。它们的符号取决于角的终边所在的象限。

示例 3

考虑角 \( \dfrac{3\pi}{4} \)、\( \dfrac{5\pi}{4} \) 和 \( \dfrac{7\pi}{4} \)。这些角中的每一个都通过对称性与 \( \dfrac{\pi}{4} \) 相关：

\[ \dfrac{\pi}{4} \quad \text{和} \quad \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \quad \text{关于 y 轴对称} \]

因此：

\[ \dfrac{\pi}{4} \quad \text{和} \quad \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \quad \text{关于原点对称} \]

因此：

\[ \dfrac{\pi}{4} \quad \text{和} \quad \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \quad \text{关于 x 轴对称} \]

因此：

注意： 角 \( \dfrac{\pi}{4} \)、\( \dfrac{3\pi}{4} \)、\( \dfrac{5\pi}{4} \) 和 \( \dfrac{7\pi}{4} \) 的正弦和余弦值具有相同的绝对值。它们的符号取决于每个角的终边所在的象限。

更多参考资料和链接

• 单位圆与三角函数 sin(x), cos(x), tan(x)
• 三角函数中的单位圆问题
• 高中数学（10、11和12年级）- 免费问答与习题解析
• 初中数学（6、7、8、9年级）- 免费问答与习题解析
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