本文提供特殊多项式因式分解相关问题的解答。
平方差公式表达式为： \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
该恒等式有两种形式：
立方差公式表达式为： \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
立方和公式表达式为： \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
a) \( -25x^2 + 9 \)
b) \( 16y^4 - x^4 \)
c) \( 36y^2 - 60xy + 25x^2 \)
d) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)
e) \( -y^3 - 64 \)
f) \( x^6 - 1 \)
设 \(a = 5x\)，\(b = 3\)，则
\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 \]运用平方差公式 \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)，可得
\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 = (-a + b)(a + b) = (-5x + 3)(5x + 3) \]将各项写成平方形式：
\[ 16y^4 - x^4 = (4y^2)^2 - (x^2)^2 \]应用平方差公式：
\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]因式 \(4y^2 + x^2\) 在实数范围内不可分解，但 \(4y^2 - x^2\) 可再次应用平方差公式：
\[ 4y^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x) \]因此
\[ 16y^4 - x^4 = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]识别完全平方三项式：
\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y)^2 - 2\cdot(6y)\cdot(5x) + (5x)^2 \]使用二项式平方公式 \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)，可得
\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y - 5x)^2 \]提取公因数 \(\tfrac12\)：
\[ \tfrac12 x^2 + x + \tfrac12 = \tfrac12\bigl(x^2 + 2x + 1\bigr) \]注意 \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)，因此
\[ \tfrac12 x^2 + x + \tfrac12 = \tfrac12\,(x + 1)^2 \]提取公因数 \(-1\) 并识别立方和形式：
\[ -y^3 - 64 = -\bigl(y^3 + 4^3\bigr) \]应用立方和公式 \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)：
\[ -y^3 - 64 = -\bigl(y + 4\bigr)\bigl(y^2 - 4y + 16\bigr) \]首先写成平方差形式：
\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]再分别应用立方差和立方和公式：
\[ x^3 - 1 = (x - 1)\bigl(x^2 + x + 1\bigr), \quad x^3 + 1 = (x + 1)\bigl(x^2 - x + 1\bigr) \]因此
\[ x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]