高二（11年级）三角学问题与解答

a) 设 \( P \) 为乘客的位置（见下图）。

乘客的高度 \( h \) 由下式给出：

\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]

此处，\( y \) 取决于旋转角 \( A \)。利用三角学，我们写出：

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{radius}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]

角 \( A \) 依赖于角速度 \( \omega \)，关系如下：\( A = \omega t \)。

角速度 \( \omega \) 由下式给出：

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ 弧度/秒} \]

代入高度表达式中，我们得到：

\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]

其中 \( t \) 以秒为单位，高度以米为单位。

b) 要寻找 \( t = 45 \) 秒时的股票高度——哦不，高度：

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \]

\[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = \mathbf{26 \text{ 米}} \]

结合下图，

根据所形成的直角三角形，我们写出以下方程：

\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{和} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]

其中 \( h \) 为树的高度。解关于 \( x \) 的两个方程，我们得到：

\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{和} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

将关于 \( x \) 的两个表达式相等：

\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

求解 \( h \)：

\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = \mathbf{46.7 \text{ 米}} \]

结合下图，根据三角关系我们写出以下方程：

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{和} \quad \tan(90^\circ - 13^\circ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

从两个方程中消去 \( y \) 并求解 \( x \)：

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = \mathbf{119.9 \text{ 米}} \]

设 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 分别为齿轮 1 和齿轮 2 的半径。设 \( S_1 \) 和 \( S_2 \) 分别为齿轮 1 和齿轮 2 的旋转弧长。由于互锁齿轮具有相同的切向速度（以英寸/秒为单位），弧长 \( S_1 \) 和 \( S_2 \) 长度相等。

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

此处，\( t_1 \) 和 \( t_2 \) 分别为大齿轮和小齿轮的旋转角。

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \]

\[ t_1 = 356^\circ \]

角速度计算如下：

\[ \text{角速度} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ 秒}} = 89^\circ \text{ 每秒} \]

\[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1} = \mathbf{5340^\circ \text{ 每分钟}} \]

梯子、墙壁和地面构成一个直角三角形。因此，

a) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) 或 \( \mathbf{x = 20 \sin(t)} \)

b) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \)

代入方程：\( 5 = 20 \sin(t) \Rightarrow \sin(t) = \dfrac{1}{4} \)

求解 \( t \)： \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{14.48^\circ} \]

从右侧开始：

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \]

展开 \( \sin(x + 2x) \)：

\[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]

---

现在展开左侧的乘积：

\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \]

\[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]

利用恒等式 \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) 和 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) 变换第一项和最后一项：

\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\( 2\cos(x)\sin^2(x) \) 项相互抵消：

\[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

左侧已转换为与右侧相匹配。证明完毕。

使用余角恒等式展开并化简第一个方程：

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \mathbf{\sin(x) = -\dfrac{3}{5}} \]

展开并化简第二个方程：

\[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

现在计算 \( \tan(x) \)：

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \]

这里可以逆向使用正切的和角公式：

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \]

\[ = \tan(75^\circ) \]

\[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \]

使用特殊角展开：

\[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \]

\[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]

分子和分母同乘以 3：

\[ = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]

分母有理化：

\[ = \mathbf{\sqrt{3} + 2} \]

给定 \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \) 和 \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \) 及其各自的象限，利用毕达哥拉斯恒等式求出 \( \cos(s) \) 和 \( \cos(t) \)。

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{和} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

现在我们用正弦和余弦展开正切和角公式：

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \]

\[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

代入数值：

\[ = \dfrac{ (\dfrac{1}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(-\dfrac{1}{2}) }{ (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) - (\dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{2}) } \]

\[ = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{8} + \dfrac{\sqrt{15}}{8}}{-\dfrac{\sqrt{45}}{8} + \dfrac{1}{8}} \]

乘以 8 并化简 \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)：

\[ = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{1 - 3\sqrt{5}} \]

分母有理化得到：

\[ = \mathbf{-\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11}} \]

首先，将角约简到一个熟悉的象限：

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

现在应用半角公式，因为 \( \dfrac{\pi}{12} \) 是 \( \dfrac{\pi}{6} \) 的一半：

\[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \]

代入 \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \)：

\[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \]

\[ = \mathbf{-\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}}} \]

函数 \( f \) 的形式如下：

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

这表示将 \( g(x) \) 的图像向上垂直平移 2 个单位。已知 \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \)。

将 \( x = \dfrac{\pi}{2} \) 代入函数中：

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

利用已知值 \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)，我们得到：

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \]

\[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

最终方程：

\[ \mathbf{f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2} \]

函数的一般形式由下式给出：

\[ y = A \sin(Bx - C) + D \]

根据题目，我们知道：振幅 \( A = 5/3 \)，垂直平移 \( D = 4 \)，相移 \( C = 0 \)。

题目告诉我们周期为 \( \pi/2 \)。周期与 \( B \) 之间的关系为：

\[ \text{周期} = \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

求解 \( B \)：

\[ B = 4 \]

将 \( A \)、\( B \) 和 \( D \) 代入函数中：

\[ \mathbf{y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4} \]

为了求出边 \( a \) 的长度，我们应用余弦定理：

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

\[ a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \]

\[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \approx 5.963 \]

接下来，我们使用正弦定理求角 \( B \)：

\[ \dfrac{\sin(B)}{b} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{5.963} \]

求解角 \( B \)，我们得到：

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{5.963} \right) \approx \mathbf{29^\circ} \text{ （四舍五入到最接近的整数度）} \]

注意：

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \quad (225 = 144 + 81) \]

这意味着该三角形是一个直角三角形。最大的角正好是 \( \mathbf{90^\circ} \)。

设角 \( A \) 为长度为 9 的边所对的角。使用 SOH CAH TOA：

\[ \sin(A) = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \dfrac{9}{15} \]

角 \( A \) 约为 \( \mathbf{37^\circ} \)（四舍五入到最接近的整数度）。

第三个角为：

\[ 90^\circ - 37^\circ = \mathbf{53^\circ} \]

第一步：使用毕达哥拉斯恒等式 \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) 将方程完全写成关于正弦的形式。

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) = 1 \]

\[ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 1 \]

第二步：将所有项移到同一侧，形成一个等于零的标准二次方程。

\[ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

第三步：对二次表达式进行因式分解。将 \( \sin(x) \) 视为变量。

\[ (2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \]

第四步：在区间 \( [0, 2\pi) \) 上分别求解每个因式对应的 \( x \)。

情况一：\( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -1/2 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \]

情况二：\( \sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \]

答案： \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}} \)

第一步：通过寻找公分母（即 \( \sin(x)\cos(x) \)）来合并两个分数。

\[ \dfrac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

第二步：注意分子正好是正弦差角公式的展开形式：\( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)。

\[ = \dfrac{\sin(3x - x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

\[ = \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

第三步：在分子中应用正弦的二倍角恒等式：\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。

\[ = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

第四步：约去公因式。

答案： \( \mathbf{2} \)

第一步：要使用公式 \( \text{Area} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) \) 求面积，我们首先需要求出角 \( C \）。我们可以为此使用余弦定理。

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(C) \]

\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos(C) \]

\[ 64 = 74 - 70\cos(C) \]

\[ -10 = -70\cos(C) \Rightarrow \cos(C) = \dfrac{1}{7} \]

第二步：现在使用毕达哥拉斯恒等式求 \( \sin(C) \)。由于 \( C \) 是三角形中的一个角，\( \sin(C) \) 必须为正。

\[ \sin(C) = \sqrt{1 - \cos^2(C)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^2} \]

\[ \sin(C) = \sqrt{\dfrac{48}{49}} = \dfrac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \]

第三步：计算面积。

\[ \text{Area} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) = \dfrac{1}{2}(5)(7)\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right) \]

7 相消，并且 \( \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \)。

\[ \text{Area} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{10\sqrt{3}} \]