十一年级三角函数习题及解答

a) 设 \( P \) 为乘客的位置（如下图所示）。

乘客的高度 \( h \) 由下式给出： \[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \] 这里，\( y \) 取决于旋转角度 \( A \)。 根据三角关系，我们有： \[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{半径}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \] 角度 \( A \) 与角速度 \( \omega \) 的关系如下： \[ A = \omega t \] 角速度 \( \omega \) 由下式给出： \[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ 弧度/秒} \] 代入高度的表达式，我们得到： \[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \] 其中 \( t \) 的单位是秒，高度的单位是米。

b) 求 \( t = 45 \) 秒时的高度：

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \] \[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = 26 \text{ 米} \]

根据下图，

我们根据形成的直角三角形写出以下方程： \[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{且} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \] 其中 \( h \) 是树的高度。

解这两个方程求 \( x \)，我们得到： \[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{且} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \] 令两个 \( x \) 的表达式相等： \[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \] 解 \( h \)： \[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = 46.7 \text{ 米（保留三位有效数字）} \]

根据下图，我们根据三角关系写出以下方程：

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{且} \quad \tan((90^\circ - 13^\circ) ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

从两个方程中消去 \( y \) 并解 \( x \)：

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = 119.9 \text{ 米（保留四位有效数字）} \]

从右边开始：

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \] 展开 \( \sin(x + 2x) \) \[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \] 现在展开左边的乘积： \[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \] \[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \] 使用恒等式 \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) 和 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) 变换前两项： \[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \] \[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \] \[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

左边已变换为与右边相等。

函数 \( f \) 的形式如下：

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

这表示函数 \( g(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) 的图像向上平移了2个单位。

已知：\( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \)

将 \( x = \dfrac{\pi}{2} \) 代入函数：

\[ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \] \[ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

利用已知值 \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)，我们得到：

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \] \[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \] \[ a = -2 \]

最终方程

最终确定的函数为：

\[ f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

展开并化简： \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \sin(x) = -\dfrac{3}{5} \]

展开并化简： \[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-\dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4} \]

可以使用正切加法公式如下：

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \] \[ = \tan(75^\circ) \] \[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \] \[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \] \[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \] \[ = \sqrt{3} + 2 \]

为求边 \( a \) 的长度，我们应用余弦定理：

\[ a^2 = 4^2+ 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \] 由此得 \[ a = \sqrt{16 + 64 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ)} \]

接下来，我们使用正弦定理求角 \( B \)：

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

解角 \( B \)，我们得到：

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(A)}{a} \right) \approx 29^\circ \]

（四舍五入到最接近的度数）

已知 \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \) 和 \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \)，以及它们各自所在的象限，求 \( \cos(s) \) 和 \( \cos(t) \)。

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{且} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

现在展开：

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \] \[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

代入数值：

\[ = -\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11} \]

注意：

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \]

这意味着该三角形是直角三角形。

设角 \( A \) 为长度为9的边所对的角。则：

\[ \sin(A) = \dfrac{9}{15} \]

角 \( A \) 约为 \( 37^\circ \)（四舍五入到最接近的度数）。

第三个角为：

\[ 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ \]

函数由下式给出：

\[ y = \dfrac{5}{3} \sin(Bx) + 4, \quad B > 0 \]

已知周期为：

\[ \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

解 \( B \)：

\[ B = 4 \]

将 \( B = 4 \) 代入函数：

\[ y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4 \]

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \] \[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \quad \text{（半角公式）} \] \[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}} \]

设 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 分别为齿轮1和齿轮2的半径。设 \( S_1 \) 和 \( S_2 \) 分别为齿轮1和齿轮2的旋转弧长。由于相互啮合的齿轮具有相等的线速度（以英寸/秒为单位），弧长 \( S_1 \) 和 \( S_2 \) 长度相等。

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

这里，\( t_1 \) 和 \( t_2 \) 分别是大齿轮和小齿轮的旋转角度。

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \] \[ t_1 = 356^\circ \]

角速度计算如下：

\[ \text{角速度} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ 秒}} = 89^\circ \text{ 每秒} \] \[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1 \times 60} = 5340^\circ \text{ 每分钟} \]

梯子、墙和地面形成一个直角三角形。因此，

a) \(\sin(t) = \dfrac{x}{20}\) 或 \(x = 20 \sin(t)\)

b) \(x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 20 \sin(t)\)

解 \(t\)： \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx 14.48^\circ \]