掌握高三（12年级）数学：圆与三角函数问题

第一步：确定半径。
点 A 位于 x 轴上的 \( (8,0) \)。由于圆心在原点 \( (0,0) \)，从原点到点 A 的距离恰好是半径。因此，\( R = 8 \)。

第二步：求圆心角 \( \theta \)。
我们使用弧长公式 \( s = R \theta \)。已知 \( s = 20 \) 且 \( R = 8 \)。代入这些值以求解以弧度为单位的 \( \theta \)：

\[ 20 = 8 \theta \implies \theta = \dfrac{20}{8} = 2.5 \text{ 弧度} \]

第三步：计算 P 的坐标。
使用标准圆坐标公式 \( x = R \cos(\theta) \) 和 \( y = R \sin(\theta) \)。确保您的计算器设置为弧度模式！

\[ x = 8 \cos(2.5) \approx 8(-0.8011) \approx -6.40 \] \[ y = 8 \sin(2.5) \approx 8(0.5984) \approx 4.79 \]

结论： 点 \( P \) 的坐标大约为 \( (-6.40, 4.79) \)。（这在逻辑上是合理的，因为该点位于第二象限，其中 x 为负，y 为正）。

第一步：求半径 \( R \)。
半径是从原点 \( (0,0) \) 到点 P 的距离。我们使用距离公式（或勾股定理）：

\[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{(16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 50} = \sqrt{82} \]

第二步：求圆心角 \( \theta \)。
我们使用正切定义来求角。由于 x 和 y 均为正，该点位于第一象限，因此无需调整角度。

\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{5}{4} = 1.25 \] \[ \theta = \arctan(1.25) \approx 0.8960 \text{ 弧度} \]

第三步：计算弧长 \( S \)。
使用公式 \( S = R\theta \)：

\[ S = \sqrt{82} \cdot \arctan(1.25) \approx 9.055 \cdot 0.8960 \approx 8.11 \text{ 单位} \]

第一步：确定经过的时间。
从晚上 11:10 到晚上 11:50，经过的时间正好是 40 分钟。

第二步：求角位移。
时钟是一个整圆（\( 360^\circ \) 或 \( 2\pi \) 弧度），代表 60 分钟的时间。我们需要求出分针覆盖了圆的几分之几。

\[ \text{圆的比例} = \dfrac{40 \text{ 分钟}}{60 \text{ 分钟}} = \dfrac{2}{3} \text{ 圈} \]

现在，将这个分数直接转换为弧度。完整旋转为 \( 2\pi \)：

\[ \theta = \dfrac{2}{3} \times 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \text{ 弧度} \]

第三步：计算弧长。
半径 \( R \) 是分针的长度，即 4.5 cm。应用弧长公式 \( S = R \theta \)：

\[ S = 4.5 \times \left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \dfrac{18\pi}{3} = \mathbf{6\pi \text{ cm}} \]

a) 求 P 的坐标：
使用半径 \( R = 5 \) 和角 \( 35^\circ \)，我们使用标准公式（此步骤确保计算器处于角度模式）：

\[ a = x = 5 \cos(35^\circ) \approx 4.096 \] \[ b = y = 5 \sin(35^\circ) \approx 2.868 \] \[ P(4.096, 2.868) \]

b) 求弧长 PQ：
首先，我们必须将角度从度转换为弧度，因为公式 \( S=R\theta \) 要求使用弧度。

\[ \theta \text{ （弧度）} = 35^\circ \times \left(\dfrac{\pi}{180^\circ}\right) = \dfrac{35\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{36} \] \[ \text{弧 } PQ = R\theta = 5 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{36}\right) = \dfrac{35\pi}{36} \approx 3.05 \text{ 单位} \]

c) 求 M 的 x 坐标：
点 M 为 \( (c, -1) \)。由于 M 在圆上，其到原点的距离必须等于半径（5）。

\[ x^2 + y^2 = R^2 \implies c^2 + (-1)^2 = 5^2 \] \[ c^2 + 1 = 25 \implies c^2 = 24 \implies c = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \]

观察图形。点 M 位于第三象限，其 x 坐标必须为负。因此，我们舍去正根：

\[ c = -2\sqrt{6} \approx -4.899 \]

d) 求角 \( \theta \)：
设从正 x 轴到 M 的总角为 \( \alpha \)。根据图形，\( \alpha = \theta + 35^\circ \)。

我们利用点 M \( (-2\sqrt{6}, -1) \) 的正切来求 \( \alpha \)：

\[ \tan(\alpha) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{-2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \]

由于该点在第三象限，计算器的 \( \arctan \) 函数（返回第一象限角）会相差 \( 180^\circ \)。我们必须加上 \( 180^\circ \)：

\[ \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\right) \approx 180^\circ + 11.54^\circ = 191.54^\circ \]

现在，减去 \( 35^\circ \) 的偏移量以求解 \( \theta \)：

\[ \theta = \alpha - 35^\circ = 191.54^\circ - 35^\circ = \mathbf{156.54^\circ} \]

a) 计算弧长 DP：
将角度转换为弧度：\( \theta = 130^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{130\pi}{180} = \dfrac{13\pi}{18} \)。

\[ \text{弧 } DP = R \cdot \theta = 4 \cdot \dfrac{13\pi}{18} = \dfrac{26\pi}{9} \approx 9.08 \text{ 单位} \]

b) 求 P 的坐标：
利用 \( R = 4 \) 和 \( \theta = 130^\circ \) 的标准三角函数定义：

\[ a = 4 \cos(130^\circ) \approx -2.57 \] \[ b = 4 \sin(130^\circ) \approx 3.06 \] \[ P(-2.57, 3.06) \]

c) 求线段 PD 的长度：
点 D 位于正 x 轴距离 R 处，因此其坐标为 \( D(4, 0) \)。使用二维距离公式 \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)：

\[ PD = \sqrt{(4 \cos(130^\circ) - 4)^2 + (4 \sin(130^\circ) - 0)^2} \] \[ PD = \sqrt{(-2.57 - 4)^2 + (3.06)^2} = \sqrt{(-6.57)^2 + 9.36} \] \[ PD = \sqrt{43.16 + 9.36} = \sqrt{52.52} \approx \mathbf{7.25 \text{ 单位}} \]

（或者，您可以在三角形 OPD 上使用余弦定理：\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) \implies PD^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4)\cos(130^\circ) \)。这会得出完全相同的结果！）

第一步：求以弧度为单位的角 \( \theta \)。
重新排列弧长公式 \( S = R\theta \) 以求解 \( \theta \)：

\[ \theta = \dfrac{S}{R} = \dfrac{12.5}{3} \approx 4.167 \text{ 弧度} \]

（注意：由于 \( \pi \approx 3.14 \) 且 \( \dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71 \)，4.167 弧度的角正好落在第三象限。这与我们的图形相符）。

第二步：求坐标。
直接使用弧度测量应用坐标公式。确保您的计算器处于弧度模式。

\[ a = x = 3 \cos\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.523) \approx -1.57 \] \[ b = y = 3 \sin\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.852) \approx -2.56 \]

B 的坐标为 \( (-1.57, -2.56) \)。

第一步：求角 \( \theta \)。
已知 x 坐标（\( 4.1 \)）和半径（\( 5 \)）。我们使用余弦关系：

\[ \cos(\theta) = \dfrac{x}{R} = \dfrac{4.1}{5} = 0.82 \]

由于明确指出点 P 位于第一象限，角 \( \theta \) 是锐角（在 0 到 \( \pi/2 \) 之间）。我们可以直接使用反余弦函数来求出以弧度为单位的角：

\[ \theta = \arccos(0.82) \approx 0.6094 \text{ 弧度} \]

第二步：计算弧长。
将弧度角代入弧长公式：

\[ S = R \theta = 5 \cdot \arccos(0.82) \approx 5 \cdot 0.6094 \approx \mathbf{3.05 \text{ 单位}} \]

第一步：建立方程。
扇形的周长由两条半径和弧长 \( S \) 组成。因此，\( P = 2R + S \)。由于 \( S = R\theta \)，我们可以将周长方程写为：

\[ 100 = 2R + R\theta \]

扇形的面积由 \( A = \dfrac{1}{2}R^2\theta \) 给出。

第二步：用单一变量表示面积。
从周长方程中求解 \( \theta \)：

\[ R\theta = 100 - 2R \implies \theta = \dfrac{100 - 2R}{R} \]

将此 \( \theta \) 代入面积方程，建立一个完全关于 \( R \) 的函数：

\[ A(R) = \dfrac{1}{2}R^2 \left( \dfrac{100 - 2R}{R} \right) = \dfrac{1}{2}R(100 - 2R) = 50R - R^2 \]

第三步：最大化面积函数。
面积方程 \( A(R) = -R^2 + 50R \) 是一个开口向下的抛物线。最大值出现在顶点处。使用顶点公式 \( R = \dfrac{-b}{2a} \)：

\[ R = \dfrac{-50}{2(-1)} = 25 \text{ cm} \]

（或者，求导数：\( A'(R) = 50 - 2R = 0 \implies R = 25 \)）。

第四步：求对应的角 \( \theta \)。
将 \( R = 25 \) 代回我们的 \( \theta \) 方程中：

\[ \theta = \dfrac{100 - 2(25)}{25} = \dfrac{50}{25} = \mathbf{2 \text{ 弧度}} \]

值得注意的是，对于任何固定的周长，当圆心角正好为 2 弧度时，扇形的面积总是达到最大！

第一步：求直线段的长度。
通过较小圆的中心画一条平行于直皮带段的直线。这会创建一个直角三角形，其斜边等于中心之间的距离（\( d = 13 \)），直角边等于半径之差（\( r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5 \)）。
设 \( L \) 为皮带一条直线段的长度。利用勾股定理：

\[ L^2 + 5^2 = 13^2 \implies L^2 + 25 = 169 \implies L^2 = 144 \implies L = 12 \text{ cm} \]

由于有两条直线段（顶部和底部），它们的总长度为 \( 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \)。

第二步：求接触点的圆心角。
设 \( \alpha \) 为邻近中心直角三角形中的角。
\( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \dfrac{5}{13} \)。因此，\( \alpha = \arccos(\dfrac{5}{13}) \approx 1.176 \text{ 弧度} \)。

第三步：计算滑轮周围的弧长。
通过几何推导，皮带接触较小滑轮的角度为 \( 2\alpha \)。
小滑轮上的弧：\( S_1 = r_1(2\alpha) = 3(2 \times 1.176) = 3(2.352) = 7.056 \text{ cm} \)。

皮带接触较大滑轮的角度是优弧，即 \( 2\pi - 2\alpha \)。
大角：\( 2\pi - 2.352 \approx 6.283 - 2.352 = 3.931 \text{ 弧度} \)。
大滑轮上的弧：\( S_2 = r_2(3.931) = 8(3.931) = 31.448 \text{ cm} \)。

第四步：求和。
总长度 = 直线段 + 小弧 + 大弧
\[ \text{总长度} \approx 24 + 7.056 + 31.448 = \mathbf{62.5 \text{ cm}} \]

第一步：求交点坐标。
将线性方程代入圆方程：

\[ x^2 + (2x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (4x^2 + 20x + 25) = 25 \] \[ 5x^2 + 20x = 0 \]

提取 \( 5x \)：

\[ 5x(x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = -4 \]

使用 \( y = 2x+5 \) 求对应的 y 值：
若 \( x = 0, y = 5 \)。点 1：\( (0, 5) \)。
若 \( x = -4, y = -3 \)。点 2：\( (-4, -3) \)。

第二步：求这些点之间的圆心角。
设向量 \( \vec{A} = (0, 5) \) 和 \( \vec{B} = (-4, -3) \)。我们可以使用点积公式求出它们之间的夹角 \( \theta \)：\( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta) \)。

点积：\( (0)(-4) + (5)(-3) = -15 \)
模长（两者均为半径）：\( |\vec{A}| = 5 \), \( |\vec{B}| = 5 \)。

\[ -15 = (5)(5) \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5} \] \[ \theta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 2.214 \text{ 弧度} \]

第三步：计算弧长。
已知半径为 \( R = 5 \)。使用 \( S = R\theta \)：

\[ S = 5 \cdot \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 5 \cdot 2.214 \approx \mathbf{11.07 \text{ 单位}} \]