求三角函数的周期 - 高三数学

第一步：识别图象上的完整周期。
定位界定整个周期或整数个周期的零点。在本例中，观察从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的区间，我们可以数出刚好有两个完整的波周期。

第二步：计算实验周期。
由于两个周期适应于 $1 - 0 = 1$ 的水平距离，因此周期 $P$（一个周期的长度）为： $$P = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$$

第三步：求解参数 $b$。
正弦波周期的公式为 $P = \frac{2\pi}{b}$。将其等于我们求出的周期： $$\frac{2\pi}{b} = \frac{1}{2}$$ 交叉相乘并求解 $b$： $$b = 4\pi$$

第一步：求出一个完整周期的距离。
观察零点交叉。图象在 $x = -\frac{\pi}{4}$ 处开始一个周期，经过一个峰值和一个谷值，并在零点交叉 $x = \frac{\pi}{4}$ 处完成一个完整周期。

第二步：计算周期。
周期 $P$ 是这两个点之间的水平距离： $$P = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

第三步：求解参数 $b$。
将图象周期与代数公式 $P = \frac{2\pi}{b}$ 相等： $$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{b}$$ 两边同乘以 $2b$： $$\pi \cdot b = 4\pi \implies \mathbf{b = 4}$$

第一步：确定计算距离的关键点。
图象在 x 轴上提供了刻度标记，但没有峰值的直接坐标。不过，我们可以通过取给定刻度标记之间的中点，来找到零点（x 截距）的确切位置。

左侧的零点（$-\pi/4$ 和 $-\pi/8$ 的中点）： $$x_1 = \frac{-\pi/4 + (-\pi/8)}{2} = \frac{-3\pi/8}{2} = -\frac{3\pi}{16}$$

右侧的零点（$0$ 和 $\pi/8$ 的中点）： $$x_2 = \frac{0 + \pi/8}{2} = \frac{\pi}{16}$$

第二步：计算周期。
两个连续零点之间的距离恰好代表*半个*周期（半个波长）。 $$\text{半周期} = \frac{\pi}{16} - \left(-\frac{3\pi}{16}\right) = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$$ 因此，完整周期 $P$ 是该距离的两倍： $$P = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

第三步：求解 $b$。
$$\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{2} \implies \mathbf{b = 4}$$

第一步：理解极值之间的关系。
沿 x 轴方向，连续的极大值点（A 点在 $x = \frac{3\pi}{6}$）与极小值点（B 点在 $x = \frac{7\pi}{6}$）之间的水平距离正好等于半个周期。

第二步：计算周期。
首先，求出 A 和 B 之间的距离： $$\text{距离} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$ 完整周期 $P$ 是该距离的两倍： $$P = 2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

第三步：求解 $b$。
将代数公式与数值周期相等： $$\frac{2\pi}{b} = \frac{4\pi}{3}$$ 交叉相乘：$6\pi = 4\pi b \implies \mathbf{b = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}}$

第一步：直接求周期。
两个连续极小值点之间的水平距离恰好代表一个完整周期。因此，周期 $P$ 就是它们 x 坐标之差： $$P = 0.1 - (-0.3) = 0.4$$

第二步：求解 $b$。
使用周期公式 $P = \frac{2\pi}{b}$： $$\frac{2\pi}{b} = 0.4$$ $$0.4b = 2\pi \implies b = \frac{2\pi}{0.4} = \frac{20\pi}{4} = \mathbf{5\pi}$$

1. 对于 $y = \sin(x)\cos(x) - 3$：
   使用二倍角公式：$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$。除以 2 得到 $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$。
   重写函数： $$y = \frac{1}{2} \sin(2x) - 3$$ 内部乘数为 $b=2$。周期： $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
2. 对于 $y = 2 + 5\cos^2(x)$：
   使用降幂公式：$\cos^2(x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 1)$。
   重写函数： $$y = 2 + 5\left(\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = 2 + \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{9}{2}$$ 内部乘数为 $b=2$。周期： $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
3. 对于 $y = \cos(x) + \sin(x)$：
   将其重写为单个经过相移的正弦波。同乘同除以 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$： $$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)\right)$$ $$y = \sqrt{2}\left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(x)\right)$$ 使用两角和公式 $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$： $$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ 内部乘数为 $b=1$。周期： $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{1} = 2\pi}$$

根据定义，如果 $p$ 是函数 $f$ 的周期，则： $$f(x+p) = f(x) \quad \text{对所有 } x \text{ 成立}$$

让我们进行变量代换，令 $x = kX$，得到： $$f(kX+p) = f(kX)$$

现在，从左侧自变量中提取常数 $k$： $$f\left(k\left(X+\frac{p}{k}\right)\right) = f(kX)$$

因为我们定义了 $h(x) = f(kx)$，所以我们可以将 $h$ 代入我们的方程中： $$h\left(X+\frac{p}{k}\right) = h(X)$$

该陈述定义了一个新的周期函数 $h$。它表明将输入平移 $\frac{p}{k}$ 会得到原始函数值。因此，$h(x) = f(kx)$ 是周期的，其周期为： $$\mathbf{\frac{p}{k}}$$

第一步：求出每个单独项的周期。
对于第一项，$y_1 = 3\sin(4x)$，参数 $b = 4$。其周期为： $$P_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ 对于第二项，$y_2 = 2\cos(6x)$，参数 $b = 6$。其周期为： $$P_2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

第二步：求最小公倍数（LCM）。
周期函数之和的周期为其各自周期的最小公倍数（LCM）。我们需要求 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{\pi}{3}$ 的最小公倍数。
要求分数的最小公倍数，请将它们表示为具有公分母的形式。$2$ 和 $3$ 的最小公分母是 $6$： $$P_1 = \frac{3\pi}{6}$$ $$P_2 = \frac{2\pi}{6}$$ 分子（$3\pi$ 和 $2\pi$）的最小公倍数是 $6\pi$。将其除以公分母： $$\text{LCM} = \frac{6\pi}{6} = \mathbf{\pi}$$

第一步：求基本函数的周期。
首先忽略绝对值。基本函数为 $f(x) = \sin(2x)$。此正弦波的周期为： $$P_{\text{base}} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

第二步：分析绝对值的影响。
标准的正弦波在 x 轴上下方振荡，在其完整周期 $\pi$ 内完成一个正半波和一个负半波。
取绝对值会强制负半波向上翻转到 x 轴上方，变成一个完全相同的正半波。由于周期的前半部分和后半部分现在看起来完全相同，因此图案重复的速度加快了一倍。
因此，对正弦波或余弦波应用绝对值会使其基本周期减半。

第三步：计算最终周期。
$$P = \frac{P_{\text{base}}}{2} = \mathbf{\frac{\pi}{2}}$$

第一步：回想标准正切函数的周期。
与基本周期为 $2\pi$ 的正弦和余弦函数不同，正切函数 $y = \tan(x)$ 的基本周期是 $\pi$。因此，$y = a\tan(bx - c)$ 周期的公式为 $P = \frac{\pi}{|b|}$。

第二步：识别 $b$ 参数。
观察正切函数的自变量 $\left(\frac{\pi x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$，$x$ 变量的乘数为 $b = \frac{\pi}{3}$。（注：$-\frac{\pi}{4}$ 是相移，不影响周期长度）。

第三步：计算周期。
$$P = \frac{\pi}{\frac{\pi}{3}} = \pi \times \frac{3}{\pi} = \mathbf{3}$$ 周期正好是 $3$ 个单位长。