求三角函数的周期 - 12年级数学

问题 1 - 正弦函数的周期

下图是形如 \( y = a \sin(b x) \)（其中 \( b \gt 0 \)）的三角函数图像。求其周期和参数 \( b\)。

问题1的函数图像

解答：

找出限定整个周期或整数个周期的两个零点。在此例中，我们可以看到从 \( x = 0 \) 处的零点到 \( x = 1 \) 处的零点，有两个周期。因此周期 \( P \) 等于： \[ P = \dfrac{1 - 0}{2} = \dfrac{1}{2} \] 现在我们使用用 \( b \) 表示的周期公式，并使其等于通过图像找到的周期值。 \[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{1}{2} \] 解出 \( b \)： \[ b = 4\pi \]

问题 2 - 另一个正弦函数

形如 \( y = a \sin(b x) \)（其中 \( b >0 \)）的三角函数图像如下所示。求其周期和参数 \( b \)。

问题2的函数图像

解答：

从 \( x = -\dfrac{\pi}{4} \) 处的零点到 \( x = \dfrac{\pi}{4} \) 处的零点有一个周期。因此周期 \( P \) 为： \[ P = \dfrac{\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{2} \] 现在我们使通过图像找到的周期值等于上述公式，并解出 \( b \)。 \[ \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b}, \quad b = 4 \]

问题 3 - 带相位移动的余弦函数

下图是形如 \( y = a \cos(b x + c) \)（其中 \( b \gt 0 \)）的三角函数图像。求此函数的周期和 \( b \) 的值。

问题3的函数图像

解答：

有两个零点限定了半个周期。我们首先找出这些零点。

左侧零点： \[ \dfrac{-\pi/4 - \pi/8}{2} = -\dfrac{3\pi}{16} \] 右侧零点： \[ \dfrac{0 + \pi/8}{2} = \dfrac{\pi}{16} \] 因此半个周期等于： \[ \dfrac{\pi}{16} - \left(-\dfrac{3\pi}{16}\right) = \dfrac{\pi}{4} \] 完整周期 \( P \) 等于： \[ P = 2 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \] 现在我们使通过图像找到的周期值等于上述公式，并解出 \( b \)。 \[ \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b}, \quad b = 4 \]

问题 4 - 带垂直移动的正弦函数

下图是形如 \( y = a \sin(b x + c) + d \) 的三角函数图像，点 A 和点 B 分别是最大值点和最小值点。假设 \( b \gt 0 \)，求此函数的周期和 \( b \) 的值。

问题4的函数图像

解答：

点 A 和点 B 之间沿 x 轴的距离等于半个周期，为： \[ \dfrac{7\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \] 函数的周期 \( P \) 为 \[ P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \] 通过解以下方程求 \( b \)： \[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{4\pi}{3}, \quad b = \dfrac{3}{2} \]

问题 5 - 给定最小值的余弦函数

形如 \( y = a \cos(b x + c) + d \) 的三角函数图像如下所示，其中点 A 和点 B 是最小值点，x 坐标分别为 \( -0.3 \) 和 \( 0.1 \)。求 \( b \) 的值。

问题5的函数图像

解答：

点 A 和点 B 之间有一个完整周期。因此周期 \( P \) 为 \[ P = 0.1 - (-0.3) = 0.4 \] 通过解以下方程求 \( b \)： \[ \dfrac{2\pi}{b} = 0.4, \quad b = 5\pi \]

问题 6 - 求给定函数的周期

求下列各函数的周期

\( y = \sin(x)\cos(x) - 3 \)
\( y = 2 + 5\cos^2(x) \)
\( y = \cos(x) + \sin(x) \)

解答：

使用恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \)： \[ y = \sin(x)\cos(x) - 3 = \dfrac{1}{2} \sin(2x) - 3 \] 周期： \[ P = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \]
使用恒等式 \( \cos^2(x) = \dfrac{1}{2} (\cos(2x) + 1) \)： \[ y = 2 + 5\cos^2(x) = 2 + 5\left(\dfrac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{9}{2} \] 周期： \[ P = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \]
重写： \[ y = \cos(x) + \sin(x) = \dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)\right) \] 使用恒等式： \[ \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) \] 所以： \[ y = \sqrt{2}\,\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \] 周期： \[ P = \dfrac{2\pi}{1} = 2\pi \]

问题 7 - \( f(kx) \) 周期的一般规则

假设 \( f(x) \) 是周期为 \( p \) 的周期函数。函数 \( h(x) = f(kx) \)（其中 \( k \) 是正常数）的周期是多少？

解答：

如果 \( p \) 是函数 \( f \) 的周期，则 \[ f(x+p) = f(x) \quad \text{对所有 } x \text{ 成立} \] 令 \( x = kX \)，其中 \( k \) 是常数： \[ f(kX+p) = f(kX) \] 重写为： \[ f\left(k\left(X+\dfrac{p}{k}\right)\right) = f(kX) \] 令 \( h(x) = f(kx) \)。则： \[ h\left(X+\dfrac{p}{k}\right) = h(X) \] 这表明 \( h(x) = f(kx) \) 是周期函数，周期为 \[ \dfrac{p}{k} \]