根据含相位移动的三角函数图像求函数解析式 (2)

学习如何通过分析图像来求三角函数的振幅、周期和相位移动。 本指南提供分步问题，包含详细解答和清晰解释，帮助您掌握这些概念。 如需额外支持，请探索我们关于理解三角函数相位移动、 周期和垂直移动的交互式教程。

问题

问题 1

求下图所示曲线的振幅、周期和相位移动，然后用 \( y = a \sin(bx + c) \) 的形式写出函数。

a b c d e

解答

振幅： \[ |a| = 2 \]

我们将图 1.a 复制如下并注意：

\( 4 \) 个小格 = \( \pi \)，因此 \( 1 \) 个小格 = \( \dfrac{\pi}{4} \)

一个周期 = \( 16 \) 个小格；因此： \[ 1 \text{ 个周期} = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \]

相位移动：这是图形 \( y = a \sin(bx) \) 和 \( y = a \sin(bx + c) \) 之间的移动， 定义为 \( -\dfrac{c}{b} \)。

在图 1.a 中，相位移动等于 \( -\dfrac{\pi}{4} \)，如下所示（向左移动 1 个小格）：

我们现在使用上述结果写出图 1.a 的形如 \( y = a \sin(bx + c) \) 的方程：

\( |a| = 2 \)，因此 \( a = \pm 2 \)。令 \( a = 2 \)。

\( 1 \) 个周期 = \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \) (假设 \( b > 0 \))。 因此 \[ b = \dfrac{2\pi}{4\pi} = \dfrac{1}{2} \]

相位移动 = \( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{b} \)。

代入 \( b \) 的值求得： \[ c = b \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \] 图 1.a 的方程 \[ y = 2 \sin \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right) \]

b) 图 1.b:

振幅：\( |a| = 1.5 \)

一个周期：\( 4 \)

相位移动：向右移动 \( 1 \) 个单位 \( = 1 \)

我们现在使用上述结果写出图 1.b 的形如 \( y = a \sin(bx + c) \) 的方程：

\( |a| = 1.5 \)，因此 \( a = \pm 1.5 \)，令 \( a = 1.5 \)

一个周期：\( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \) (假设 \( b > 0 \))。因此 \( b = \dfrac{\pi}{2} \)

相位移动：\( 1 = -\dfrac{c}{b} \)

代入 \( b \) 的值求得： \[ c = -b = -\dfrac{\pi}{2} \] 图 1.b 的方程 \[ y = 1.5 \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right) \]

c) 图 1.c:

振幅：\( |a| = 10 \)

1 个小格 \( = \dfrac{\pi}{5} \)，1 个周期 \( = 8 \) 个小格

因此，1 个周期 \( = \dfrac{8\pi}{5} \)

相位移动 \( = 2 \) 个小格 \( = \dfrac{2\pi}{5} \)

我们现在使用上述结果写出图 1.c 的形如 \( y = a \sin(bx + c) \) 的方程： \( |a| = 10 \)，因此 \( a = \pm 10 \)，令 \( a = 10 \)

1 个周期 \( = \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \) (假设 \( b > 0 \))。因此 \( b = \dfrac{5}{4} \)

相位移动 \( = \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \)

代入 \( b \) 的值求得： \[ c = -\dfrac{2\pi b}{5} = -\dfrac{\pi}{2} \] 图 1.c 的方程 \[ y = 10 \sin\left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right) \]

d) 图 1.d:

振幅：\( |a| = 3 \)

1 个小格 = \( \dfrac{\pi}{12} \)，1 个周期 = 16 个小格

因此 1 个周期 = \( 16 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{3} \)

相位移动 = 向左移动 2 个小格 = \( -2 \times \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{6} \)

我们现在使用上述结果写出图 1.d 的形如 \( y = a \sin(bx + c) \) 的方程

\( |a| = 3 \)，因此 \( a = \pm 3 \)，令 \( a = 3 \)

1 个周期 = \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \) (假设 \( b > 0 \))。因此 \( b = \dfrac{3}{2} \)

相位移动 = \( -\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \)

代入 \( b \) 的值求得：\( c = \dfrac{\pi b}{6} = \dfrac{\pi}{4} \)

e) 图 1.e:

振幅：\( |a| = 2 \)

1 个小格 = \( \dfrac{\pi}{12} \)，1 个周期 = 8 个小格

因此 1 个周期 = \( 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \)

相位移动 = 向右移动 1 个小格 = \( \dfrac{\pi}{12} \)

我们现在使用上述结果写出图 1.e 的形如 \( y = a \sin(bx + c) \) 的方程

\( |a| = 2 \)，因此 \( a = \pm 2 \)，令 \( a = 2 \)

1 个周期 = \( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \) (假设 \( b > 0 \))。因此 \( b = 3 \)

相位移动 = \( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \)

代入 \( b \) 的值求得：\( c = -\dfrac{\pi b}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \)

作为练习 ，绘制上面找到的每个函数图像，并将其与给定图像进行比较。

问题 2

2.a 2.b 2.c

解答

振幅：\(= |a| = 4\)

我们将图 2.a 复制如下并注意：

一个周期 \( = \dfrac{3\pi}{2} \)

相位移动：这是从图形 \( y = a \cos(bx) \) 到图形 \( y = a \cos(bx + c) \) 的移动， 定义为 \[ -\dfrac{c}{b} \]

图形 \( y = a \cos(bx) \) 在 \( x = 0 \) 处取得最大值。在图 2.a 中，最大值向右移动了 3 个小格。

1 个小格 \( = \dfrac{\pi}{8} \)

因此，相位移动 = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \)

我们现在使用上述结果写出形如 \( y = a \cos(bx + c) \) 的方程来模拟上图。

\(|a| = 4\)，因此 \( a = \pm 4 \)；令 \( a = 4 \)

1 个周期 = \( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \) (假设 \( b > 0 \))。因此 \( b = \dfrac{4}{3} \)

相位移动 = \( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \)

代入 \( b \) 的值求得： \[ c = -b \times \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{\pi}{2} \]

图 2.a 中给定曲线的最终方程： \[ y = 4 \cos\left(\dfrac{4x}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right) \] b) 图 2.b:

振幅：\( = |a| = 3 \)

一个周期 = 1 (x 轴上一个周期的长度)

相位移动 = 1 / 2 (向右移动半个单位)

我们现在使用上述结果写出图 2.b 的形如 y = a cos(bx + c) 的方程

\(|a| = 3\)，因此 \(a = \pm 3\)，令 \(a = 3\)

1 个周期 = 1 = \(\dfrac{2\pi}{b}\) (假设 \(b > 0\))。因此 \(b = 2\pi\)

相位移动 = \(\dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b}\)

代入 \( b \) 的值求得： \[ c = -\dfrac{b}{2} = -\pi\]

图 2.b 中给定曲线的最终方程： \[ y = 3 \cos(2\pi x - \pi) \] c) 图 2.c:

振幅：\( = |a| = 40 \)

1 个小格 = \( \dfrac{\pi}{2} \div 4 = \dfrac{\pi}{8} \)

1 个周期 = 8 个小格

因此 1 个周期 = \( 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \)

相位移动 = 向右移动 3 个小格 = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \)

我们现在使用上述结果写出图 2.c 的形如 \( y = a \cos(bx + c) \) 的方程

\( |a| = 40 \)，因此 \( a = \pm 40 \)，令 \( a = 40 \)

1 个周期 = \( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \) (假设 \( b > 0 \))。因此 \( b = 2 \)

相位移动 = \( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \)

代入 \( b \) 的值求得： \[ c = -\dfrac{3\pi b}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \]

图 2.c 中给定曲线的最终方程： \[ y = 40 \cos\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right) \]

作为练习 ，绘制上面找到的每个函数图像，并将其与给定图像进行比较。

问题 3

函数 \( y = \sin(bx + c) \) 的图像在 \( x = \dfrac{6\pi}{5} \) 处有一个 x 截距，在 \( x = \dfrac{11\pi}{5} \) 处有一个最大值，如下图所示。

b) 求 b 和 c，以及图像的方程。

解答

a) 点 \(\left( \dfrac{6\pi}{5}, 0 \right)\) 和 \(\left( \dfrac{11\pi}{5}, 1 \right)\) 的 \( x \) 坐标之差的绝对值给出了周期的四分之一。因此周期 \( P \) 等于： \[ P = 4\left( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} \right) = 4\pi \] b) 上面找到的周期也由下式给出 \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} \] 取 \( b \) 为正数，并解方程 \( \dfrac{2\pi}{b} = 4\pi \) 求 \( b \) \[ b = \dfrac{1}{2} \] 上面给出的图像的相位移动等于 \( \dfrac{6\pi}{5} \)，也由公式 \( -\dfrac{c}{b} \) 给出。因此得到方程： \[ -\dfrac{c}{b} = \dfrac{6\pi}{5} \] 解 \( c \)。 \[ c = -\dfrac{6\pi b}{5} = -\dfrac{3\pi}{5} \] 图像的方程由下式给出： \[ y = \sin\left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \]

参考资料和链接

• 六个三角函数的性质
• 高中数学（10、11和12年级）- 免费问答与习题解析
• 初中数学（6、7、8、9年级）- 免费问答与习题解析
• 小学数学（4和5年级）- 免费问答与习题解析
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