学习如何从三角函数的图像中找出振幅、周期、相位平移、垂直平移以及三角函数的方程。 这些关键属性有助于分析和理解正弦和余弦函数的行为。
每个问题都包含一个三角函数的图像，并附有分步解答以便于理解。
为了打下坚实基础，请从这些关于三角函数的垂直平移的交互式教程开始。
要更深入地复习三角函数的性质，请访问此页面：三角函数性质。
a) 用 \( a \) 和 \( d \) 表示最大值和最小值的方程（假设 \( a \gt 0 \)）。
b) 用最大值和最小值表示 \( a \) 和 \( d \) 的方程。
a) 从函数 \( \sin(bx + c) \) 的值域开始，该值域为：
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]将上述不等式的所有项乘以 \( a \)（其中 \( a > 0 \)）得到：
\[ - a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]将上述不等式的所有项加上 \( d \) 得到：
\[ - a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]上述不等式表明 \( y = a \sin(bx + c) + d \) 的最大值和最小值由下式给出：
\[ \color{red}{ \text{最大值} = d + a \quad \text{和} \quad \text{最小值} = d - a } \]b) 如果我们假设公式 \( \text{最大值} = d + a \) 和 \( \text{最小值} = d - a \) 是关于变量 \( d \) 和 \( a \) 的方程，我们可以轻松地解出 \( d \) 和 \( a \)：
\[ \color{red}{ d = \dfrac{\text{最大值} + \text{最小值}}{2} \quad \text{和} \quad a = \dfrac{\text{最大值} - \text{最小值}}{2} } \]
首先，下图中所示函数的最大值和最小值等于： \[ \text{最大值} = 0 \quad \text{和} \quad \text{最小值} = -4 \]
使用上一个问题中得到的公式，我们有： \[ d = \dfrac{\text{最大值} + \text{最小值}}{2} = -2 \quad \text{和} \quad a = \dfrac{\text{最大值} - \text{最小值}}{2} = 2 \]
接下来我们从函数图像中找出周期 \( p \)。 \[ p = \dfrac{4\pi}{3} \]
假设 \( b \) 为正数，周期由 \( \dfrac{2\pi}{b} \) 给出。因此有方程： \[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{4\pi}{3} \] 解得： \[ b = \dfrac{3}{2} \]
我们现在可以将函数写为： \[ y = a \sin(bx + c) + d = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + c \right) - 2 \]
确定 \( c \) 的一种方法是使用给定图上的一个点。例如，根据图像，当 \( x = 0 \) 时，\( y = 0 \)。因此： \[ 2 \sin(0 + c) - 2 = 0 \] \[ \sin(c) = 1 \] 解得：\( c = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \)，其中 \( k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)
取 \( c = \dfrac{\pi}{2} \)，将函数表达式写为： \[ \color{red}{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]
求下图所示曲线 \[ y = a \sin(bx + c) + d \]
的常数 \( a \), \( b \), \( c \), 和 \( d \)。
首先，下图中所示函数的最大值和最小值等于： \[ \text{最大值} = \dfrac{18}{5} \quad \text{和} \quad \text{最小值} = -\dfrac{6}{5} \]
使用上一个问题中得到的公式，我们有： \[ d = \dfrac{\text{最大值} + \text{最小值}}{2} = \dfrac{6}{5} \quad \text{和} \quad a = \dfrac{\text{最大值} - \text{最小值}}{2} = \dfrac{12}{5} \]
接下来我们从函数图像中找出周期 \( p \)。由于点 \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) 和 \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) 界定了半个周期，周期 \( p \) 由这两个点的 x 坐标之差的两倍给出。因此： \[ p = 2 \left( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} \right) = \dfrac{8}{5} \] 假设 \( b \) 为正数，周期由公式 \( \dfrac{2\pi}{b} \) 给出。因此有方程： \[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{8}{5} \] 解得： \[ b = \dfrac{5\pi}{4} \]
我们使用上面找到的 \( a \)、\( b \) 和 \( d \) 的值将函数写为： \[ y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} + c \right) + \dfrac{6}{5} \]
使用点 \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \)，在方程中设 \( x = \dfrac{3}{5} \) 和 \( y = \dfrac{18}{5} \) 并简化。 \[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi \cdot \dfrac{3}{5}}{4} + c \right) + \dfrac{6}{5} \] \[ \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = \dfrac{18}{5} - \dfrac{6}{5} \] \[ \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = \dfrac{12}{5} \] \[ \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = 1 \]
我们现在解上述三角方程。
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \] 解得：\( c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} \)，（我们使用了 \( k = 0 \) 的解）我们现在将函数的最终表达式写为： \[ \color{red}{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]
一天中的温度 \( T \)（以摄氏度为单位）由以下函数近似表示： \[ T(t) = -8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) + 30^{\circ} \] 其中 \( t \) 是以小时为单位的时间，\( t = 0 \) 对应于凌晨 12:00。
a) 求 \( T \) 的周期。
b) 求 \( T \) 的最大值。
c) 求凌晨 12:00、早上 6:00、中午 12:00、晚上 6:00 时的 \( T \)，并从凌晨 12:00 开始绘制 \( T \) 在一个周期内的图像。
a) 周期 \( P \) 由下式给出： \[ P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 24 \text{ 小时} \]
b) \( T \) 的最大值由下式给出：
\[ \max = 30 + 8 = 38^\circ \]c) 求凌晨 12:00、早上 6:00、中午 12:00、晚上 6:00 时的 \( T \) 值：
凌晨 12:00 对应 \( t = 0 \)，因此
\[ T(12 \, \text{am}) = -8\cos(0) + 30^\circ = 22^\circ \]早上 6:00 对应 \( t = 6 \)，因此
\[ T(6 \, \text{am}) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30^\circ = 30^\circ \]中午 12:00 对应 \( t = 12 \)，因此
\[ T(12 \, \text{pm}) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30^\circ = 38^\circ \]晚上 6:00 对应 \( t = 18 \)，因此
\[ T(6 \, \text{pm}) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30^\circ = 30^\circ \]图像如下所示。
