求解指数方程

注意 27、9 和 3 可以写成 3 的幂次方：

$$ 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2, \quad \text{和} \quad 3 = 3^1 $$

利用上述结论以及负指数公式 $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$，我们将给定方程重写为：

$$ (3^3)^{2x} \cdot (3^{-2})^{x - 2} = (3^2)^{-x} \cdot (3^{-1})^{2 - x} $$

现在我们使用公式 $(x^m)^n = x^{mn}$：

$$ 3^{6x} \cdot 3^{-2x + 4} = 3^{-2x} \cdot 3^{-2 + x} $$

使用公式 $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$ 合并两边的指数：

$$ 3^{6x - 2x + 4} = 3^{-2x - 2 + x} $$

简化指数得到：

$$ 3^{4x + 4} = 3^{-x - 2} $$

我们利用指数函数是一一映射这一事实。如果 $3^m = 3^n$，则 $m = n$。我们可以令指数相等：

$$ 4x + 4 = -x - 2 $$

求解上述关于 $x$ 的方程：

$$ 5x = -6 \implies x = \dfrac{-6}{5} = -1.2 $$

下方展示了将给定方程右侧化为零时其左侧表达式的图象。$x$ 截距是对解析解的近似。

注意 $\sqrt{16^x} = (16^x)^{1/2} = 16^{(1/2)x}$，并利用它重写给定方程：

$$ 16^{(1/2)x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} $$

注意 $\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ 且 $16 = 2^4$。利用这些将方程改写为以 2 为底：

$$ (2^4)^{(1/2)x} = (2^{-1})^{x^2 - 1} $$

使用公式 $(x^m)^n = x^{mn}$ 进行简化：

$$ 2^{2x} = 2^{-x^2 + 1} $$

因为底数相同，我们可以令指数相等：

$$ 2x = -x^2 + 1 $$

写成标准二次方程形式并求解：

$$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$

使用求根公式，$\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 8$。这产生两个解：

$$ x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41 \quad \text{和} \quad x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41 $$

令 $u = 2^x$。这意味着 $2^{-x} = \dfrac{1}{2^x} = \dfrac{1}{u}$。将方程用 $u$ 表示并重写：

$$ u - \dfrac{6}{u} = 6 $$

$u$ 不能为零（因为 $2^x > 0$）。将所有项乘以 $u$ 并简化：

$$ u \left( u - \dfrac{6}{u} \right) = 6u $$ $$ u^2 - 6 = 6u $$ $$ u^2 - 6u - 6 = 0 $$

使用求根公式求解关于 $u$ 的二次方程：

$$ u_1 = 3 + \sqrt{15} \quad \text{和} \quad u_2 = 3 - \sqrt{15} $$

现在我们利用代换 $u = 2^x$ 来求解 $x$。

第一个方程： $2^x = 3 + \sqrt{15}$

$$ \ln(2^x) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x \ln(2) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x = \dfrac{\ln(3 + \sqrt{15})}{\ln 2} \approx 2.78 $$

第二个方程： $2^x = 3 - \sqrt{15}$。这没有解，因为 $3 - \sqrt{15}$ 是一个负数，而 $2^x$ 必须严格大于零。

对给定方程的两边取自然对数（$\ln$）：

$$ \ln(5^{x + 1}) = \ln(100 \cdot 3^x) $$

使用对数运算法则简化并将指数移到前方：

$$ (x + 1) \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$

展开左侧并将所有包含 $x$ 的项归到同一侧：

$$ x \ln 5 + \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$ $$ x \ln 5 - x \ln 3 = \ln 100 - \ln 5 $$

提取 $x$ 并求解：

$$ x (\ln 5 - \ln 3) = \ln 100 - \ln 5 $$ $$ x = \dfrac{\ln 100 - \ln 5}{\ln 5 - \ln 3} \approx 5.86 $$

令 $u = e^x$，从而 $e^{-x} = \dfrac{1}{u}$。将其代入方程中：

$$ \dfrac{u - \dfrac{1}{u}}{2} = 3 $$

两边同乘以 2 并简化：

$$ u - \dfrac{1}{u} = 6 $$

将整个方程乘以 $u$ 以消去分母：

$$ u^2 - 1 = 6u \implies u^2 - 6u - 1 = 0 $$

使用求根公式求解 $u$：

$$ u_1 = 3 + \sqrt{10} \quad \text{和} \quad u_2 = 3 - \sqrt{10} $$

现在反向代入 $u = e^x$。

第一个方程： $e^x = 3 + \sqrt{10}$

$$ \ln(e^x) = \ln(3 + \sqrt{10}) \implies x = \ln(3 + \sqrt{10}) \approx 1.82 $$

第二个方程： $e^x = 3 - \sqrt{10}$。由于 $3 - \sqrt{10} < 0$，该方程无解。

两边取自然对数（$\ln$）：

$$ \ln(3^{2 - 3x}) = \ln(4^{2x + 1}) $$

使用对数法则将指数移到前方：

$$ (2 - 3x)\ln 3 = (2x + 1)\ln 4 $$

展开方程两边并归类包含 $x$ 的项：

$$ 2\ln 3 - 3x\ln 3 = 2x\ln 4 + \ln 4 $$ $$ 2\ln 3 - \ln 4 = 3x\ln 3 + 2x\ln 4 $$ $$ x(3\ln 3 + 2\ln 4) = 2\ln 3 - \ln 4 $$ $$ x = \dfrac{2\ln 3 - \ln 4}{3\ln 3 + 2\ln 4} \approx 0.13 $$

注意 $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$。利用这一点重写给定方程，并将 $3^{x+1}$ 展开为 $3 \cdot 3^x$：

$$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 2 = 0 $$

令 $u = 3^x$，并将方程重写为关于 $u$ 的标准二次方程：

$$ u^2 - 3u + 2 = 0 $$

通过因式分解求解 $u$：

$$ (u - 2)(u - 1) = 0 $$

这给出了 $u$ 的两个解：$u_1 = 2$ 和 $u_2 = 1$。现在将 $3^x$ 代回。

第一个方程： $3^x = 2$

$$ \ln(3^x) = \ln 2 \implies x \ln 3 = \ln 2 \implies x = \dfrac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.63 $$

第二个方程： $3^x = 1$。使结果为 1 的唯一指数是 0，因此 $x = 0$。

1. 统一底数：
将 $4^x$ 表示为 $(2^2)^x = (2^x)^2$。使用指数法则展开 $2^{x+2}$：$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$。

$$ (2^x)^2 - 4(2^x) - 32 = 0 $$

2. 代换：
令 $u = 2^x$。方程变为一个直接的二次方程：

$$ u^2 - 4u - 32 = 0 $$

3. 因式分解并求解 $u$：
我们需要两个乘积为 $-32$ 且和为 $-4$ 的数字。它们是 $-8$ 和 $+4$。

$$ (u - 8)(u + 4) = 0 $$

这给出了 $u = 8$ 或 $u = -4$。

4. 求解 $x$：
将 $2^x$ 代回 $u$。

• 情况 1： $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies \mathbf{x = 3}$
• 情况 2： $2^x = -4$。该方程无解，因为 $2^x$ 必须严格大于零。

唯一的解是 $\mathbf{x = 3}$。

对于形如 $A^B = 1$ 的方程，存在三种不同的数学成立条件。我们将使用表格系统地检查这三种情况。

$A^B = 1$ 的条件	应用于 $x^{x^2 - 5x + 6} = 1$
情况 1：底数为 1 ($A = 1$，$B$ 可以是任意值)	令底数等于 1： $x = 1$. （检验：$1^{(1-5+6)} = 1^2 = 1$。有效。） 解：$x = 1$
情况 2：指数为 0 ($B = 0$，$A \neq 0$)	令指数等于 0： $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. （检验底数：两者的底数均不为 0。有效。） 解：$x = 2, x = 3$
情况 3：底数为 -1 ($A = -1$，且 $B$ 必须是偶数整数)	令底数等于 -1： $x = -1$. 现在验证当 $x = -1$ 时指数是否为偶数： $B = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12$. 由于 12 是偶数，$\left(-1\right)^{12} = 1$。有效。 解：$x = -1$

最终解集：
所有实数解的完整集合为 $\mathbf{x \in \{-1, 1, 2, 3\}}$。

1. 合并左侧：
由于 $2$ 和 $5$ 具有完全相同的指数，我们可以使用法则 $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ 将它们合并：

$$ (2 \cdot 5)^{3x} = 10000^{x-1} $$ $$ 10^{3x} = 10000^{x-1} $$

2. 构造公底数：
认识到 $10000$ 是 10 的幂。具体来说，$10000 = 10^4$。将其代入右侧：

$$ 10^{3x} = (10^4)^{x-1} $$

3. 分配指数：
使用幂法则 $(x^m)^n = x^{mn}$：

$$ 10^{3x} = 10^{4(x-1)} $$ $$ 10^{3x} = 10^{4x - 4} $$

4. 令其相等并求解：
因为底数相等，所以指数必须相等：

$$ 3x = 4x - 4 $$ $$ 3x - 4x = -4 $$ $$ -x = -4 \implies \mathbf{x = 4} $$