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想要了解如何解对数方程吗？本综合指南针对常见类型的对数问题提供清晰的逐步解答。您将学会应用关键对数法则和性质来有效解方程。
\[ \log_b A + \log_b B = \log_b (AB) \] \[ \log_b A - \log_b B = \log_b \left( \dfrac{A}{B} \right) \] \[ \log_b \left( A^n \right) = n \log_b A \] \[ \text{若 } \log_b A = \log_b B, \text{ 则 } A = B \]
此外，形如 \[ f(x) = g(x) \] 的方程的近似解可通过函数 \[ h(x) = f(x) - g(x) \] 的图像与x轴交点来显示。
将对数项移至等式一侧： \[ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 \]
将 -2 替换为 \( \log 10^{-2} \)： \[ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} \]
使用对数法则 \( \quad \log A - \log B = \log \left(\dfrac{A}{B}\right) \quad \) 将方程重写为： \[ \log\left( \dfrac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} \]
由于 \( log(x) \) 是单射函数，可得方程： \[ \dfrac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} \]
解上述方程： \[ 2x - 3 = \dfrac{3 - x}{100} \] \[ 200x - 300 = 3 - x \] \[ 201x = 303 \] \[ x = \dfrac{303}{201} = \dfrac{101}{67} \approx 1.51 \]
验证所得解：
左边： \[ \log\left(2 \cdot \dfrac{101}{67} - 3\right) = \log\left( \dfrac{1}{67}\right) = -\log(67) \]
右边： \[ \log\left(3 - \dfrac{101}{67}\right) - 2 = \log\left( \dfrac{100}{67}\right) - 2 = \log(100) - \log(67) - 2 = 2 - \log(67) - 2 = -\log(67) \]
原方程有一个解： \( x = \dfrac{101}{67} \approx 1.51 \)
函数 \( q(x) = \log(2x - 3) - \log(3 - x) + 2 \)（将原方程右边置零所得）的图像与x轴交点如下所示。注意该交点与上述解析解相近。
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使用对数法则 \(\log A - \log B = \log \left( \dfrac{A}{B}\right)\) 将左边合并为一项，使用法则 \(n \log(x) = \log(x^n)\) 将右边写为幂的对数。 \[ \log \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) \]
由于 \(\log(x)\) 是单射函数，可得： \[ \dfrac{x}{x^2 - 1} = (x - 1)^{-2} \]
两边同乘 \((x - 1)^2\) 并化简： \[ (x - 1)^2 \cdot \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = (x - 1)^2 \cdot (x - 1)^{-2} \] \[ (x - 1)^2 \cdot \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = 1 \]
展开 \((x - 1)^2\) 和 \((x^2 - 1)\) 并化简： \[ \dfrac{x(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = 1 \] \[ \dfrac{x(x - 1)}{x + 1} = 1 \]
两边同乘 \(x + 1\) 并化简： \[ x(x - 1) = x + 1 \] \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \]
两个解： \[ x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41 \quad \text{和} \quad x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41\] 验证所得解。 \[ x_1 = 1 + \sqrt{2} \] 方程左边： \(\log(1 + \sqrt{2}) - \log((1 + \sqrt{2})^2 - 1) = \log(1 + \sqrt{2}) - \log(2 + 2\sqrt{2}) = -\log(2)\)
方程右边： \(-2 \log(1 + \sqrt{2} - 1) = -2 \log(\sqrt{2}) = -\log(2)\)
\[ x_2 = 1 - \sqrt{2} \] 方程左边： \(\log(1 - \sqrt{2}) - \log((1 - \sqrt{2})^2 - 1)\) 无定义，因为 \(1 - \sqrt{2}\) 为负数，项 \(\log(1 - \sqrt{2})\) 无定义。
原方程有一个解： \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41 \)
函数 \(r(x) = \log x - \log(x^2 - 1) + 2 \log(x - 1)\) 的 \(x\) 轴截距如下所示，其 \(x\) 坐标与方程解相近。
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解方程： \[ \log_2(2x - 9) = 2 - \log_2(x - 1) \]
将对数项移至等式同侧，并将 \( 2 \) 替换为 \( \log_2 4 \)： \[ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 \]
使用法则 \( \log_2 A + \log_2 B = \log_2(AB) \) 将方程重写为： \[ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 \] 可得 \[ (2x - 9)(x - 1) = 4 \]
展开并写成标准形式： \[ 2x^2 - 11x + 5 = 0 \]
解上述二次方程得：
两个解： \[ x_1 = \dfrac{1}{2} \quad \text{和} \quad x_2 = 5 \]
验证所得解。 \[ x_1 = \dfrac{1}{2} \]
方程左边： \( \log_2(2 \cdot \dfrac{1}{2} - 9) = \log_2(-8) \) 无定义，因为对数参数为负数。
\[ x_2 = 5 \]方程左边： \( \log_2(2 \cdot 5 - 9) = \log_2(1) = 0 \)
方程右边： \( 2 - \log_2(5 - 1) = 2 - \log_2 4 = 0 \)
原方程有一个解。 \( x = 5 \)
图形解如下所示，为函数 \( s(x) = \log_2(2x - 9) - 2 + \log_2(x - 1) \) 的 x 轴截距。
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使用法则 \( n \ln x = \ln x^n \) 和 \( \ln \left( \dfrac{A}{B} \right) = \ln A - \ln B \) 将方程重写为： \[ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln 2^3 \] \[ \ln \left( \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 \]
由于 \( \ln x \) 是单射函数，可得： \[ \dfrac{(x + 3)^2}{ x + 1} = 8 \quad \text{或} \quad (x + 3)^2 = 8(x + 1) \]
将上述二次方程写成标准形式： \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] 得到一个解： \[ x = 1 \]
验证所得解：
方程左边： \( 2 \ln(1 + 3) - \ln(1 + 1) = 2 \ln 4 - \ln 2 = 4 \ln 2 - \ln 2 = 3 \ln 2 \)
图形解如下所示，为函数的 x 轴截距：
\[
h_1(x) = 2 \ln(x + 3) - \ln(x + 1) - 3 \ln 2
\]
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解方程： \[ \left( \log_2(x) \right)^2 - \log_2(x^2) = 8 \]
使用法则 \( n \log_{2} x = \log_{2} x^{n} \) 将方程重写为： \[ (\log_{2}(x))^{2} - 2 \log_{2}(x) = 8 \]
令 \( u = \log_{2}(x) \)，将方程写成关于 \( u \) 的标准形式： \[ u^{2} - 2u - 8 = 0 \] 得到两个解： \[ u = -2 \quad \text{和} \quad u = 4 \]
现在解 \( x \)： \[ u = -2 = \log_{2}(x) \Rightarrow x = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} \] \[ u = 4 = \log_{2}(x) \Rightarrow x = 2^{4} = 16 \]
图形解如下所示，为函数 x 轴截距：
\[
p_{1}(x) = (\log_{2}(x))^{2} - \log_{2}(x^{2}) = 8
\]
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解方程： \[ 10 \log(\log(x)) = 1 \].
两边除以 10： \[ \log(\log(x)) = 0.1 \] 可得 \[ \log(x) = 10^{0.1} \] 解得 \( x \) 为： \[ x = 10^{10^{0.1}} \approx 18.15 \]
现在解 \( x \)。
图形解如下所示，为函数 \( f(x) = 10 \log(\log(x)) - 1 \) 的 x 轴截距。
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