反函数问题与详细解答

已知 $f(x) = 2 x^3 - 1$ 的图象如下。
1) 在同一个坐标系中草绘 $f$ 的反函数的图象。
2) 求 $f$ 的反函数并用一些点验证您的答案。

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1）图象法：找出可以从 $f$ 的图象中轻松确定坐标 $(a , b)$ 的点：
$$ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) $$

在反函数图象上，这些点的坐标会互换为 $(b , a)$：
$$ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) $$

描绘这些点并草绘 $f$ 反函数的图象，使得两个图象关于 $y = x$ 对称。

2）解析法：将函数写成包含两个变量的方程：
$$ y = 2x^3 - 1 $$

解出 $x$：
$$ 2x^3 = y + 1 $$
$$ x^3 = \dfrac{y + 1}{2} $$
$$ x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$

互换 $x$ 和 $y$ 写出反函数：
$$ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} $$

验证：验证点 $(-1, 0)$ 和 $(-3, -1)$ 是否在 $f^{-1}$ 上：
$$ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0 $$
$$ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1 $$
这两个点都完全符合。

第 1 步：确定定义域和值域的对应关系。
我们得到一个具有受限定义域的二次函数：$x \leq 2$。让我们通过配方将其写成顶点式：
$$ f(x) = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 $$

顶点为 $(2, 1)$，抛物线开口向上。由于定义域限制我们在左半部分（$x \leq 2$），因此 $f$ 的值域为 $y \geq 1$。
因此，对于 $f^{-1}$：
$f^{-1}$ 的定义域：$[1, \infty)$
$f^{-1}$ 的值域：$(-\infty, 2]$

第 2 步：写成方程并求解 $x$。
$$ y = (x - 2)^2 + 1 $$
$$ (x - 2)^2 = y - 1 $$

开平方根得到两个解：
$$ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} $$
$$ x = 2 + \sqrt{y - 1} \quad \text{或} \quad x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

第 3 步：利用值域约束选择正确的分支。
由于反函数的值域必须是 $x \leq 2$（来自原函数的定义域），我们必须选择负平方根分支：
$$ x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

第 4 步：互换 $x$ 和 $y$。
$$ f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1} $$
最终答案：$f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$，定义域为 $[1, \infty)$，值域为 $(-\infty, 2]$。

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1）图象法：在 $f(x)$ 的图象上定位几个点。坐标 $(a, b)$ 的一个可能列表为：
$$ (1.5, 0), \quad (2, 1), \quad (6, 3) $$

将反函数图象的坐标互换为 $(b, a)$：
$$ (0, 1.5), \quad (1, 2), \quad (3, 6) $$

描绘这些点以草绘关于 $y = x$ 对称的 $f^{-1}$。

2）解析法：
定义域/值域设置：从图象（或通过代数 $2x-3 \geq 0$），$f$ 的定义域为 $x \geq 1.5$，值域为 $y \geq 0$。因此，$f^{-1}$ 的定义域将为 $x \geq 0$。

写成方程：
$$ y = \sqrt{2x - 3} $$

两边平方并求解 $x$：
$$ y^2 = 2x - 3 $$
$$ 2x = y^2 + 3 $$
$$ x = \dfrac{y^2 + 3}{2} $$

互换 $x$ 和 $y$ 并应用定义域约束：
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 $$

根据给定的 $y = f(x)$ 图象草绘 $f^{-1}$ 的图象，并通过解析法确定其方程。

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1）图象法：从分段函数 $f(x)$ 中提取关键顶点：
$$ (0 , 3) , \quad (2 , -1) , \quad (5 , -3) $$

互换坐标以找到 $f^{-1}(x)$ 的顶点：
$$ (3 , 0) , \quad (-1 , 2) , \quad (-3 , 5) $$

2）通过解析法确定 $f^{-1}(x)$：我们需要求出反函数图象的两段线性线段的方程。

线段 1：$x$ 值在 $-3$ 和 $-1$ 之间。通过点 $(-3, 5)$ 和 $(-1, 2)$。
斜率 $m_1$：
$$ m_1 = \dfrac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2} $$
方程（使用点斜式与点 $(-1,2)$）：
$$ y - 2 = -\dfrac{3}{2}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 $$

线段 2：$x$ 值在 $-1$ 和 $3$ 之间。通过点 $(-1, 2)$ 和 $(3, 0)$。
斜率 $m_2$：
$$ m_2 = \dfrac{0 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} $$
方程（使用点斜式与点 $(3,0)$）：
$$ y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}(x - 3) $$
（注：这与 $-\dfrac{1}{2}(x+1)+2$ 在代数上等价。）

结论（分段反函数）：
$$ f^{-1}(x) = \begin{cases} -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 & -3 \leq x \leq -1 \\ -\dfrac{1}{2}(x - 3) & -1 < x \leq 3 \end{cases} $$

第 1 步：确定定义域和值域。
如果根号内大于等于 $0$ 且分母不等于 $0$，则 $f(x)$ 有定义：
$$ \dfrac{2}{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{2 - x}{x} \geq 0 $$
分析临界值 $x=0$ 和 $x=2$ 处的符号可得定义域：
$f$ 的定义域：$(0, 2]$

由于根号产生正数（或零）并乘以负号，值域为所有非正数。
$f$ 的值域：$(-\infty, 0]$

因此，对于反函数：
$f^{-1}$ 的定义域：$(-\infty, 0]$
$f^{-1}$ 的值域：$(0, 2]$

第 2 步：草绘图象。
$f$ 上的点：$(2 , 0)$ 和 $(1 , -1)$。
$f^{-1}$ 上的点：$(0 , 2)$ 和 $(-1 , 1)$。

第 3 步：通过解析法求 $f^{-1}(x)$。
$$ y = -\sqrt{\dfrac{2}{x} - 1} $$

两边平方（这需要追踪我们的定义域以避免增根）：
$$ y^2 = \dfrac{2}{x} - 1 $$
$$ \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 $$
$$ x = \dfrac{2}{y^2 + 1} $$

互换 $x$ 和 $y$，并注明所需的定义域限制：
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}, \quad x \leq 0 $$

下方显示了 6 个函数的图象。请草绘每个函数反函数的图象。

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解答：对于每个图象，选择坐标易于确定的点。利用这些点以及关于直线 $y = x$ 对称的原理来草绘反函数。

第 1 步：确定定义域和值域。
要使对数有定义，真数必须为正：$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$。
对数可以输出所有实数，因此值域不受限制。
$f$ 的定义域：$(-2, \infty)$
$f$ 的值域：$(-\infty, \infty)$

因此，对于反函数：
$f^{-1}$ 的定义域：$(-\infty, \infty)$
$f^{-1}$ 的值域：$(-2, \infty)$

第 2 步：通过代数求解。
$$ y = \log_4(x + 2) - 5 $$
$$ \log_4(x + 2) = y + 5 $$

转换为指数形式：
$$ x + 2 = 4^{(y + 5)} $$
$$ x = 4^{(y + 5)} - 2 $$

第 3 步：互换 $x$ 和 $y$。
$$ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2 $$

如果 $f(x) = \ln(x) + 4x - 8$，求 $f^{-1}(-4)$ 的值是多少？

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解答：我们不需要求出完整的反函数方程。设 $a = f^{-1}(-4)$。利用反函数的复合性质 $f(f^{-1}(x)) = x$，我们知道：
$$ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 $$

我们需要找到一个 $a$ 使得 $f(a) = -4$：
$$ \ln(a) + 4a - 8 = -4 $$
$$ \ln(a) = 4 - 4a $$

这个超越方程无法纯粹通过代数方法求解，但其解可以通过图象近似为 $y = \ln(x)$ 和 $y = 4 - 4x$ 交点的 $x$ 坐标。

交点精确位于 $a = 1$ 处。我们可以通过代数方法对此进行验证：
$$ \ln(1) = 4 - 4(1) \Rightarrow 0 = 0 $$

最终答案：
$$ f^{-1}(-4) = 1 $$