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1) 在同一坐标系中画出 \( f \) 的反函数的图像。
2) 求出 \( f \) 的反函数，并使用一些点验证你的答案。
学习如何使用分析技术和绘图方法解决涉及反函数的数学问题。本页面提供了各种问题的分步解答， 重点介绍了诸如反射特性之类的关键概念：函数及其反函数的图像关于直线 \( y = x \) 对称。非常适合寻求清晰解释和反函数直观理解的学生和教育工作者。
下图显示了函数 \[ f(x) = 2 x^3 - 1 \] 的图像
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1) 在同一坐标系中画出 \( f \) 的反函数的图像。
2) 求出 \( f \) 的反函数，并使用一些点验证你的答案。
1) 在 \( f \) 的图像上定位点。以下是从图像中容易确定的坐标点 \( (a , b) \) 的列表： \[ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) \]
在反函数图像上，上述点将具有坐标 \( (b , a) \)，如下所示： \[ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) \]
绘制上述点，并画出 \( f \) 的反函数图像，使得两个图像关于直线 \( y = x \) 对称，如下所示。
2) 将给定函数 \( f(x) = 2x^3 - 1 \) 写成包含两个未知数的方程： \[ y = 2x^3 - 1 \]
解出上式中的 \( x \)： \[ 2x^3 = y + 1 \] \[ x^3 = \dfrac{y + 1}{2} \] \[ x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} \]
交换 x 和 y，并写出反函数 \( f^{-1} \) 的方程： \[ y = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \] \[ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} \]
我们现在验证上面用于绘制反函数图像的点 \( \quad (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) \quad \) 在 \( f^{-1} \) 的图像上。 \[ f^{-1} (1) = \sqrt[3]{\dfrac{1 + 1}{2}} = 1 \] \[ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0 \] \[ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1 \]
设 \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \)，\( x \leq 2 \)。
1) 求 \( f \) 的反函数。
2) 求 \( f^{-1} \) 的定义域和值域。
1) 我们给定了一个定义域受限的二次函数。我们首先将给定函数写成顶点式（可以通过配方法完成）：
\[ f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 \]
函数 \( f \) 的图像是顶点在 \( (2, 1) \) 的抛物线的左半部分，如下所示。
我们现在将给定函数写成一个方程。 \[ y = (x - 2)^2 + 1 \]
解出上式中的 \( x \) \[ y = (x - 2)^2 + 1 \] \[ (x - 2)^2 = y - 1 \]
两个解： \[ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} \] 得到 \[ x = \sqrt{y - 1} + 2 \quad \text{和} \quad x = -\sqrt{y - 1} + 2 \]
由于 \( x \leq 2 \)（\( f \) 的定义域）且 \( \sqrt{y - 1} \ge 0 \)，我们选择解
\[ x = -\sqrt{y - 1} + 2 \]
交换 \( x \) 和 \( y \) 来写出函数 \( f \) 的反函数如下。 \[ y = f^{-1}(x) = -\sqrt{x - 1} + 2 \] \( f^{-1} \) 的定义域和值域分别是 \( f \) 的值域和定义域。
\( f^{-1} \) 的定义域是 \( f \) 的值域： \[ [1, +\infty) \quad \text{从图像可知} \] \( f^{-1} \) 的值域是 \( f \) 的定义域： \[ (-\infty, 2] \quad {已知} \]
下图显示了函数 \[ f(x) = \sqrt{2 x - 3} \] 的图像
1) 在同一图中画出 \( f \) 的反函数。
2) 求出反函数，并使用一些点验证你的答案。
1) 在 \( f \) 的图像上定位几个点。一个可能的坐标点 \( (a, b) \) 列表如下： \[ (1.5, 0) , (2, 1) , (6, 3) \]
在反函数图像上，上述点将具有坐标 \( (b, a) \)，如下所示： \[ (0, 1.5) , (1, 2) , (3, 6) \]
绘制上述点，并画出 \( f \) 的反函数图像，使得两个图像关于直线 \( y = x \) 对称，如下所示。
2) 将给定函数 \( f(x) = \sqrt{2x - 3} \) 写成包含两个未知数的方程。 \[ y = \sqrt{2x - 3} \]
解出上式中的 \( x \)。首先两边平方： \[ 2x - 3 = y^2 \] \[ 2x = y^2 + 3 \] 解 \[ x = \dfrac{y^2 + 3}{2} \]
交换 \( x \) 和 \( y \)，写出反函数 \( f^{-1} \) 的方程；并写出反函数的定义域。 \[ y = \dfrac{x^2 + 3}{2} \] \( f^{-1} \) 的定义域是上面 \( f \) 图像所显示的值域，因此 \[ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 \] 我们现在验证用于绘制反函数图像的点 \( (0 , 1.5) \)、\( (1 , 2) \) 和 \( (3 , 6) \) 在 \( f^{-1} \) 的图像上。 \[ f^{-1}(0) = \dfrac{0^2 + 3}{2} = 1.5 \] \[ f^{-1}(1) = \dfrac{1^2 + 3}{2} = 2 \] \[ f^{-1}(3) = \dfrac{3^2 + 3}{2} = 6 \]
使用下面显示的 \( y = f(x) \) 的图像画出 \( f^{-1} \) 的图像，并求出 \( f^{-1}(x) \)。
1) 使用图像找到 \( f \) 图像上的点。一个可能的坐标点 \( (a , b) \) 列表如下： \[ (0 , 3) , (2 , -1) , (5 , -3) \]
在反函数图像上，上述点将具有坐标 \( (b , a) \)，如下所示： \[ (3 , 0) , (-1 , 2) , (-3 , 5) \]
2) 确定反函数 \( f^{-1}(x) \)
对于 \( -3 \leq x \leq -1 \)，\( f^{-1}(x) \) 是一个斜率为 \( m_1 \) 的线性表达式，经过点 \( (-1, 2) \) 和 \( (-3, 5) \)：
\[ m_1 = \dfrac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{-3}{2} \]因此，对于 \( -3 \leq x \leq -1 \)，反函数为：
\[ f^{-1}(x) = -\dfrac{3}{2}(x - (-1)) + 2 = -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 \]对于 \( -1 < x \leq 3 \)，\( f^{-1}(x) \) 是一个斜率为 \( m_2 \) 的线性表达式，经过点 \( (-1, 2) \) 和 \( (3, 0) \)：
\[ m_2 = \dfrac{0 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} \]因此，对于 \( -1 < x \leq 3 \)，反函数为：
\[ f^{-1}(x) = -\dfrac{1}{2}(x - (-1)) + 2 = -\dfrac{1}{2}(x + 1) + 2 \] 结论： \[ f^{-1}(x) = \left \{ \begin{array}{ll} -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 \quad -3 \leq x \leq -1 \\ -\dfrac{1}{2}(x + 1) + 2 \quad -1 \lt x \leq 3 \end{array} \right \} \] 一一对应函数
\[ f(x) = - \sqrt{\dfrac{2}{x}-1} \]
的图像如下所示。
1) \( f \) 的定义域和值域是什么？
2) 画出 \( f^{-1} \) 的图像。
3) 求 \( f^{-1}(x) \)（包括定义域）。
1) 当被开方数 \( \dfrac{2}{x} - 1 \) 大于等于 0 时，\( f(x) \) 被定义为实数。因此，我们需要解不等式：
\[
\dfrac{2}{x} - 1 \geq 0
\]
\[
\dfrac{2 - x}{x} \geq 0
\]
不等式左边的表达式在分子和分母的零点处改变符号，分别是 \( x = 2 \) 和 \( x = 0 \)。见下表。
\( f \) 的定义域：\( (0 , 2] \)
\( f \) 的值域：\( (-\infty , 0] \)
2) \( f \) 图像上的点 \[ (2 , 0) , (1 , -1) \] 上述点在反函数图像上将具有坐标 \( (b , a) \)，如下所示： \[ (0 , 2) , (-1 , 1) \]
绘制上述点，并画出 \( f \) 的反函数图像，使得两个图像关于直线 \( y = x \) 对称，如下所示。
3) 将 \( f(x) \) 写成关于 \( y \) 和 \( x \) 的方程。 \[ y = -\sqrt{\dfrac{2}{x} - 1} \]
解出上述方程中的 \( x \)。将上述方程两边平方： \[ y^2 = \dfrac{2}{x} - 1 \] \[ \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 \] \[ x = \dfrac{2}{y^2 + 1} \]
交换 \( x \) 和 \( y \)，写出反函数： \[ y = \dfrac{2}{x^2 + 1} \] \[ f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1} \]
\( f^{-1} \) 的定义域和值域分别是 \( f \) 的值域和定义域。因此：
\( f^{-1} \) 的定义域：\[ (-\infty , 0] \] \( f^{-1} \) 的值域：\[ (0 , 2] \]
求函数 \[ f(x) = \log_4 (x + 2) - 5 \] 的反函数，及其定义域和值域。
将给定函数写成关于 \( x \) 和 \( y \) 的方程如下： \[ y = \log_{4}(x + 2) - 5 \]
解出上述方程中的 \( x \)。 \[ \log_{4}(x + 2) = y + 5 \] \[ x + 2 = 4^{(y + 5)} \] \[ x = 4^{(y + 5)} - 2 \]
交换 \( x \) 和 \( y \)。 \[ y = 4^{(x + 5)} - 2 \]
写出反函数及其定义域和值域。 \[ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2, \quad \text{定义域: } (-\infty, +\infty), \quad \text{值域: } (-2, +\infty) \]
如果 \( f(x) = \ln(x) + 4x - 8 \)，那么 \( f^{-1}(-4) \) 的值是多少？
令 \( a = f^{-1}(-4) \)。然后利用反函数的性质 \( f(f^{-1}(x)) = x \)，我们写出： \[ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 \]
我们现在需要找到满足 \( f(a) = -4 \) 的 \( a \)，因此需要解方程：
\[ \ln(a) + 4a - 8 = -4 \] \[ \ln(a) = 4 - 4a \]
上述方程无法用解析法求解，但其解可以通过图像近似得到，即求 \( y = \ln(x) \) 和 \( y = 4 - 4x \) 图像交点的 x 坐标，如下所示。
两条图像的交点接近 \( x = 1 \)，可以很容易地验证这是方程 \( \ln(x) = 4 - 4x \) 的精确解。因此， \[ f^{-1}(-4) = 1 \]