多项式图象问题与详细解答

给出四个不同的理由，说明下方图象绝不可能的多项式函数方程为：$$ p(x) = x^4-x^2+1 $$

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解答：这四个理由是：

1. 对称性：给定的多项式函数 $p(x) = x^4-x^2+1$ 仅包含偶数次幂，因此它是一个偶函数。因此，其图象必须关于 y 轴对称。而给定的图象关于 y 轴不对称。
2. 实数零点：可以通过代入 $u = x^2$ 来分析多项式 $p(x)$。$u^2 - u + 1$ 的判别式为 $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$。由于判别式为负，该多项式没有实数零点。然而，给定的图象明显具有 x 截距。
3. y 截距：通过计算 $p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$（为正数）来求 y 截距。而给定图象的 y 截距明显为负。
4. 端点行为：由于具有正的首项系数（$a = 1$）和偶数次（$n = 4$），该多项式的图象必须满足两端均上升（$y \to \infty$）。但在给定的图象中，两端都在下降。

将多项式函数与它们的图象进行匹配（图中显示了所有的 x 截距）。

$$ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 $$

$$ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 $$

$$ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) $$

$$ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 $$

$$ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 $$

$$ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) $$

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解答：

根据它们的方程，所有给定的 6 个多项式函数都是 5 次的（因式指数之和）。但是，它们的首项系数正负号不同。我们将多项式分为两组：

第一组：正首项系数

多项式 $f$、$h$ 和 $i$ 的首项系数为正。

$$ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 $$

$$ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) $$

$$ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 $$

由于次数为 5（奇数）且首项系数为正，这些图象具有以下端点行为：
当 $x \to \infty$ 时，$y \to \infty$（右侧上升）。
当 $x \to -\infty$ 时，$y \to -\infty$（左侧下降）。

a）、c）和 e）部分给定的图象符合此端点行为。我们根据它们的根和重数进行匹配：

1. 多项式 $f(x)$ 在 $x = -1$ 处有一个重数为 1 的零点（穿过），在 $x = 1$ 处重数为 2（相切），在 $x = -2$ 处重数为 2（相切）。这对应于图 e）。
2. 多项式 $h(x)$ 在 $x = -1$ 处有一个重数为 1 的零点（穿过），在 $x = 1$ 处重数为 3（穿过并变平），在 $x = 3$ 处重数为 1（穿过）。这对应于图 a）。
3. 多项式 $i(x)$ 在 $x = -1$ 处有一个重数为 2 的零点（相切），在 $x = 2$ 处重数为 3（穿过并变平）。这对应于图 c）。

第二组：负首项系数

多项式 $g$、$j$ 和 $k$ 展开后具有负的首项系数（注：对于 $j(x)$，项 $(1-x)$ 产生了负系数）。

$$ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 $$

$$ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 $$

$$ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) $$

由于次数为 5（奇数）且首项系数为负，这些图象具有以下端点行为：
当 $x \to \infty$ 时，$y \to -\infty$（右侧下降）。
当 $x \to -\infty$ 时，$y \to \infty$（左侧上升）。

b）、d）和 f）部分给定的图象符合此行为。我们根据它们的根进行匹配：

1. 多项式 $g(x)$ 在 $x = -1$ 处有一个重数为 1 的零点（穿过），在 $x = 1$ 处重数为 4（相切）。这对应于图 f）。
2. 多项式 $j(x)$ 在 $x = -1$ 处有一个重数为 2 的零点（相切），在 $x = 1$ 处重数为 1（穿过），在 $x = 2$ 处重数为 2（相切）。这对应于图 d）。
3. 多项式 $k(x)$ 在 $x = -1$ 处有一个重数为 2 的零点（相切），在 $x = 1$ 处重数为 2（相切），在 $x = 3$ 处重数为 1（穿过）。这对应于图 b）。