12年级数学问题与解答
这里提供了带有详细解答的12年级数学问题。本网站还包含更多12年级数学练习题。
问题 1
2台大型和1台小型水泵可以在4小时内填满一个游泳池。1台大型和3台小型水泵也可以在4小时内填满同一个游泳池。那么4台大型和4台小型水泵需要多少小时才能填满这个游泳池？（我们假设所有大型水泵功率相同，所有小型水泵功率也相同。）
设 \(R\) 和 \(r\) 分别为大型和小型水泵的工作效率。
\(4(2R + r) = 1\)：2台大型和1台小型工作4小时完成1项工作
\(4(R + 3r) = 1\)：1台大型和3台小型工作4小时完成1项工作
\(T(4R + 4r) = 1\)：如果4台大型和4台小型要完成1项工作，求时间 \(T\)。
先解前两个方程求出 \(R\) 和 \(r\)，然后代入第三个方程求解 \(T\)：\(T = \dfrac{5}{3}\) 小时 = 1小时40分钟。
问题 2
求一个直角三角形的所有边长，该三角形的周长等于60厘米，面积等于150平方厘米。
\(x + y + H = 60\)：周长，\(x\)、\(y\) 和 \(H\) 是直角三角形的两条直角边和斜边
\(\dfrac{1}{2}xy = 150\)：面积
\(x^2 + y^2 = H^2\)：勾股定理
3个方程，3个未知数。
\((x + y)^2 - 2xy = H^2\)：在第三个方程中完成平方。
\(x + y = 60 - H\)：用第一个方程表示 \(x + y\)，并用第二个方程求出 \(xy = 300\)，然后代入方程5。
\((60 - H)^2 - 600 = H^2\)：一个一元方程。
解 \(H\) 得 \(H = 25\) 厘米。代入并解 \(x\) 和 \(y\) 得 \(x = 15\) 厘米 和 \(y = 20\) 厘米。
问题 3
一个圆心为 (-3, -2) 的圆经过点 (0, -6) 和 (a, 0)。求 a。
\(\sqrt{((-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2)} = \sqrt{((a + 3)^2 + (0 + 2)^2)}\)：圆心到圆上任意点的距离相等。
\(25 = (a + 3)^2 + 4\)：简化并两边平方
\((a + 3)^2 = 21\)：重写上述方程
解 \(a\)：
\(a = -3 + \sqrt{21}\) 或 \(a = -3 - \sqrt{21}\)
问题 4
求圆在点 (0, 2) 处的切线方程，圆的方程为：
\((x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 13\)
(-2, -1)：圆心
\(m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}\)：通过圆心和切点 (0, 2) 的直线的斜率
通过圆心和切点 (0, 2) 的直线与切线垂直。
\(M = -\dfrac{2}{3}\)：切线的斜率
\(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\)：给定斜率和点 (0, 2) 的切线方程。
问题 5
一场考试由三部分组成。在A部分，学生必须回答3道题中的2道。在B部分，学生必须回答8道题中的6道，在C部分，学生必须回答所有问题。学生有多少种选题方式？
\(_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84\)：使用基本计数原理
问题 6
解方程：\[ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \]
\( x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \) ：已知
令 \( Y = x - 2 \)，则 \( x = Y + 2 \)
\( (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 \) ：将 \( x \) 替换为 \( Y + 2 \) 代入给定方程
\( Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 \)
\( Y^2 = |Y|^2 \) ：注意
\( |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 \) ：重写方程
\( (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 \) ：因式分解
\( |Y| = 2 , |Y| = 1 \) ：解 \( |Y| \)
\( Y = 2, -2 , 1 , -1 \) ：解 \( Y \)
\( x = 4 , 0 , 3 , 1 \) ：使用 \( x = Y + 2\) 解 \( x \)
问题 7
如下所示的直角三角形ABC内接于一条抛物线。点B也是抛物线的最高点（顶点），点C是抛物线的x轴截距。如果抛物线的方程为 \( y = -x^2 + 4 x + C \)，求 \( C \) 使得三角形ABC的面积等于 \( 32 \) 平方单位。
\( h = \dfrac{-b}{2a} = 2 \) ：抛物线顶点的x坐标
\( k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C \) ：顶点的y坐标
\( x = \left(2 + \sqrt{4 + C} \right), \quad x = \left(2 - \sqrt{4 + C} \right) \) ：抛物线的两个x轴截距。
长度 \( BA = k = 4 + C \)
长度 \( AC = (2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C} \)
\( \text{面积} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} \)
\( \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 \) ：面积等于32
\( C = 12 \) ：解上述方程求 \( C \)。
问题 8
由直线 \( y = 0\)、\(y = 2x \) 和 \( y = -0.5x + k \) 所围成的三角形（其中 \( k \) 为正数）的面积为 \( 80 \) 平方单位。求 \( k \)。
\( A(0,0) \) , \( B(2k/5 , 4k/5) \) , \( C(2k ,0) \) ：三条直线的交点坐标
面积 = \( (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 \) ：已知
\( k = 10 \) ：解上述方程求正数 \( k \)（给定条件）。
问题 9
一条抛物线的两个x轴截距为 \( (-2 , 0) \) 和 \( (3 , 0) \)，并且经过点 \( (5 , 10) \)。求这条抛物线的方程。
\(y = a(x + 2)(x - 3) \) ：使用x轴截距以因式形式写出抛物线方程
\( 10 = a(5 + 2)(5 - 2) \) ：因为 \( (5 , 10) \) 是抛物线上的点，因此满足抛物线方程。
\( a = 5/7 \) ：解上述方程求a。
问题 10
当多项式 \( P(x) = x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \)（其中 \( A \) 是常数）除以 \( x^2 + 1 \) 时，余数等于 \( 5 x \)。求 \( A \)。
\( x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \) 除以 \( x^2 + 1 \) 的余数为 \( -x (1 + 2 A) \)
\( - x (1 + 2A) = 5 x \) ：已知余数为 \( 5 x \)
\( -(1 + 2A) = 5 \) ：多项式相等当且仅当对应系数相等。
\( A = -3 \) ：解上述方程求 \( A \)。
问题 11
当多项式 \( P(x) = x^5 + 2 x^3 + A x + B \)（其中 \( A \) 和 \( B \) 是常数）除以 \( x - 1 \) 时，余数等于 \( 2 \)。当 \( P(x) \) 除以 \( x + 3 \) 时，余数等于 \( -314 \)。求 \( A \) 和 \( B \)。
\( P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 \) ：余数定理
\( P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 \) ：余数定理
得到关于 \( A \) 和 \( B \) 的方程组：
\begin{align*} A + B = -1 \\ -3 A + B = -17 \end{align*}
\( A = 4 \) 和 \( B = -5 \) ：解上述方程组。
问题 12
求由以下方程定义的两个圆的所有交点：
\((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\)
\((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4\)
\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 \) ：展开第一个圆的方程
\( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 \) ：展开第二个圆的方程
\( -2x - 2y + 6 = 0 \) ：将上述方程左右两边相减
\( y = 3 - x \) ：解上述方程求 \( y \)。
\( 2x^2 - 6x + 1 = 0 \) ：将 \( y \) 替换为 \( 3 - x \) 代入第一个方程，展开并合并同类项。
\( \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \quad \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right) \) ：解上述方程求 \( x \)，并使用 \( y = 3 - x \) 求 y。
问题 13
如果将 \( 200 \) 加到一个正整数 \( I \) 上，结果是一个平方数。如果将 \( 276 \) 加到同一个整数 \( I \) 上，得到另一个平方数。求 \( I \)。
\( I + 200 = A^2 \) ：200加到 \( I \)（未知整数）上得到一个平方数。
\( I + 276 = B^2 \) ：276加到 \( I \)（未知整数）上得到另一个平方数。
\( B^2 = A^2 + 76 \) ：从两个方程中消去 \( I \)。
将平方数 \( A^2 \)（0, 1, 4, 9, 16, 25,...）加到76上，直到得到另一个平方数 \( B^2 \)。
\( 76 + 18^2 = 400 = 20^2 \)
\( A^2 = 18^2 \quad \text{且} \quad B^2 = 20^2 \)
\( I = A^2 - 200 = 124 \)
问题 14
一个等比数列的前三项之和等于 \( 42 \)。这些项的平方和等于 \( 1092 \)。求该数列的前三项。
\(sum_1 = a + a r + a r^2 = 42\) ：已知前三项的和，\( r \) 是公比。
\( sum_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092\) ：已知三项的平方和。
\( sum_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42 \) ：应用等比数列有限项和公式。
\( sum_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092 \) ：平方和也是等比数列的和。
\( \dfrac{sum_2}{(sum_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2{r^6 - 1}}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}} \) ：定义比值。
\( \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} \) ：简化上述比值得到方程。
\( r = 4 , r = 1/4 \) ：解 \( r \)
\( a = 2 \) ：将 \( r = 4 \) 代入 \( sum_1\) 并解 \( a \)
\( a = 32 \) ：将 \( r = 1/4 \) 代入 \( sum_1\) 并解 \( a \)
\( a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 \) ：求 \( r = 4 \) 时的三项
\( a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 \) ：求 \( r = 1/4 \) 时的三项
问题 15
一块石头落入水井中，大约在 \( t \) 秒内下落 \( 16 t^2 \) 英尺。如果3.5秒后听到溅水声，且声音的速度为 \( 1087 \) 英尺/秒，那么井深是多少？
\( T_1 + T_2 = 3.5 \) ：其中 \( T_1 \) 是石头到达井底的时间，\( T_2 \) 是声音传到井口的时间。
\( 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 \) ：因为两项都代表相同的距离，即井深。
解 \( T_2 \)：
\( T_2 = 3.5 - T_1 \)
将 \( T_2 \) 代入方程：
\( 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3.5 - T_1) \)
解 \( T_1 \)：
\( T_1 = 3.34 \text{ 秒} \)
最后计算井深：
\( \text{井深} = 16 \times (3.34)^2 = 178 \text{ 英尺} \quad (\text{四舍五入到整数}) \)
问题 16
两艘船在河流的相反两岸开始向彼此移动。它们第一次相遇时距离一岸1400米。它们各自继续到达对岸，立即掉头开始返回另一岸。当它们第二次相遇时，距离另一岸600米。我们假设每艘船在整个旅程中以恒定速度行驶。求河流的宽度？
\( S_1 \times t_1 = 1400 \) ：\( S_1 \)（船1的速度），\( t_1 \) 是行驶1400米的时间（船1）
\( 1400 + S_2 \times t_1 = X \) ：\( S_2 \)（船2的速度）
\( S_1 \times t_2 = X + 600 \) ：\( t_2 \) 是船1行驶 \( X + 600 \) 米的时间 (III)
\( S_2 \times t_2 = 2X - 600 \) (IV)
\( S_1 = \dfrac{1400}{t_1} \)
\( S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} \)
令 \( T = \dfrac{t_2}{t_1} \)
将 \( S_1 \)、\( S_2 \) 和 \( \dfrac{t_2}{t_1} \) 代入方程 (III) 和 (IV)：
\( 1400 \times T = X + 600 \)
\( X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 \)
解上述包含两个未知数 \( X \) 和 \( T \) 的方程组，消去 \( T \) 并解 \( X \) 得到河流宽度 \( X \)：
\( X = 3600 \text{ 米} \)
问题 17
求常数 \( a \) 和 \( b \)，使得所有给定方程的4条直线都通过同一点。
\( x + y = - 1 \)
\( - x + 3 y = - 11 \)
\( a x + b y = 4 \)
\( 2 a x - b y = 2 \)
解前两个方程的方程组得到解 \( (2, -3) \)。
解 \( (2, -3) \) 也必须是最后两个方程的解，因为4条直线都通过同一点 \( (2, -3) \)。
\( a(2) + b(-3) = 4 \) ：将x替换为2，y替换为-3代入第三个方程
\( 2a(2) - b(-3) = 2 \) ：将x替换为2，y替换为-3代入第四个方程
解上述关于 \( a \) 和 \( b \) 的方程组得到：
\( a = 1, \quad b = -\dfrac{2}{3} \)
问题 18
求如下所示直角三角形的面积。
我们使用直线方程来求解。
\( AB \) 的斜率等于 \( -3 \)，因为它垂直于 \( OB \)，后者的斜率为 \( \dfrac{1}{3} \)。
\( AB \) 的方程由下式给出：
\[ y = -3x + B \]
由于 \( AB \) 经过点 \( C(5,5) \)，我们有 \( 5 = -3 \times 5 + B \)，解 B 得到 \( AB \) 的方程。
\[ y = -3x + 20 \]
点 \( B \) 的坐标通过解以下方程组求得：
\[ y = -3x + 20 \]
\[ y = \dfrac{1}{3}x \]
解 \( (x,y) \) 得 \( B(6,2) \)。
类似地，点 \( A \) 的坐标通过解以下方程组求得：
\[ y = -3x + 20 \]
\[ y = 2x \]
解 \( (x,y) \) 得 \( A(4,8) \)。
现在计算距离 \( \overline{OB} \)：
\[ \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \]
以及距离 \( \overline{AB} \)：
\[ \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \]
三角形 \( OAB \) 的面积为：
\[ \text{面积} = \dfrac{1}{2} \times \overline{OB} \times \overline{AB} \]
\[ = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} \]
\[ = \dfrac{1}{2} \times 40 \]
\[ = 20 \]
问题 19
水泵A排空游泳池所需的时间比水泵B少2小时。水泵A在上午8:00启动，水泵B在上午10:00启动。到中午12:00时，当水泵B损坏时，游泳池已排空60%。那么中午12:00之后，水泵A需要多长时间才能排空游泳池？
设 \( t \) 为水泵B单独排空游泳池所需的时间（小时）。
水泵A单独排空游泳池需要 \( t - 2 \) 小时。
水泵A工作4小时（从上午8:00到中午12:00），效率为 \( \dfrac{1}{t - 2} \)
水泵B工作2小时（从上午10:00到中午12:00），效率为 \( \dfrac{1}{t} \)
到中午12:00时，两个水泵完成的总工作量为游泳池的60%：
\[ \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0.6 \]
将上述方程两边乘以 \( t(t - 2) \) 并简化：
\[ 4t + 2(t - 2) = 0.6t(t - 2) \]
上述方程可写为：
\[ 0.6t^2 - 7.2t + 4 = 0 \]
使用二次公式，我们得到：
\[ t = \dfrac{36 \pm 4\sqrt{66}}{6} = 6 \pm \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \]
有效解为 \( t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \)。
水泵A单独排空游泳池所需时间为 \( t - 2 \)：
\[ t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \]
水泵A的效率为 \( r = \dfrac{1}{4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}} \)。
排空游泳池40%所需时间：
\[ \text{时间} = \dfrac{0.4}{r} = 0.4 \times \left(4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}\right) \]
中午12:00之后水泵A排空游泳池所需时间为：
\[ \boxed{ 0.4 \times \left(4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}\right) \approx 3.766 \; \text{小时}} \]
问题 20
学校A的学生人数等于学校B学生人数的一半。学校A和学校B的男生比例是 \( 1 : 3 \)，学校A和学校B的女生比例是 \( 3 : 5 \)。学校B的男生人数比学校A的男生人数多200。求每所学校的男生和女生人数。
设 \( x \) 为学校A的学生人数（男生和女生）。
设 \( y \) 为学校B的学生人数（男生和女生）。
已知学校A的学生人数是学校B的一半：
\[ x = \dfrac{y}{2} \]
设 \( b_A \) 和 \( b_B \) 分别为学校A和学校B的男生人数。学校A与学校B的男生比例是：
\[ b_A : b_B = 1 : 3 \]
这意味着：
\[ b_B = 3 b_A \]
我们还知道学校B的男生人数比学校A多200：
\[ b_B = b_A + 200 \]
使用 \( b_B = 3b_A \)，我们代入：
\[ 3b_A = b_A + 200 \]
解 \( b_A \)：
\[ 3b_A - b_A = 200 \]
\[ 2b_A = 200 \]
\[ b_A = 100 \]
因此，
\[ b_B = 3(100) = 300 \]
设 \( g_A \) 和 \( g_B \) 分别为学校A和学校B的女生人数。学校A与学校B的女生比例是：
\[ g_A : g_B = 3 : 5 \]
这意味着：
\[ g_B = \dfrac{5}{3} g_A \]
我们知道：
\[ x = b_A + g_A \]
并且
\[ y = b_B + g_B \]
代入 \( x = \dfrac{y}{2} \)：
\[ b_A + g_A = \dfrac{b_B + g_B}{2} \]
代入已知值：
\[ 100 + g_A = \dfrac{300 + g_B}{2} \]
使用 \( g_B = \dfrac{5}{3} g_A \)：
\[ 100 + g_A = \dfrac{300 + \dfrac{5}{3} g_A}{2} \]
两边乘以2：
\[ 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3} g_A \]
所有项乘以3以消除分数：
\[ 600 + 6g_A = 900 + 5g_A \]
\[ 6g_A - 5g_A = 900 - 600 \]
\[ g_A = 300 \]
所以，
\[ g_B = \dfrac{5}{3} \times 300 = 500 \]
最终答案：
学校A有100名男生，300名女生，总共400名学生。
学校B有300名男生，500名女生，总共800名学生。
问题 21
4台大型和2台小型水泵可以在2小时内填满一个游泳池。2台大型和6台小型水泵也可以在2小时内填满同一个游泳池。那么8台大型和8台小型水泵需要多长时间才能填满游泳池的50%？（注意：所有大型水泵功率相同，所有小型水泵功率也相同）。
设 \( L \) 为一台大型水泵的效率（游泳池/小时）。
设 \( S \) 为一台小型水泵的效率（游泳池/小时）。
四台大型和两台小型水泵在2小时内填满游泳池，因此：
\[ 2(4L + 2S) = 1 \]
两台大型和六台小型水泵在2小时内填满游泳池，因此：
\[ 2(2L + 6S) = 1 \]
将上述关于 \( L \) 和 \( S \) 的两个方程组重写为：
\[ 8L + 4 S = 1 \]
\[ 4L + 12 S = 1 \]
第二个方程乘以2：
\[ 8L + 24S = 2 \]
从上面的方程减去第一个方程：
\[ (8L + 4 S) - (8L + 24S) = 1 - 2 \]
\[ -20 S = -1 \]
\[ S = \dfrac{1}{20} \]
将 \( S = \dfrac{1}{20} \) 代入方程 \( 8L + 4 S = 1 \)：
\[ 8L + 4 (\dfrac{1}{20}) = 1 \]
解上述方程求 \( L \)：
\[ L = \dfrac{1}{10} \]
求8台大型和8台小型水泵的总效率：
\[ \text{总效率} = 8L + 8S \]
\[ = 8 \times \dfrac{1}{10} + 8 \times \dfrac{1}{20} \]
\[ = \dfrac{8}{10} + \dfrac{8}{20} \]
\[ = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} \]
\[ = \dfrac{6}{5} \]
由于这些水泵一起每小时填满 \( \dfrac{6}{5} \) 个游泳池，填满 \( 50\%\) 游泳池所需时间为：
\[ \dfrac{6}{5} t = 50\% \]
因此
\[ t = \dfrac{50\%}{\dfrac{6}{5}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{6} \]
\[ = \dfrac{5}{12} \text{ 小时} \]
\[ = 25 \text{ 分钟} \]
使用8台大型和8台小型水泵填满 \( 50\% \) 的游泳池需要25分钟。