12 年级数学题及解答

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1. 2个大1个小泵可以在4小时内注满一个游泳池。 1个大3个小泵也可以在4小时内注满同一个游泳池。 4个大泵和4个小泵需要多少小时才能注满游泳池。（我们假设所有大泵都相似，所有小泵也相似。）
   

2. 求周长为 60 厘米、面积为 150 平方厘米的直角三角形的所有边。
   

3. 以 (-3 , -2) 为圆心的圆穿过点 (0 , -6) 和 (a , 0)，其中 a 是常数。 求常数a。
   

4. 用方程求圆在 ( 0 , 2) 处的切线方程
   

   (x + 2)² + (y + 1)² = 13

   
   

5. 考试由三部分组成。 在 A 部分中，学生必须回答 3 个问题中的 2 个问题。 在 B 部分中，学生必须回答 8 个问题中的 6 个问题，在 C 部分中，学生必须回答所有问题。 学生有多少种问题可供选择？
   

6. 求解 x

   x ² - 3|x - 2| - 4x = - 6

   
   

7. 下图所示的直角三角形 ABC 内接于抛物线。 B 点也是抛物线的最大点（顶点），C 点是抛物线的 x 截距。 如果抛物线方程为 y = - x² + 4 x + C，求 C 使得三角形 ABC 的面积等于 32 个平方单位。
   

   .
   

8. 由直线 y = 0、y = 2x 和 y = - 0.5 x + k 围成的三角形（其中 k 为正）等于 80 个平方单位。 求 k.
   

9. 抛物线在 (-2 , 0) 和 (3 , 0) 处有两个 x 截距，并穿过点 (5 , 10)。 求该抛物线的方程。
   

10. 当多项式 P(x) = x³ + 3 x² - 2 A x + 3（其中 A 是常数）除以 x2< /sup> + 1 我们得到的余数等于 - 5 x。 求常数A。
    

11. 除以 x - 1 时，多项式 P(x) = x⁵ + 2 x³ +A x + B，其中 A 和 B 为常数，余数为 等于 2。当 P(x) 除以 x + 3 时，余数等于 - 314。找出常数 A 和 B。
    

12. 找到由方程定义的 2 个圆的所有交点
    

    (x - 2)² + (y - 2)² = 4
    (x - 1)² + (y - 1)² = 4

    
    

13. 如果 200 与正整数 I 相加，结果是一个平方数。 如果同一个整数I加上276，就得到另一个平方数。 发现 I.
    

14. 等比数列的前三项之和等于 42。同项的平方和等于 1092。求该数列的三项。
    

15. 将一块岩石投入水井，在“t”秒内移动大约 16 t² 英尺 在 t 秒内。 如果 3.5 秒后听到水花声，声速为 1087 英尺/秒，那么井的高度是多少？
    

16. 河对岸的两艘船开始向对方驶去。 他们首先在距岸边 1400 米处相遇。 他们各自继续向对岸走去，立即掉头返回对岸。 当他们第二次相遇时，距离对岸有600米。 我们假设每艘船在整个旅程中都以恒定的速度行驶。 求河流的宽度？
    

17. 找到常数 a 和 b，使得方程由下式给出的所有 4 条线

    

    。
    经过同一个点。
    

18. 求下图所示直角三角形的面积。
    

    

    .
    

19. 泵 A 排空游泳池所需的时间比泵 B 少 2 小时。 泵 A 于上午 8:00 启动，泵 B 于上午 10:00 启动。下午 12:00 启动。 当 B 泵发生故障时，水池的 60% 是空的。 中午12:00之后多少时间 需要泵 A 才能清空池吗？
    

20. A 学校的学生人数等于 B 学校学生人数的一半。A 学校的男生与 B 学校的男生比例为 1:3，A 学校的女生与 B 学校的女生比例为 1:3。 B校是3:5。 B 学校的男生人数比 A 学校的男生人数多 200。求每所学校的男生和女生人数。
    

21. 4个大泵和2个小泵可以在2小时内注满一个游泳池。 两个大泵和六个小泵也可以在2小时内注满同一个游泳池。 8个大泵和8个小泵需要多长时间才能充满游泳池的50%。 （注：所有大泵功率相同，所有小泵功率相同）。

1. 
   设R和r分别为大泵和小泵的工作速率
   4(2R + r) = 1 : 2大1小工作4小时做1份工作
   4(R + 3r) = 1 : 1大3小4小时做1份工作
   T(4R + 4r) = 1 : 如果 4 个大的和 4 个小的要做一项工作，求时间 T。
   求解前两个方程组的 R 和 r，然后代入第三个方程组并求解 T 以找到时间。 T = 5/3 小时 = 1 小时 40 分钟。
   
2. 
   x + y + H = 60：周长，x，y和H是直角三角形的两条边和斜边
   (1/2)xy = 150 ：面积
   x² + y² = H²：毕达哥拉定理。 (Pythagora's theorem.)
   3 个方程，3 个未知数。
   (x + y)² - 2 x y = H² ：完成第三个方程中的平方。
   x + y = 60 - H ：使用第一个方程表示 x + y，并使用第二个方程找到 x y = 300 并代入方程 5。
   (60 - H)² - 600 = H² ：一个方程有一个未知数。
   求解 H，得出 H = 25 厘米。 代入并求解 x 和 y，得到 x = 15 cm 和 y = 20 cm。
   
3. 
   √((-6 + 2)² + (0 + 3)²) = √((a + 3)² + (0 + 2)²) ：圆心到圆上任意点的距离相等。
   (25) = (a + 3)² + 4 ：化简并平方两边
   (a + 3)² = 21 ：将上式重写为
   求解 a
   a = - 3 + √(21)   ,   a = -3 - √(21) ：求解 a 并找到两个解。
   
4. 
   (-2, -1) : 圆心
   m = (2 - -1) / (0 - -2) = 3 / 2 : 通过中心和切点 (0 , 2) 的直线的斜率
   通过中心和切点 (0 , 2) 的线垂直于切线。
   M = -2 / 3 : 切线斜率
   y = -(2/3) x + 2 ：给定斜率和点 (0 , 2) 的切线方程。
   
5. 
   ₃C₂ × ₈C₆ × 1 = 84：使用计数基本定理
   
6. 
   x² - 3|x - 2| - 4x = - 6 ：给定
   令 Y = x - 2 得出 x = Y + 2
   (Y + 2)² - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 : 代入上面的方程
   Y² - 3|Y| + 2 = 0
   Y² = |Y|² : 笔记
   |Y|² - 3|Y| + 2 = 0 : 将方程重写为
   (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0
   |y| = 2 , |Y| = 1 : 求解|Y|
   Y = 2, -2 , 1 , -1 : 求解 Y
   x = 4 , 0 , 3 , 1 : 使用 x = Y + 2 求解 x。
   
7. 
   h = -b / 2a = 2 : 抛物线顶点的 x 坐标
   k = -(2)² + 4(2) + C = 4 + C：顶点的 y 坐标
   x = (2 + √(4 + C)) , x = (2 - √(4 + C))：抛物线的两个 x 截距。
   BA 的长度 = k = 4 + C
   AC 的长度 = 2 + √(4 + C) - 2 = √(4 + C)
   面积 = (1/2)BA × AC = (1/2) (4 + C) × √(4 + C)
   (1/2) (4 + C) × √(4 + C) = 32 ：面积等于 32
   C = 12：解出上面的 C。
   

8. 

   
   A(0,0) , B(2k/5 , 4k/5) , C(2k ,0) : 3条线的3个交点的交点
   (1/2) × (4k/5) × (2k) = 80 : 给定区域
   k = 10 ：求解上面的方程得到 k ，k 正值是给定条件。
   
9. 
   y = a(x + 2)(x - 3) : 因式分解的抛物线方程
   10 = a (5 + 2)(5 - 2) : (5 , 10) 是抛物线图上的一点，因此满足抛物线方程。
   a = 5/7: 解上面的方程得到a。
   
10. 
    将 x³ + 3 x² -2 A x + 3 除以 (x² + 1) 得到余数 = -x(1 + 2A)
    -x(1 + 2A) = 5x ：给出余数
    -(1 + 2A) = 5 : 如果多项式对应的系数面积相等，则多项式相等。
    A = -3 : 求解上述方程得到 A。
    
11. 
    P(1) = 1⁵ + 2(1³) + A × (1) + B = 2 ：余数定理 (Remainder Theorem)
    P(-3) = (-3)⁵ + 2(-3)³ + A × (-3) + B = -314
    A = 4 且 B = -5 ：求解上述方程组。
    
12. 
    x² - 4x + 2 + y² - 4y + 2 = 4 : expand equation of first circle
    x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = 4 : expand equation of second circle
    -2x - 2y - 6 = 0 : subtract the left and right terms of the above equations
    y = 3 - x : solve the above for y.
    2 x² - 6 x + 1 = 0 : substitute y by 3 - x in the first equation, expand and group like terms.
    3/2 + √(7)/2 and 3/2 - √(7)/2 : Solve the above for x.
    3/2 - √(7)/2 and 3/2 + √(7)/2 : Use y = 3 - x to find y.
    
    x² - 4 x + 2 + y² - 4 y + 2 = 4 ：展开第一个圆的方程
    x² - 2 x + 1 + y² - 2 y + 1 = 4 ：展开第二个圆的方程
    -2 x - 2 y - 6 = 0 : 减去上述方程的左右项
    y = 3 - x ：求解上面的 y。
    2 x² - 6 x + 1 = 0 ：将第一个方程中的 y 替换为 3 - x，展开并分组类似项。
    3/2 + √(7)/2 and 3/2 - √(7)/2 : 求解上述 x 。
    3/2 - √(7)/2 and 3/2 + √(7)/2 : 使用 y = 3 - x 求 y。
    
13. 
    I + 200 = A² ：200 加上 I（未知整数）得到一个平方。
    I + 276 = B² ：276 与 I（未知整数）相加得到另一个平方。
    B² = A² + 76 ：从两个方程中消除 I。
    将方格 A² (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) 添加到 76，直到获得另一个方格 B²。
    76 + 18² = 400 = 20²
    A² = 18² 和 B² = 20²
    I = A² - 200 = 124
    
14. 
    sum1 = a + a r + a r² = 42: 给定三项之和，r 是公比。
    sum2 = a² + a²r² + ar²r⁴ = 1092: 给定三项的平方和。
    sum1 = a + ar + ar² = a(r³ - 1) / (r - 1) = 42 : 应用几何级数有限和的公式。
    sum2 = a² + a²r² + ar²r⁴ = a²(r⁶ - 1) / (r² - 1) = 1092: 平方和也是几何级数的和。
    sum2/sum1² = 1092 / 42² = [ a²(r⁶ - 1)/(r² - 1)] / [a²(r³ - 1)² / (r - 1)²]
    (r² - r + 1) / (r² + r + 1) = 1092 / 42²
    r = 4 , r = 1/4 : 求解 r
    a = 2 : 代入 r = 4 并求解 a
    a = 32 : 代入 r = 1/4 并求解 a
    a = 2 , ar = 8 , ar² = 32 : 找到 r = 4 的三项
    a = 32 , ar = 8 , ar² = 2 : 求 r = 1/4 的三项
    
15. 
    T1 + T2 = 3.5 : T1 岩石到达井底的时间和声音到达井顶的 T2 时间。
    16 × T1² = 1087 × T2 : 距离与井的高度相同。
    T2 = 3.5 - T1 : 求解T2
    16 × T1² = 1087 × (3.5 - T1)
    T1 = 3.34 秒数
    高度=16 × (3.34)² = 178 英尺（到最近的单位）
    
16. 
    

    .

    
    S1 × t1 = 1400：1号船的S1速度，t1：1400米的时间 （1号船）
    1400 + S2 × t1 = X : 船 2 的 S2 速度
    S1 × t2 = X + 600 : t2 做 X + 600 的时间（船 2）
    S2 × t2 = 2X - 600
    S1 = 1400/t1
    S2 = (X-1400)/t1
    T = t2/t1：定义
    将S1、S2和t2/t1代入式3和式4中，得到
    1400 × T = X + 600
    X × T - 1400 × T = 2X - 600：2个方程2个未知数
    消除 T 并求解 X，得到 X = 3600 米。
    
17. 
    求解前两个方程组，得到解 (2 , -3)
    上面的解也是最后两个方程的解。
    a(2) + b(-3) = 4
    2a(2) - b(-3) = 2
    a = 1 且 b = -2/3：上述方程组的解。

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