练习题：三维空间中的直线
问题 1：转换向量形式
将向量形式给出的直线方程 $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle $$ 转换为参数式和对称式形式。
解答：
上述向量方程的分量相等即可得出参数式：
$$ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t $$
从上式中解出 $t$：
$$ t = \frac{x + 2}{3}, \quad t = \frac{y - 3}{2}, \quad t = \frac{z}{5} $$
它们都等于 $t$，因此可得对称式方程：
$$ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{5} $$
问题 2：由点和向量求对称式
求过点 $P(1, -2, 3)$ 且平行于向量 $\vec{n} = \langle 2, 0, -3 \rangle$ 的直线的对称式方程。
解答：
向量方程：$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle $$
分量相等：$$ x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t $$
解出 $t$：$$ t = \frac{x - 1}{2}, \quad t = \frac{z - 3}{-3} $$
由于 $y$ 方向分量为 $0$，故 $y$ 恒等于 $-2$。对称式为：
$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 $$
问题 3：过两点的直线
求过两点 $P(1, 2, 3)$ 和 $Q(0, -2, 1)$ 的直线的参数方程。
解答：
方向向量 $\vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle$
向量方程：$$ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle $$
上述向量方程的分量相等可得：
$$ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t $$
问题 4：平行线
求过点 $P(-3, 5, 2)$ 且平行于方程为 $$ x = 2t + 5, \quad y = -4t, \quad z = -t + 3 $$ 的直线的参数方程。
解答：
将给定的直线写成对称式：
$$ \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 3}{-1} $$
方向向量为：$\langle 2, -4, -1 \rangle$
过点 $P(-3, 5, 2)$ 且平行于给定直线的直线具有相同的方向向量。通过 $P$ 的直线的参数方程为：
$$ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t $$
问题 5：垂直于两条直线
求过点 $P(1 , -2 , 3)$ 且垂直于直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的直线方程，其中 $L_1$ 和 $L_2$ 由下式给出：
直线 $L_1$： $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z + 9}{4} $$
直线 $L_2$： $$ x = 3t - 4, \quad y = -t + 6, \quad z = 5t $$
解答：
待求直线 $L$ 垂直于直线 $L_1$ 和 $L_2$，因此垂直于它们的方向向量 $\vec{d}_1$ 和 $\vec{d}_2$。因此，$\vec{d}_1$ 和 $\vec{d}_2$ 的叉积给出了直线 $L$ 的方向向量。
由 $L_1$ 的对称式方程可得方向向量： $$ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle $$
$L_2$ 的方向向量为： $$ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle $$
直线 $L$ 的方向向量可取作它们的叉积：
$$ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle $$
过点 $P(1, -2, 3)$ 且平行于向量 $\vec{d}$ 的直线 $L$ 的方程为：
$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle $$
问题 6：两直线的交点
求三维空间中由下式定义的直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的交点：
直线 $L_1$： $$ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 $$
直线 $L_2$： $$ \frac{x - 7}{4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 2}{-3} $$
解答：
使用不同的参数 $s$ 将直线 $L_2$ 的方程写成参数式：
$$ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 $$
设 $A(x, y, z)$ 为交点。将坐标联立可得方程组：
$$ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) $$
$$ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) $$
$$ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) $$
重写方程 (1) 和 (2)：
$$ 2t - 4s = 8 \quad \text{和} \quad -3t - 2s = -4 $$
解出 $t$ 和 $s$： $$ t = 2 \quad \text{和} \quad s = -1 $$
在方程 (3) 中检验：
左边：$4(2) - 3 = 5$。右边：$-3(-1) + 2 = 5$。两者相符，因此它们相交。
将 $t=2$ 代回 $L_1$ 方程求出交点：
$$ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 $$
问题 7：两直线之间的夹角
求具有对称式方程的直线 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的夹角：
$$ L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{-4} $$
$$ L_2: \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2} $$
解答：
设 $\mathbf{d}_1$ 和 $\mathbf{d}_2$ 分别为直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方向向量。
$$ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \quad \text{和} \quad \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle $$
直线 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的夹角 $\theta$ 等于其方向向量之间的夹角，计算公式为：
$$ \theta = \arccos\left( \frac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) $$
计算点积：
$$ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 $$
由于点积为 $0$ 且模不为零：
$$ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $$
问题 8：重合直线
证明下面给出的对称式方程表示同一条直线。
直线 $L_1$： $$ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{4} $$
直线 $L_2$： $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{8} $$
解答：
我们可以证明这两条直线有两点相同。将这两个方程改写为参数形式：
$$ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t $$
$$ L_2: \quad x = 1 - 2s, \quad y = 2 + 4s, \quad z = 3 + 8s $$
$L_1$ 上的点 $P_1$：$(2, 0, -1)$
$L_2$ 上的点 $P_2$：$(1, 2, 3)$
利用 $L_2$ 的对称式方程检查 $P_1(2, 0, -1)$ 是否在 $L_2$ 上：
$$ \frac{2 - 1}{-2} = \frac{0 - 2}{4} = \frac{-1 - 3}{8} = -\frac{1}{2} $$
所有项都相等，因此 $P_1$ 在 $L_2$ 上。
利用 $L_1$ 的对称式方程检查 $P_2(1, 2, 3)$ 是否在 $L_1$ 上：
$$ \frac{1 - 2}{-1} = \frac{2}{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$
所有项都相等，因此 $P_2$ 在 $L_1$ 上。
由于它们共享至少两个不同的点，因此这两个方程代表同一条直线。
问题 9：点到直线的距离
求点 $P_0(1, -2, 3)$ 到由向量方程给出的直线的距离： $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 3, 0 \rangle + t \langle -2, 3, 1 \rangle $$
解答：
根据方程，点 $P(2, 3, 0)$ 在直线上。方向向量为 $\vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle$。
点 $P_0$ 到直线的距离 $D$ 的计算公式为：
$$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$
设 $\vec{P_0P} = \langle 2-1, 3-(-2), 0-3 \rangle = \langle 1, 5, -3 \rangle$。
则 $\vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 1, 5, -3 \rangle \times \langle -2, 3, 1 \rangle = \langle 14, 5, 13 \rangle$。
$$ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{196 + 25 + 169} = \sqrt{390} $$
$$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$
$$ D = \frac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} $$
问题 10：两异面直线之间的最短距离
求由方程定义的两条直线 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的最短距离：
$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle -1, 4, -4 \rangle $$
$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$
解答：
点 $P_1(2, 0, -1)$ 和 $P_2(1, -2, 3)$ 分别是直线 $L_1$ 和 $L_2$ 上的点。其方向向量分别为：
$$ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{和} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle $$
两条直线之间的最短距离 $D$ 的计算公式为：
$$ D = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} $$
其中 $\mathbf{n}$ 是 $\mathbf{d}_1$ 和 $\mathbf{d}_2$ 的叉积。
$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle $$
$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle 1-2, -2-0, 3-(-1) \rangle = \langle -1, -2, 4 \rangle $$
$$ D = \frac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \frac{| -36 + 72 |}{18\sqrt{2}} = \frac{36}{18\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$
问题 11：平行线的条件
求 $b$ 的值，使得下面方程给出的直线 $L_1$ 和 $L_2$ 平行。
$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle 10, b, 4 \rangle $$
$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$
解答：
方向向量必须成比例： $$ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle $$
由第一个分量： $$ 10 = -5k \implies k = -2 $$
由第三个分量（验证）： $$ 4 = k(-2) \implies k = -2 $$
由第二个分量： $$ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 $$
问题 12：相交且垂直的直线
求过点 $P(1, -2, 3)$ 且与由参数方程 $$ x = -3 + t, \quad y = 3 + t, \quad z = -1 + t $$ 给出的直线相交且垂直的直线的方程。同时求两条直线的交点。
解答：
待求直线的方程： $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle a, b, c \rangle $$
垂直于： $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + t \langle 1, 1, 1 \rangle $$
相交要求在给定直线上找到一个特定点 $M(x_0, y_0, z_0)$，使得 $\vec{PM}$ 垂直于给定直线的方向向量 $\langle 1,1,1 \rangle$。
$\vec{PM} = \langle -3+t - 1, 3+t - (-2), -1+t - 3 \rangle = \langle t-4, t+5, t-4 \rangle$。
由于 $\vec{PM}$ 垂直于 $\langle 1,1,1 \rangle$，它们的外积（点积）为零：
$$ (t-4)(1) + (t+5)(1) + (t-4)(1) = 0 $$
$$ 3t - 3 = 0 \implies t = 1 $$
交点 $M$（当 $t=1$ 时）为： $$ M(-3+1, 3+1, -1+1) = (-2, 4, 0) $$
方向向量 $\vec{PM}$ 为 $\langle 1-4, 1+5, 1-4 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle$。可缩放为 $\langle 1, -2, 1 \rangle$。
新直线的方程： $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle 1, -2, 1 \rangle $$
问题 13：验证点是否在直线上
点 $A(3, 4, 4)$、$B(0, 5, 3)$ 和 $C(6, 3, 7)$ 中哪一个在由参数方程 $$ x = 3t + 3, \quad y = -t + 4, \quad z = 2t + 5 $$ 定义的直线上？
解答：
写出直线的对称式方程： $$ \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 5}{2} $$
点 A $(3, 4, 4)$： $$ \frac{3 - 3}{3} = 0, \quad \frac{4 - 4}{-1} = 0, \quad \frac{4 - 5}{2} = -\frac{1}{2} $$
最后一项与前两项不相等，因此 $A$ 不在直线上。
点 B $(0, 5, 3)$： $$ \frac{0 - 3}{3} = -1, \quad \frac{5 - 4}{-1} = -1, \quad \frac{3 - 5}{2} = -1 $$
所有项均相等，因此 $B$ 在直线上。
点 C $(6, 3, 7)$： $$ \frac{6 - 3}{3} = 1, \quad \frac{3 - 4}{-1} = 1, \quad \frac{7 - 5}{2} = 1 $$
所有项均相等，因此 $C$ 在直线上。