三维空间直线问题详解

已知： \[ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle \] 上述向量方程的向量分量相等可得： \[ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t \] 从上述每个方程解出 \( t \)： \[ t = \dfrac{x + 2}{3}, \quad t = \dfrac{y - 3}{2}, \quad t = \dfrac{z}{5} \] 所有表达式都等于 \( t \)，因此得到对称形式的方程： \[ \dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z}{5} \]

\[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle \] \[ \text{向量分量相等：} \quad x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t \] \[ \text{解出 } t： \quad t = \dfrac{x - 1}{2}, \quad t = \dfrac{z - 3}{-3} \] \[ \text{对称形式：} \quad \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 \]

方向向量 \( \vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle \) \[ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle \] 上述向量方程的向量分量相等可得： \[ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t \]

将已知直线 \( x = 2t + 5 \), \( y = -4t \) 和 \( z = -t + 3 \) 写成对称形式： \[ \dfrac{x - 5}{2} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z - 3}{-1} \] 方向向量为：\( \langle 2, -4, -1 \rangle \) 通过点 \( P(-3, 5, 2) \) 的直线平行于已知直线，因此它们具有相同的方向向量。故通过 \( P \) 的直线的向量方程为： \[ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t \]

直线 \( L \)（待求）垂直于直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \)，因此垂直于它们的方向向量 \( \vec{d}_1 \) 和 \( \vec{d}_2 \)。因此，\( \vec{d}_1 \) 和 \( \vec{d}_2 \) 的叉积给出直线 \( L \) 的方向向量。

从 \( L_1 \) 的对称方程可得方向向量： \[ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle \]

将 \( L_2 \) 的方程写成对称形式： \[ \dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{y - 6}{-1} = \dfrac{z}{5} \]

\( L_2 \) 的方向向量为： \[ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle \]

直线 \( L \) 的方向向量可取为叉积： \[ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle \]

通过点 \( P(1, -2, 3) \) 且平行于向量 \( \vec{d} \) 的直线 \( L \) 的方程为： \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle \]

直线 \( L_1 \) 由参数方程给出：
\[ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 \]

将直线 \( L_2 \) 的方程用参数形式表示，参数为 \( s \)：
\[ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 \]

设 \( A(x, y, z) \) 为两条直线的交点。要成为交点，\( A \) 的坐标必须同时满足两条直线的方程。因此：

令 \( x \) 坐标相等得：
\[ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) \]

令 \( y \) 坐标相等得：
\[ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) \]

令 \( z \) 坐标相等得：
\[ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) \]

将方程 (1) 和 (2) 重写为关于 \( t \) 和 \( s \) 的方程：
\[ 2t - 4s = 8 \quad \text{和} \quad -3t - 2s = -4 \]

解出 \( t \) 和 \( s \)：
\[ t = 2 \quad \text{和} \quad s = -1 \]

要存在交点，\( t = 2 \) 和 \( s = -1 \) 必须也满足方程 (3)：
\[ 4t - 3 = -3s + 2 \]

检验：
\[ \text{方程 (3) 左边：} \quad 4(2) - 3 = 5 \] \[ \text{方程 (3) 右边：} \quad -3(-1) + 2 = 5 \]
因此，\( t = 2 \) 和 \( s = -1 \) 是所有三个方程的解。

将参数值代入 \( L_1 \) 或 \( L_2 \) 的参数方程即可得到交点坐标。

使用 \( L_1 \)：将 \( t = 2 \) 代入方程： \[ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 \] 得到交点坐标： \[ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 \]

使用 \( L_2 \)（验证）：将 \( s = -1 \) 代入
\[ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 \] 得到交点坐标： \[ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 \]

设 \( \mathbf{d}_1 \) 和 \( \mathbf{d}_2 \) 分别为直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 的方向向量。

对于 \( L_1 \)： \[ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \]

对于 \( L_2 \)： \[ \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle \]

直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 之间的夹角 \( \theta \) 等于它们的方向向量 \( \mathbf{d}_1 \) 和 \( \mathbf{d}_2 \) 之间的夹角，由下式给出： \[ \theta = \arccos\left( \dfrac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) \] 其中 \( \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 \) 是向量 \( \mathbf{d}_1 \) 和 \( \mathbf{d}_2 \) 的点积。

\( |\mathbf{d}_1| \) 是向量 \( \mathbf{d}_1 \) 的模，\( |\mathbf{d}_2| \) 是向量 \( \mathbf{d}_2 \) 的模。

\[ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 0 \]

由于 \( |\mathbf{d}_1| \) 和 \( |\mathbf{d}_2| \) 均不为零， \[ \theta = \arccos(0) = 90^\circ \]

如果两条直线相交，它们形成 \( 90^\circ \) 的直角。如果它们不相交，具有这些方向的异面直线或平行直线也形成 \( 90^\circ \) 的角。

解决此问题的一种方法是证明两条直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 有两个公共点。将两个方程改写为参数形式：

\[ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t \]

\[ L_2: \quad x = 1 - 2t, \quad y = 2 + 4t, \quad z = 3 + 8t \]

\( L_1 \) 上的点 \( P_1 \)：\( (2, 0, -1) \)

\( L_2 \) 上的点 \( P_2 \)：\( (1, 2, 3) \)

使用 \( L_2 \) 的对称方程检验 \( P_1(2, 0, -1) \) 是否在 \( L_2 \) 上： \[ \dfrac{2 - 1}{-2} = \dfrac{0 - 2}{4} = \dfrac{-1 - 3}{8} = -\dfrac{1}{2} \]

所有项相等，因此 \( P_1 \) 在 \( L_2 \) 上。

使用 \( L_1 \) 的对称方程检验 \( P_2(1, 2, 3) \) 是否在 \( L_1 \) 上： \[ \dfrac{1 - 2}{-1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{3 + 1}{4} = 1 \]

所有项相等，因此 \( P_2 \) 在 \( L_1 \) 上。

\( P_1 \) 在 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 上，\( P_2 \) 也在 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 上。因此两个方程表示同一条直线。

根据直线方程，点 \( P(2, 3, 0) \) 在直线上。方向向量为 \( \vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle \)。

直线到点 \( P_0(1, -2, 3) \) 的距离 \( D \) 由 点到直线的距离公式给出： \[ D = \dfrac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} \]

设 \( \vec{P_0P} = \langle 1, 5, -3 \rangle \)，\( \vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle \)。

则 \( \vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 14, 5, 13 \rangle \)。

\[ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{390} \]

\[ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \]

\[ D = \dfrac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} \]

点 \( P_1(2, 0, -1) \) 和 \( P_2(1, -2, 3) \) 分别在直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 上。方向向量分别为 \[ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{和} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle \]

两条直线之间的最短距离 \( D \) 由以下公式给出： \[ D = \dfrac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} \]

其中 \(\overrightarrow{P_1P_2}\) 是由点 \( P_1 \) 和 \( P_2 \) 定义的向量，\(\mathbf{n}\) 是 \(\mathbf{d}_1\) 和 \(\mathbf{d}_2\) 的叉积。

\[ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle \]

\[ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle -1, -2, 4 \rangle \]

\[ D = \dfrac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \sqrt{2} \]

方向向量必须成比例：
\[ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle \]

由第一个分量：
\[ 10 = -5k, \quad k = -2 \]

由第三个分量： \[ 4 = k(-2), \quad k = -2 \]

由第二个分量：
\[ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 \]

a) 待求直线的方程： \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle a, b, c \rangle \]

垂直于： \[ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + m \langle 1, 1, 1 \rangle \]

应用条件求 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)。

相交给出 3 个方程：
\[ 1 + a t = -3 + m \]
\[ -2 + b t = 3 + m \]
\[ 3 + c t = -1 + m \]

将三个方程的两边相加得：
\[ 1 - 2 + 3 + t(a + b + c) = -1 + 3 m \]

方向向量 \(\langle a, b, c \rangle\) 和 \(\langle 1, 1, 1 \rangle\) 正交，因此它们的点积为零。
\[ a + b + c = 0 \]

上述方程 \[ 1 - 2 + 3 + t(a + b + c) = -1 + 3 m \] 变为 \[ 3 m = 3 \]

解出 \(m\)：
\[ m = 1 \]

将 \(m = 1\) 代入三个方程中的第一个： \[ 1 + a t = -3 + m \] 得 \[ a t = -3 \]

令 \(a = 1\) 得 \(t = -3\)

用方程求 \(b\)： \[ -2 + b t = 3 + m \implies -2 + b(-3) = 3 + 1 \] \[ b = \dfrac{-6}{3} = -2 \]

用方程求 \(c\)： \[ 3 + c t = -1 + m \implies 3 + c(-3) = -1 + 1 \] \[ c = 1 \]

通过点 \((1, -2, 3)\) 的直线方程： \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 1, -2, 1 \rangle \]

b) 交点
将 \(t = -3\) 代入求得的直线方程： \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 1, -2, 1 \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle - 3 \langle 1, -2, 1 \rangle = \langle -2, 4, 0 \rangle \]

为验证，将 \(m = 1\) 代入已知直线方程：
\[ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + m \langle 1, 1, 1 \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + 1 \langle 1, 1, 1 \rangle = \langle -2, 4, 0 \rangle \]

交点由下式给出： \[ \langle -2, 4, 0 \rangle \]

将直线写成对称形式： \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{z - 5}{2} \]

点 A：将对称方程中的 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 替换为点 \(A(3, 4, 4)\) 的坐标。 \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{3 - 3}{3} = 0 \] \[ \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{4 - 4}{-1} = 0 \] \[ \dfrac{z - 5}{2} = \dfrac{4 - 5}{2} = -\dfrac{1}{2} \] 最后一个表达式不等于前两个，因此 \(A\) 不在直线上。

点 B：将对称方程中的 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 替换为点 \(B(0, 5, 3)\) 的坐标。 \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{0 - 3}{3} = -1 \] \[ \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{5 - 4}{-1} = -1 \] \[ \dfrac{z - 5}{2} = \dfrac{3 - 5}{2} = -1 \] 所有表达式相等，因此 \(B\) 在直线上。

点 C：将对称方程中的 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 替换为点 \(C(6, 3, 7)\) 的坐标。 \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{6 - 3}{3} = 1 \] \[ \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{3 - 4}{-1} = 1 \] \[ \dfrac{z - 5}{2} = \dfrac{7 - 5}{2} = 1 \] 所有表达式相等，因此 \(C\) 在直线上。

结论：点 B 和 C 在直线上。