三维向量点积与叉积习题详解

叉积 \( \vec{u} \times \vec{v} \) 是一个同时垂直于向量 \( \vec{u} \) 和 \( \vec{v} \) 的向量。 \[ \text{因此，两个垂直向量 } \vec{u} \text{ 和 } \vec{u} \times \vec{v} \text{ 的点积等于 } 0。 \] \[ \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \]

如果两个向量 \( \vec{u} \) 和 \( \vec{v} \) 相互垂直，则它们的点积等于 0。因此： \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \langle -2, -k, 1 \rangle \cdot \langle 8, -2, -3 \rangle = 0 \] 展开点积得到方程： \[ (-2)(8) + (-k)(-2) + (1)(-3) = 0 \] 简化并求解 \( k \)： \[ -16 + 2k - 3 = 0 \] \[ k = \dfrac{19}{2} \]

任意两个向量都在同一平面上（即它们是共面的）。如果第三个向量也在这个平面上，那么由这三个向量构成的平行六面体的体积为零。这个体积可以通过标量三重积计算： \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0 \]

表达式 \(\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) 称为标量三重积，可以通过 3×3 矩阵的行列式计算： \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det \begin{bmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \end{bmatrix} \] 其中 \(u_x, u_y, u_z, v_x, \ldots\) 表示向量 \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) 的分量。

将具体的向量分量代入行列式： \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det \begin{bmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & k \\ -1 & 3 & -5 \end{bmatrix} \] \[ = -3(-5 - 3k) - 2(-10 + k) - 2(6 + 1) = 21 + 7k \]

要使三个向量共面，标量三重积必须为零： \[ 21 + 7k = 0 \]

求解 \(k\)： \[ k = -3 \]

下图展示了位于同一平面上的三个向量。

使用两个向量 \(\vec{u}\) 和 \(\vec{v}\) 的点积定义及其用向量分量的表达式。

定义： \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos \theta \] 其中 \(\theta\) 是两个向量之间的夹角。 点积也可以用分量表示为： \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \] 其中 \(u_x, v_x, u_y, \ldots\) 是向量 \(\vec{u}\) 和 \(\vec{v}\) 的分量。

计算模长 \(\|\vec{u}\|\) 和 \(\|\vec{v}\|\)： \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5} \] \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{8^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{77} \]

使用分量计算点积： \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(8) + (0)(-2) + (1)(-3) = 13 \]

使用定义求角 \(\theta\)： \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos \theta \] \[ \cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\|} = \dfrac{13}{\sqrt{5} \sqrt{77}} \] \[ \theta = \arccos\left( \dfrac{13}{\sqrt{5} \sqrt{77}} \right) = 48.5^\circ \]

\(\vec{u}\) 在 \(\vec{v}\) 上的投影向量由下式给出（公式参见三维向量的点积与叉积）： \[ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \] \[ = \dfrac{ \langle -1,-1,1 \rangle \cdot \langle 2,1,1 \rangle }{2^2 + 1^2 + 1^2} \langle 2,1,1 \rangle = \dfrac{(-1)(2) + (-1)(1) + (1)(1)}{6} \langle 2,1,1 \rangle \] \[ = -\dfrac{2}{6} \langle 2,1,1 \rangle = \langle -2/3, -1/3, -1/3 \rangle \]

向量 \(\vec{u}\)、\(\vec{v}\) 和 \(\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\) 如下图所示。

要使三角形 ABC 在 A 点处为直角，向量 \(\vec{AB}\) 和 \(\vec{AC}\) 必须垂直，因此它们的点积等于 0。我们首先计算向量的分量。 \[ \vec{AB} = \langle -2, 4, 3 - k \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 2, 1, 6 - k \rangle \] \(\vec{AB}\) 和 \(\vec{AC}\) 的点积必须为零。 \[ \langle -2, 4, 3 - k \rangle \cdot \langle 2, 1, 6 - k \rangle = 0 \] \[ -4 + 4 + (3 - k)(6 - k) = 0 \] 简化并求解 \(k\)： \[ \text{两个解： } k = 3 \text{ 和 } k = 6 \]

设 \( a, b, c \) 为向量 \( \vec{u} \) 的分量。因此 \[ \vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ a & b & c \end{vmatrix} \] \[ = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ b & c \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ a & c \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ a & b \end{vmatrix} \vec{k} = (-c + 2b)\vec{i} + (-2a - 3c)\vec{j} + (3b + a)\vec{k} \]

令 \( \vec{v} \times \vec{u} \) 的分量与 \( \langle 4, 2, 5 \rangle \) 相等。因此 \[ -c + 2b = 4 \] \[ -2a - 3c = 2 \] \[ 3b + a = 5 \]

注意上述方程组中的方程不是独立的（将第一个方程 \( -c + 2b = 4 \) 乘以 -3 加到第二个方程 \( -2a - 3c = 2 \) 上，会得到与第三个方程 \( 3b + a = 5 \) 等价的方程），因此它有许多解。令 \( a = t \) 并使用第二个方程求 \( c \)： \[ -2t - 3c = 2 \] \[ c = \dfrac{2 + 2t}{-3} \]

再次令 \( a = t \) 并使用第三个方程求 \( b \)： \[ 3b + t = 5 \] \[ b = \dfrac{5 - t}{3} \]

使用条件 \( ||\vec{u}|| = 3 \) 写出方程： \[ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 3 \]

将上述方程两边平方，并用 \( t \) 的表达式替换 \( a, b, c \)： \[ t^2 + \left( \dfrac{5 - t}{3} \right)^2 + \left( \dfrac{2 + 2t}{-3} \right)^2 = 9 \]

将方程的所有项乘以 9 并简化： \[ 9t^2 + (5 - t)^2 + (2 + 2t)^2 = 81 \]

展开上述方程得到二次方程并求解： \[ t = 2 \quad \text{和} \quad t = -\dfrac{13}{7} \]

因此向量 \( \vec{u} \) 有两个解： 当 \( t = 2 \) 时： \[ \vec{u}_1 = \langle t, \dfrac{5 - t}{3}, \dfrac{2 + 2t}{-3} \rangle = \langle 2, 1, -2 \rangle \]

当 \( t = -\dfrac{13}{7} \) 时： \[ \vec{u}_2 = \langle t, \dfrac{5 - t}{3}, \dfrac{2 + 2t}{-3} \rangle = \langle -\dfrac{13}{7}, \dfrac{16}{7}, \dfrac{4}{7} \rangle \]

a) 设 \( a, b \) 和 \( c \) 为点 \( D \) 的坐标，并确定向量 \( \vec{AB} \) 和 \( \vec{DC} \) 的分量。 \[ \vec{AB} = \langle 2 - 4 ,\ 2 - 6 ,\ 4 - 2 \rangle = \langle -2, -4, 2 \rangle \] \[ \vec{DC} = \langle -2 - a ,\ -3 - b ,\ 1 - c \rangle \]

要使点 \( A, B, C \) 和 \( D \) 构成平行四边形，向量 \( \vec{AB} \) 和 \( \vec{DC} \) 必须相等。因此，我们有以下向量方程： \[ \langle -2, -4, 2 \rangle = \langle -2 - a, -3 - b, 1 - c \rangle \]

这产生以下三个代数方程： \[ -2 - a = -2 \] \[ -3 - b = -4 \] \[ 1 - c = 2 \]

解这些方程得到点 \( D \) 的坐标： \[ D(0, 1, -1) \] b) 平行四边形的面积 \( A \) 由下式给出： \[ A = \left\| \vec{AB} \times \vec{BC} \right\| \]

首先计算叉积： \[ \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -4 & 2 \\ -4 & -5 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -4 & -5 \end{vmatrix} \vec{k} \] \[ = 22\vec{i} + 14\vec{j} -6\vec{k} \]

计算该叉积的模长得到面积： \[ A = \left\| \vec{AB} \times \vec{BC} \right\| = \sqrt{22^2 + 14^2 + (-6)^2} = 2\sqrt{179} \]

我们首先求向量 \(\vec{AG}\) 和 \(\vec{BH}\) 的分量。 \[ \vec{AG} = \langle 2, 2, 2 \rangle \] \[ \vec{BH} = \langle -2, 2, 2 \rangle \]

使用点积，设 \(\theta\) 为向量 \(\vec{AG}\) 和 \(\vec{BH}\) 之间的夹角（参见上面的习题五）： \[ \cos \theta = \dfrac{\vec{AG} \cdot \vec{BH}}{||\vec{AG}|| \cdot || \vec{BH} ||} = \dfrac{2\cdot (-2)+2\cdot2+2\cdot2}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}\sqrt{(-2)^2+2^2+2^2}} = \dfrac{1}{3} \] \[ \theta = \arccos \left( \dfrac{1}{3} \right) \approx 70.5^{\circ} \]

为了求垂直于包含点 \( A(1,2,-3) \), \( B(0,-2,1) \) 和 \( C(-2,0,1) \) 的平面的向量，我们首先计算平面内的两个向量： \[ \vec{AB} = \langle 0 - 1,\ -2 - 2,\ 1 - (-3) \rangle = \langle -1, -4, 4 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle -2 - 1,\ 0 - 2,\ 1 - (-3) \rangle = \langle -3, -2, 4 \rangle \] 接下来计算叉积 \( \vec{AB} \times \vec{AC} \) 以找到一个同时垂直于这两个向量的向量（从而垂直于该平面）： \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \left( (-4)(4) - (4)(-2) \right)\vec{i} - \left( (-1)(4) - (4)(-3) \right)\vec{j} + \left( (-1)(-2) - (-4)(-3) \right)\vec{k} \] \[ = (-16 + 8)\vec{i} - (-4 + 12)\vec{j} + (2 - 12)\vec{k} = \langle -8, -8, -10 \rangle \] 因此，垂直于该平面的一个向量是： \[ {\langle -8, -8, -10 \rangle} \]

三角形的面积 \( A \) 由任意两条边构成的向量的叉积模长的一半给出。因此
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 0 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}0 & 3\\ -1 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}0 & -2\\ -1& 2\end{vmatrix}} \vec{k} = -14\vec{i} - 3\vec{j} -2\vec{k} \)
\( A = (1/2) || \vec{AB} \times \vec{AC} || = \frac{1}{2} \sqrt{(-14)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = (1/2) \sqrt{209} \) 平方单位

平行六面体的体积 \( V \) 由下式给出： \[ V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = |\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \] 首先求向量 \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) 和 \( \vec{w} \) 的分量。 \[ \vec{u} = \langle -3, 0, 7 \rangle \] \[ \vec{v} = \langle -8, 0, 0 \rangle \] \[ \vec{w} = \langle 0, -9, 0 \rangle \] \[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \langle -3 , 0 , 7 \rangle \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -8 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \end{vmatrix} \] \[ = \langle -3 , 0 , 7 \rangle \cdot \left\{ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -9 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -9 \end{vmatrix} \vec{k} \right\} \] \[ = \langle -3 , 0 , 7 \rangle \cdot \langle 0 , 0 , 72 \rangle = 0 + 0 + 7 \cdot 72 = 504 \] 体积为： \[ V = |504| = 504 \quad \text{立方单位} \]