简化反三角函数

简化下列表达式：

1. $\sin(\arcsin(x))$ 与 $\arcsin(\sin(x))$
2. $\cos(\arccos(x))$ 与 $\arccos(\cos(x))$
3. $\tan(\arctan(x))$ 与 $\arctan(\tan(x))$

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解答：

1. 正弦函数与反正弦函数互为反函数。因此，可以利用反函数的性质写出：

   $$ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{对于 } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{对于 } x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   注意：如果 $\arcsin(\sin(x))$ 中的 $x$ 不在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 内，请在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 内找到满足 $\sin(x) = \sin(\theta)$ 的 $\theta$，然后简化：$\arcsin(\sin(x)) = \theta$

2. 余弦函数与反余弦函数互为反函数：

   $$ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{对于 } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{对于 } x \in [0, \pi] $$

   注意：如果 $\arccos(\cos(x))$ 中的 $x$ 不在区间 $[0, \pi]$ 内，请在区间 $[0, \pi]$ 内找到满足 $\cos(x) = \cos(\theta)$ 的 $\theta$，然后简化 $\arccos(\cos(x)) = \theta$。

3. 正切函数与反正切函数互为反函数：

   $$ \tan(\arctan(x)) = x $$

   $$ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{对于 } x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) $$

   注意：如果 $\arctan(\tan(x))$ 中的 $x$ 不在区间 $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ 内，请在区间 $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ 内找到满足 $\tan(x) = \tan(\theta)$ 的 $\theta$，然后简化 $\arctan(\tan(x)) = \theta$

将下列各项表示为代数表达式：

$$ \sin(\arccos(x)) \quad \text{与} \quad \tan(\arccos(x)) $$

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解答：

令 $A = \arccos(x)$。因此，

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

利用一个锐角为 $A$ 的直角三角形，使得 $\cos(A) = x$（或 $\dfrac{x}{1}$）。求出另一条直角边，并计算 $\sin(A)$ 和 $\tan(A)$。

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{对于 } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{对于 } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $$

将下列各项表示为代数表达式：

$$ \cos(\arcsin(x)) \quad \text{与} \quad \tan(\arcsin(x)) $$

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解答：

令 $A = \arcsin(x)$。因此，

$$ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x $$

利用一个锐角为 $A$ 的直角三角形，使得 $\sin(A) = x$（或 $\dfrac{x}{1}$），求出另一条直角边，并计算 $\cos(A)$ 和 $\tan(A)$。

$$ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{对于 } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{对于 } x \in (-1, 1) $$

将下列各项表示为代数表达式：

$$ \sin(\arctan(x)) \quad \text{与} \quad \cos(\arctan(x)) $$

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解答：

令 $A = \arctan(x)$。因此，

$$ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x $$

利用一个锐角为 $A$ 的直角三角形，使得 $\tan(A) = x$（或 $\dfrac{x}{1}$）。求出斜边，并计算 $\sin(A)$ 和 $\cos(A)$。

$$ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$

$$ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

简化下列表达式：

1. $\arccos(0)$, $\arcsin(-1)$, $\arctan(-1)$
2. $\sin(\arcsin(-1/2))$, $\arccos(\cos(\pi/2))$, $\arccos(\cos(-\pi/2))$
3. $\cos(\arcsin(-1/2))$, $\arcsin(\sin(\pi/3))$, $\arcsin(\tan(3\pi/4))$
4. $\arccos(\tan(7\pi/4))$, $\arcsin(\sin(13\pi/3))$, $\arctan(\tan(-17\pi/4))$, $\arcsin(\sin(9\pi/5))$

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解答：

1. 利用反函数的直接定义：

   $$ \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{因为} \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{且} \quad \dfrac{\pi}{2} \in [0, \pi] $$

   $$ \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} \quad \text{因为} \quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{且} \quad -\dfrac{\pi}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   $$ \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4} \quad \text{因为} \quad \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{且} \quad -\dfrac{\pi}{4} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) $$

2. 先简化内层函数，然后利用定义简化外层函数：

   $$ \sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

3. 先简化内层函数，然后简化外层函数：

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$

   $$ \arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} $$

   $$ \arcsin\left(\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) = \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} $$

4. 在应用反函数之前，调整角使其落入正确的区间：

   $$ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi $$

   $$ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 $$

   $$ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 $$

   $$ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 $$

设 $A = \arcsin(2/3)$ 且 $B = \arccos(-1/2)$。求 $\sin(A + B)$ 的精确值。

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解答：

使用两角和的正弦恒等式：

$$ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) $$

代入 $A$ 和 $B$ 展开给定表达式：

$$ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) $$

利用反函数恒等式简化每一项：

• $\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}$
• $\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}$
• $\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

将这些值代回展开后的方程并计算：

$$ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} $$

将 $Y = \sin(2 \arcsin(x))$ 表示为代数表达式。

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解答：

令 $A = \arcsin(x)$。因此 $Y$ 可以写为：

$$ Y = \sin(2A) $$

利用二倍角恒等式 $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$ 重写 $Y$：

$$ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) $$

应用标准恒等式 $\sin(\arcsin(x)) = x$ 和 $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ 得到最终表达式：

$$ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} $$

求 $Y = \sin(2 \arctan(3/4))$ 的精确值。

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解答：

令 $A = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)$。因此 $Y$ 可以写为：

$$ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) $$

利用反正切的标准代数转换属性计算内层函数：

$$ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{3}{5} $$

$$ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{4}{5} $$

将这些代入二倍角公式：

$$ Y = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25} $$

（或使用 $\sin(2A) = \dfrac{2\tan A}{1+\tan^2 A} = \dfrac{2(3/4)}{1+(3/4)^2} = \dfrac{3/2}{25/16} = \dfrac{24}{25}$）