简化反三角函数

学习如何在12年级数学中简化包含反三角函数的表达式。本页提供包含分步解答和清晰解析的练习题，助您掌握这一重要知识点。

习题与解答

习题 1

简化下列表达式：

)\( \sin(\arcsin(x)) \quad \text{和} \quad \arcsin(\sin(x)) \)
)\( \cos(\arccos(x)) \quad \text{和} \quad \arccos(\cos(x)) \)
)\( \tan(\arctan(x)) \quad \text{和} \quad \arctan(\tan(x)) \)

解答

)
正弦函数与反正弦函数互为反函数，因此可利用反函数性质得到： \[ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{其中 } -1 \leq x \leq 1 \] \[ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{其中 } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \]

注意：

若 \( \arcsin(\sin(x)) \) 中的 \( x \) 不在区间 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 内，需在区间 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 内找到满足 \[ \sin(x) = \sin(\theta) \] 的 \( \theta \)，进而简化为： \[ \arcsin(\sin(x)) = \theta \]
)
余弦函数与反余弦函数互为反函数。因此可利用反函数性质得到： \[ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{其中 } -1 \leq x \leq 1 \] \[ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{其中 } x \in [0, \pi] \]
注意：

若 \( \arccos(\cos(x)) \) 中的 \( x \) 不在区间 \([0, \pi]\) 内，需在区间 \([0, \pi] \) 内找到满足 \( \cos(x) = \cos(\theta) \) 的 \( \theta \)，进而简化为 \( \arccos(\cos(x)) = \theta \)。
)
正切函数与反正切函数互为反函数，因此可利用反函数性质得到：
\[ \tan(\arctan(x)) = x \] \[ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{其中 } x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \]
注意：

若 \( \arctan(\tan(x)) \) 中的 \( x \) 不在区间 \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) 内，需在区间 \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) 内找到满足 \( \tan(x) = \tan(\theta) \) 的 \( \theta \)，进而简化为 \( \arctan(\tan(x)) = \theta \)

习题 2

将下列表达式化为代数式： \[ \sin(\arccos(x)) \] 和 \[ \tan(\arccos(x)) \]

解答

令 \( A = \arccos(x) \)，则有： \[ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x \]

构造角 \( A \) 的直角三角形，其中 \( \cos(A) = x \)（即 \( \frac{x}{1} \)）。计算另一条直角边后求 \( \sin(A) \) 与 \( \tan(A) \)。

反余弦函数对应的直角三角形

\[ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{其中 } x \in [-1, 1] \] \[ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{其中 } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] \]

习题 3

将下列表达式化为代数式： \[ \cos(\arcsin(x)) \] 和 \[ \tan(\arcsin(x)) \]

解答

令 \( A = \arcsin(x) \)，则有： \[ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x \]

构造角 \( A \) 的直角三角形，其中 \( \sin(A) = x \)（即 \( \frac{x}{1} \)），计算另一条直角边后求 \( \cos(A) \) 与 \( \tan(A) \)。正弦函数对应的直角三角形 \[ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{其中 } x \in [-1, 1] \] \[ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{其中 } x \in (-1, 1) \]

习题 4

将下列表达式化为代数式： \[ \sin(\arctan(x)) \] 和 \[ \cos(\arctan(x)) \]

解答

令 \( A = \arctan(x) \)，则有： \[ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x \]

构造角 \( A \) 的直角三角形，其中 \( \tan(A) = x \)（即 \( \frac{x}{1} \)）。计算斜边后求 \( \sin(A) \) 与 \( \cos(A) \)。正切函数对应的直角三角形 \[ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \] \[ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \]

习题 5

简化下列表达式：

) arccos(0) , arcsin(-1) , arctan(-1)
) sin(arcsin(-1/2)) , arccos(cos(π/2)) , arccos(cos(-π/2))
) cos(arcsin(-1/2)) , arcsin(sin(π/3)) , arcsin(tan(3π/4))
) arccos(tan(7π/4)) , arcsin(sin(13π/3)) , arctan(tan(-17π/4)) , arcsin(sin(9π/5))

解答

)
根据定义求解： \[ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \quad \text{因为} \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{且} \quad \frac{\pi}{2} \in [0, \pi] \] \[ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \quad \text{因为} \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{且} \quad -\frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \] \[ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \quad \text{因为} \quad \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{且} \quad -\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \]
)
先简化内层函数，再根据定义简化外层函数： \[ \sin(\arcsin(-\frac{1}{2})) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \] \[ \arccos(\cos(\frac{\pi}{2})) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \] \[ \arccos(\cos(-\frac{\pi}{2})) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \]
)
先简化内层函数，再根据定义简化外层函数： \[ \cos(\arcsin(-\frac{1}{2})) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{3})) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \] \[ \arcsin(\tan(\frac{3\pi}{4})) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \]
)
先简化内层函数，再根据定义简化外层函数： \[ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi \] \[ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 \] \[ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 \] \[ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 \]

习题 6

设 \( A = \arcsin(2/3) \) 与 \( B = \arccos(-1/2) \)。求 \( \sin(A + B) \) 的精确值。

解答

使用三角恒等式： \[ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \] 展开给定表达式： \[ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) \] 运用前述恒等式简化各项： \[ \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3} \] （使用 \(\sin(\arcsin(x)) = x\)） \[ \cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2} \] （使用 \(\cos(\arccos(x)) = x\)） \[ \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3} \] （使用 \(\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}\)） \[ \sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \] （使用 \(\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}\)）代入计算： \[ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} \]

习题 7

将 \( Y = \sin(2 \arcsin(x)) \) 表示为代数式。

解答

令 \( A = \arcsin(x) \)，则 \( Y \) 可写为： \[ Y = \sin(2A) \] 使用二倍角公式： \[ \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \] 将 \( Y \) 重写为： \[ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) \] 使用恒等式： \[ \sin(\arcsin(x)) = x \quad \text{且} \quad \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} \] 将 \( Y \) 重写为： \[ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} \]

习题 8

求 \( Y = \sin(2 \arctan(3/4)) \) 的精确值。

解答

令 \( A = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \)，则 \( Y \) 可写为： \[ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \] \[ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{3}{5} \] \[ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{4}{5} \] \[ Y = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \]