正弦函数在现实生活中的应用及解答

问题与解答

正弦函数是用于模拟随时间重复出现的周期现象的强大数学工具。本网页探讨正弦函数如何帮助解决涉及运动、周期和振荡的现实问题。无论是分析振荡物体的运动、预测一年中的日照时长、估算月平均温度、模拟摩天轮的旋转、理解高潮和低潮，还是优化太阳能电池板的性能，正弦函数都能提供准确而实用的解决方案。通过每个示例，深入了解正弦模型如何将数学与现实世界联系起来。

问题 1

一个连接在弹簧上的物体被拉向地板，使其离地高度为10毫米。随后释放该物体，它开始上下运动，最高和最低高度分别为20毫米和10毫米，运动周期为0.8秒。

) 假设物体的高度 \( h(t) \) 是一个正弦函数，其中 \( t \) 是时间（单位：秒）。画出从 \( t = 0 \) 到 \( t = 0.8 \) 秒的 \( h \) 图像。\( t = 0 \) 是物体被释放的时刻。
) 求高度 \( h(t) \) 的正弦函数表达式。
) 在一个周期内，物体的高度超过17毫米的时间持续多少秒？

解答

)
物体在 \( t = 0 \) 时被释放，此时 \( h \) 最小。半个周期后，\( h \) 达到最大，再半个周期后又回到最小。因此，在一个周期内，\( h \) 随 \( t \) 的变化如下：
)
根据部分 a) 中得到的图像，\( h(t) \) 可以通过一个在垂直和水平方向上平移的余弦函数来建模。因此 \[ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c \] 令 \( h_{\text{max}} \) 为 \( h \) 的最大值，\( h_{\text{min}} \) 为 \( h \) 的最小值。因此 \[ |a| = \frac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 \] \[ c = \frac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \frac{20 + 10}{2} = 15 \] \[ \text{周期} = \frac{2\pi}{|b|} = 0.8 \Rightarrow b = \pm 2.5\pi \] 我们取 \( a = 5 \) 和 \( b = 2.5\pi \)。余弦函数向右平移了半个周期。因此 \( d = 0.4 \) \[ h(t) = 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 \] 检验 \( h \) 在 \( t = 0 \) 时有最小值： \[ h(0) = 5 \cos[ 2.5\pi(0 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 \] 检验 \( h \) 在 \( t = 0.4 \) 时有最大值： \[ h(0.4) = 5 \cos[ 2.5\pi(0.4 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 \]
) 下图展示了 \( y = h(t) \) 和 \( y = 17 \) 的图像。我们首先需要找到 \( t_1 \) 和 \( t_2 \)，即通过解方程求出满足 \( h(t) = 17 \) 的 \( t \) 值： \[ 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 = 17 \] \[ \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] = \frac{17 - 15}{5} = 0.4 \] \[ 2.5\pi(t - 0.4) = \arccos(0.4) \] \[ t = \frac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ 秒} \] 上面求得的解 \( t \) 大于最大值对应的时刻 \( 0.4 \)，且小于 \( 0.8 \)，因此它对应于 \( t_2 \)。因此 \[ t_2 = \frac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ 秒} \] \( t_1 \) 可以通过两个解关于最大值点 \( t = 0.4 \) 的对称性得到。因此 \[ t_1 = 0.4 - (0.547 - 0.4) = 0.252 \text{ 秒} \] 物体高度超过17米的时间为 \[ t_2 - t_1 = 0.547 - 0.252 = 0.295 \text{ 秒} \]

问题 2

某地区的日照时数 \( H \) 近似由以下函数给出： \[ H(t) = 2.5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11.5 \] 其中 \( H \) 的单位是小时，\( t \) 的单位是天，函数的周期为一年（365天）。

) 如果 \( H \) 在6月21日达到最大值（2月有28天），求 \( b \) (\( b > 0 \)) 和 \( d \)。
) 哪一天最短（日照时数最少）？

解答

) 由于周期已知且等于365天，我们使用公式： \[ 365 = \frac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2\pi}{365} \] 如果我们在函数 \[ H(t) = 2.5 \cos[b(t - d)] + 11.5 \] 中设 \( d = 0 \)，则函数变为 \[ H(t) = 2.5 \cos(bt) + 11.5 \] 该函数在 \( t = 0 \) 时取得最大值。
在我们的问题中，最大值出现在6月21日，对应的时间是 \[ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 \] （从1月1日到6月21日的天数）。
因此，水平向右平移了172个单位，即 \( d = 172 \)。因此， \[ H(t) = 2.5 \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 \]
) 最短的一天对应于使 \( H \) 取得最小值的 \( t \) 值，最小值为： \[ 11.5 - 2.5 = 9 \] 我们解方程： \[ 2.5 \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 = 9 \] \[ \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \frac{9 - 11.5}{2.5} = -1 = \cos(\pi) \] 由此得到 \[ \frac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi \] \[ t = \frac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354.5 \text{ 天} \] 注意：我们也可以通过认识到余弦函数从最大值到下一个最小值的时间是半个周期来确定这一点。因此，最小值出现在： \[ t = 172 + \frac{1}{2}(365) = 354.5 \text{ 天} \] 计算从1月到11月的天数： \[ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 \] 那么，12月中的天数是： \[ 354.5 - 334 = 20.5 \] 这大约对应12月21日。

问题 3

某城市的月平均温度 \( T \)（单位：\( ^{\circ} \mathrm{C} \)）可以近似表示为 \[ T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c \] 其中 \( t \) 是时间（单位：月），\( t = 0 \) 对应1月1日，并且我们假设函数 \( T(t) \) 的周期为12个月。

) 如果 \( T \) 在7月中旬（\( t = 6.5 \)）达到最大值 \( 22.4^{\circ} \mathrm{C} \)，最小值是 \( -10^{\circ} \mathrm{C} \)，求 \( a \)、\( b \)（\( b > 0 \)）、\( c \) 和 \( d \)。
) \( T \) 在哪个月份最小？
) 有多少个月 \( T \) 高于 \( 18^{\circ} \mathrm{C} \)？

解答

) \( T \) 的最小值和最大值，分别记为 \( T_{\text{max}} \) 和 \( T_{\text{min}} \)，使我们能够求出 \( a \) 和 \( c \) 如下：已知： \[ T_{\text{max}} = 22.4 \quad \text{和} \quad T_{\text{min}} = -10 \] \[ c = \frac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6.2 \] \[ |a| = \frac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16.2 \quad \text{（我们取 } a > 0 \text{）} \] \( T \) 的图像是余弦函数 \( a \cos(bt) \) 向右平移6.5个单位得到的。因此， \[ T(t) = 16.2 \cos[ b(t - 6.5) ] + 6.2 \] 现在我们利用周期求 \( b \)。周期是12，并且由于 \[ \text{周期} = \frac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{我们得到 } b = \frac{\pi}{6} \] 因此，温度函数为 \[ T(t) = 16.2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 \]
) 求 \( T \) 最小时的 \( t \)。\( T \) 的最小值是 -10。我们解方程： \[ 16.2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = -10 \] \[ \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = -1 = \cos(\pi) \] \[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) = \pi \] \[ t = 12.5 \] 注意：我们可以利用正弦函数中最大值到下一个最小值的距离是半个周期这一事实来回答这个问题。所以， \[ t = 6.5 + \frac{1}{2}(12) = 12.5 \text{ 天} \] 由于 \( t = 12.5 \) 略大于一个周期（12个月），它对应1月中旬，意味着温度大约在此时最低。
) 我们现在通过解方程求 \( T = 18 \) 的时刻 \( t_1 \) 和 \( t_2 \)： \[ 16.2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = 18 \] \[ \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = \frac{18 - 6.2}{16.2} \] \[ \frac{\pi}{6}(t - 6.5) = \arccos\left( \frac{18 - 6.2}{16.2} \right) \] \[ t = \frac{6}{\pi} \arccos\left( \frac{18 - 6.2}{16.2} \right) + 6.5 = 7.94 \text{ 个月} \] 从 \( T(t) \) 的图像和水平线 \( y = 18 \) 来看，解 \( t = 7.94 \) 对应于 \( t_2 = 7.94 \)。根据对称性， \[ t_1 = 6.5 - (t_2 - 6.5) = 6.5 - (7.94 - 6.5) = 5.06 \text{ 个月} \] \( T > 18 \) 的月数为： \[ t_2 - t_1 = 7.94 - 5.06 = 2.88 \text{ 个月（约3个月）} \]

问题 4

一个大型摩天轮的直径为48米，转一圈需要2.8分钟。一位乘客在 \( t = 0 \) 时从最低点登上摩天轮，该点离地60厘米。

) 求一个正弦函数 \( h(t) \)，表示乘客离地高度 \( h \)（单位：米）关于时间 \( t \)（单位：分钟）的函数。
) 求从 \( t = 0 \) 到 \( t = 2.8 \) 分钟的时间内，乘客高度低于30米的时间间隔。
) 从 \( t = 0 \) 开始，乘客第二次到达最高点需要多少分钟？

解答

) 离地最小高度 \( h_{\text{min}} \) 为0.6米。最大高度 \( h_{\text{max}} \) 等于最小高度加上摩天轮的直径。 \[ h_{\text{max}} = 0.6 + 48 = 48.6 \] 由于 \( h(t) \) 在 \( t = 0 \) 时最小，用反射的余弦函数建模会更方便。因此： \[ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c \] \[ |a| = \frac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \frac{48.6 - 0.6}{2} = 24 \] \( a \) 有两个解：\( \pm 24 \)。我们选择 \( a = -24 \)，负号表示关于水平轴的反射。 \[ c = \frac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \frac{48.6 + 0.6}{2} = 24.6 \] 周期是2.8，并且由于： \[ \text{周期} = \frac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \frac{2\pi}{2.8} \] \[ h(t) = -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 \] 检验：在 \( t = 0 \) 时， \[ h(0) = -24 \cos(0) + 24.6 = -24(1) + 24.6 = 0.6 \, \text{米} \] 在 \( t = 1.4 \) 时（半个周期后）， \[ h(1.4) = -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} \cdot 1.4 \right) + 24.6 = -24 \cos(\pi) + 24.6 = 48.6 \, \text{米} \]
) 我们首先需要解方程： \[ -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 = 30 \] \[ \cos\left( \frac{2\pi}{2.8} t \right) = \frac{30 - 24.6}{-24} \] \[ t = \frac{2.8}{2\pi} \arccos\left( \frac{30 - 24.6}{-24} \right) = 0.8 \, \text{分钟} \] 这个解对应于 \( h(t) \) 的图像与直线 \( y = 30 \) 的第一个交点 \( t_1 \)。因此： \[ t_1 = 0.8 \, \text{分钟}, \quad t_2 = 2.8 - 0.8 = 2 \, \text{分钟} \] \( h(t) \lt 30 \) 的时间段是从 \( t = 0 \) 到 \( t = 0.8 \) 以及从 \( t = 2 \) 到 \( t = 2.8 \)，总共1.6分钟。
) 乘客第一次在 \( t = \frac{1}{2} \cdot 2.8 \) 时到达最高点，第二次到达最高点是在： \[ t = \frac{1}{2} \cdot 2.8 + 2.8 = 4.2 \, \text{分钟} \]

问题 5

由于月球和太阳对地球的引力作用，海洋中的水会周期性涨落，这被称为高潮和低潮。在典型情况下，两次高潮之间的时间接近12小时。在某个沿海地区，水的深度可以近似为正弦函数： \[ d(t) = -2.5 \cos[ b(t - 2) ] + 3.5 \] 其中 \( d \) 的单位是米，\( t \) 的单位是小时，\( t = 0 \) 对应午夜12点。

) 如果 \( d \) 的周期是12小时，求 \( b \) (\( b > 0 \))。
) 从 \( t = 0 \) 到 \( t = 12 \)，\( d \) 在何时最小（低潮）？在何时最大（高潮）？
) 从 \( t = 0 \) 到 \( t = 12 \)，水深达到或超过4.5米的时间区间是什么？

解答

) 利用周期，我们有 \[ 12 = \frac{2\pi}{b} \] \[ b = \frac{\pi}{6} \]
) \( d(t) \) 现在由下式给出： \[ d(t) = -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 \] \( d \) 的最小值是 \[ -2.5 + 3.5 = 1 \] 因此，\( d \) 最小时满足： \[ -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 1 \] 解得： \[ \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 \] \[ \frac{\pi}{6}(t - 2) = 0 \] \[ t = 2 \quad \text{（对应凌晨2点）} \] \( d \) 的最大值是 \[ 2.5 + 3.5 = 6 \] 因此，\( d \) 最大时满足： \[ -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 6 \] 解得： \[ \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 \] \[ \frac{\pi}{6}(t - 2) = \pi \] \[ t = 8 \quad \text{（对应上午10点）} \] 注意：我们可以利用正弦函数中最小值到下一个最大值的时间是半个周期这一事实来回答部分 b)。因此， \[ d \text{ 在 } t = 2 + \frac{1}{2} \cdot 12 = 8 \text{ 时最大} \]
) 我们首先需要通过解方程求满足 \( h(t) = 4.5 \) 的 \( t \)： \[ -2.5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 4.5 \] 可以写为： \[ \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2.5} \] 解 \( t \)： \[ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\frac{1}{2.5} \right) + 2 = 5.8 \text{ 小时} \] \[ t_2 = 8 + (8 - 5.8) = 10.2 \text{ 小时（利用关于最大值点的对称性）} \] \( d(t) > 4.5 \, \text{米} \) 的总时长为： \[ 10.2 - 5.8 = 4.4 \text{ 小时} \]

问题 6

由于高潮和低潮，某沿海区域的水深 \( d \) 可以用正弦函数表示。最高潮发生在上午8点，最低潮发生在6小时后。最高水位是2.8米，最低水位是0.4米。

) 使用正弦函数求水深 \( d(t) \)（单位：米）关于时间 \( t \)（单位：小时）的函数表达式。（假设上午8点对应 \( t = 0 \)）。
) 求中午时的水深。
) 使用 \( d(t) \) 的图像和解析计算，求从中午12点到下午6点期间，水深 \( d \) 低于 \( 1.5 \, \text{米} \) 的时间区间。

解答

) 将 \( d(t) \) 写为 \[ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c \] \( d \) 的最小值 \( d_{\min} \) 和最大值 \( d_{\max} \) 为 \[ d_{\min} = 0.4 \] \[ d_{\max} = 2.8 \] \[ c = \frac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \frac{2.8 + 0.4}{2} = 1.6 \] \[ |a| = \frac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \frac{2.8 - 0.4}{2} = 1.2 \] 由于 \( d(t) \) 在 \( t = 0 \)（上午8点）时有最小值，我们可以选择 \( a = -1.2 \) 和 \( d = 0 \) \[ d(t) = -1.2 \cos(bt) + 1.6 \] 容易验证在 \( t = 0 \) 时，\( d = -1.2 + 1.6 = 0.4 \)。现在我们利用周期求 \( b \) (\( b > 0 \))，如下所示： \[ \text{周期} = 12 = \frac{2\pi}{b} \] \[ \Rightarrow b = \frac{\pi}{6} \] \( d(t) \) 现在写为： \[ d(t) = -1.2 \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) + 1.6 \] 容易验证最大值出现在 \( t = 6 \)。
) 在中午 \( t = 4 \)，因此 \[ d(4) = -1.2 \cos\left( \frac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1.6 = 2.2 \, \text{米} \]
) \( d(t) \) 的图像如下所示，垂直线对应中午12点到下午6点，水平线对应 \( d = 1.5 \)。从 \( t_0 \) 到下午6点（\( t = 10 \)），水深小于1.5。我们需要通过解方程求 \( d(t) \) 和 \( y = 1.5 \) 的交点 \( t_0 \)： \[ -1.2 \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) + 1.6 = 1.5 \] \[ t = \frac{6 \cdot \arccos\left( \frac{1.5 - 1.6}{-1.2} \right)}{\pi} \approx 2.84 \] 求得的解对应于 \( d(t) \) 和 \( y = 1.5 \) 的左交点。右交点 \( t_0 \) 可以通过图像关于最大值点的对称性找到。因此 \[ t_0 = 6 + (6 - 2.84) = 9.16 \, \text{小时} \] \(0.16 \) 小时对应 \[ 0.16 \times 60 \, \text{分钟} \approx 10 \text{分钟} \] \( 9.16 \) 小时对应 \[ \approx 下午 5:10 \] 从中午12点到下午6点，水深低于1.5米的时间是从下午5:10到6点。

问题 7

一套太阳能电池板系统产生的日平均功率 \( P \) 在一年中会变化。它在6月21日（日照时间最长的一天）达到最大值，为 \( 20 \ \text{千瓦时/天} \)。我们假设 \( P \) 随时间 \( t \) 按照正弦函数变化： \[ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c \] 其中 \( t = 0 \) 对应1月1日，\( P \) 是功率（单位：千瓦时/天），并且 \( P(t) \) 的周期为365天（2月有28天）。\( P \) 的最小值是 \( 4 \ \text{千瓦时/天} \)。

) 求参数 \( a \)、\( b \)、\( c \) 和 \( d \)。
) 画出从 \( t = 0 \) 到 \( t = 365 \) 的一个周期内的 \( P(t) \) 图像。
) 太阳能系统产生的功率何时最小？
) 如果系统产生的功率大于或等于 \( 16 \ \text{千瓦时/天} \)，则足以为一组机器供电。一年中，系统产生的功率足以供电的天数有多少？

解答

) 将 \( P(t) \) 写为 \[ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c \] \( P(t) \) 的最小值 \( P_{\text{min}} \) 和最大值 \( P_{\text{max}} \) 已知： \[ P_{\text{min}} = 4 \] \[ P_{\text{max}} = 20 \] \[ c = \frac{P_{\text{max}} + P_{\text{min}}}{2} = \frac{20 + 4}{2} = 12 \] \[ |a| = \frac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \frac{20 - 4}{2} = 8 \] 我们现在需要找出 \( P(t) \) 达到最大值时的天数 \( t \)（从1月1日起），通过计算从1月到5月的天数再加上6月的21天： \[ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 \] 现在我们利用周期求 \( b \)（\( b > 0 \)），如下所示： \[ \text{周期} = 365 = \frac{2\pi}{b} \] \[ \Rightarrow b = \frac{2\pi}{365} \] 一个没有平移的余弦函数在 \( t = 0 \) 时有最大值。\( P(t) \) 在 \( t = 172 \) 时有最大值。我们可以用一个向右平移172个单位的余弦函数来建模 \( P(t) \)： \[ P(t) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 \] 检验 \( P(t) \) 在 \( t = 172 \) 时最大： \[ P(172) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 \]
) \( P(t) \) 的图像如下所示。 \[ \text{{（见图： }} \text{{http://www.analyzemath.com/high_school_math/grade_12/sinus_applications/question_7_sol_1.gif}} \text{{）}} \]
) 最大值在 \( t = 172 \) 和紧随其后的最小值之间相差半个周期。因此 \( P(t) \) 在以下时刻最小： \[ t = 172 + 0.5(365) = 354.5 \] 前11个月有334天。因此，354.5对应12月21日，即 \( P(t) \) 最小的那一天。
) 为了求功率输出足够的天数，我们需要找到 \( P(t) \) 和 \( y = 16 \) 的交点对应的 \( t_1 \) 和 \( t_2 \)，如下图所示，通过解方程： \[ P(t) = 16 \] \[ 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 \] \[ \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \frac{1}{2} \] \[ t = 172 + \frac{365}{2\pi} \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 232.8 \] 上面求得的解大于172（最大值对应的时刻）。因此，上面的解对应于图像中的 \( t_2 \)（右侧解）。左侧的解通过对称性找到： \[ t_1 = 172 - (232.8 - 172) = 111.2 \] \[ t_2 - t_1 = 232.8 - 111.2 = 121.6 \text{ 天} \] 系统产生足够功率的天数约为121天。