正弦函数是用于建模随时间重复的周期性现象的强大数学工具。本网页探讨了正弦函数如何帮助解决涉及运动、周期和振荡的现实世界问题。无论是分析振荡质量块的运动、预测全年的日照小时数、估计月平均温度、对摩天轮的旋转进行建模、理解高低潮汐，还是优化太阳能电池板的性能，正弦函数都提供了准确且实用的解决方案。深入研究每个示例，看看数学如何通过正弦模型与现实世界相遇。
问题与解答
问题 1
一个连接在弹簧上的质量块被拉向地板，使其离地高度为 10 毫米 (mm)。然后释放质量块，它开始上下移动，达到的最高和最低高度分别为 20 mm 和 10 mm，周期为 0.8 秒。
- 假设质量块的高度 $h(t)$ 是一个正弦函数，其中 $t$ 是以秒为单位的时间。画出从 $t = 0$ 到 $t = 0.8$ 秒的 $h$ 的图像。$t = 0$ 是质量块释放的时间。
- 为高度 $h(t)$ 寻找一个正弦函数模型。
- 在一个周期内，质量块的高度大于 17 mm 的时间持续了多少秒？
解答
-
质量块在 $t = 0$ 时释放，此时 $h$ 为最小值。半个周期后 $h$ 达到最大值，再过半个周期它再次达到最小值。因此，在一个周期内，$h$ 随 $t$ 的变化如下：
-
根据 a 部分得到的图像，$h(t)$ 可以用向上垂直平移并向右水平平移的余弦函数来建模。因此
$$ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c $$
设 $h_{\text{max}}$ 为 $h$ 的最大值，$h_{\text{min}}$ 为 $h$ 的最小值。因此
$$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 $$
$$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 10}{2} = 15 $$
$$ \text{Period} = \dfrac{2\pi}{|b|} = 0.8 \Rightarrow b = \pm 2.5\pi $$
我们取 $a = 5$ 且 $b = 2.5\pi$。余弦函数的平移向右且等于半个周期。因此 $d = 0.4$
$$ h(t) = 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 $$
检查 $h$ 在 $t = 0$ 时是否取得最小值：
$$ h(0) = 5 \cos[ 2.5\pi(0 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 $$
检查 $h$ 在 $t = 0.4$ 时是否取得最大值：
$$ h(0.4) = 5 \cos[ 2.5\pi(0.4 - 0.4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 $$
-
下面显示了 $y = h(t)$ 和 $y = 17$ 的图像。我们首先需要通过求解方程来找到使 $h(t) = 17$ 的 $t$ 值 $t_1$ 和 $t_2$
$$ 5 \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] + 15 = 17 $$
$$ \cos[ 2.5\pi(t - 0.4) ] = \dfrac{17 - 15}{5} = 0.4 $$
$$ 2.5\pi(t - 0.4) = \arccos(0.4) $$
$$ t = \dfrac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ 秒} $$
上面求出的解 $t$ 大于 0.4（最大值的位置），且小于 0.8，因此它对应于 $t_2$。故
$$ t_2 = \dfrac{\arccos(0.4)}{2.5\pi} + 0.4 = 0.547 \text{ 秒} $$
$t_1$ 利用两个解相对于最大值位置 $t = 0.4$ 的对称性获得。因此
$$ t_1 = 0.4 - (0.547 - 0.4) = 0.252 \text{ 秒} $$
质量高度大于 17 米的时间段为
$$ t_2 - t_1 = 0.547 - 0.252 = 0.295 \text{ 秒} $$
问题 2
某地区的日照时数 $H$ 近似由以下函数给出
$$ H(t) = 2.5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11.5 $$
其中 $H$ 单位为小时，$t$ 单位为天，且该函数的周期为一年（365 天）。
- 如果 $H$ 在 6 月 21 日达到最大值（2 月有 28 天），求 $b$（$b > 0$）和 $d$。
- 哪一天最短（日照时数最少）？
解答
-
既然已知周期等于 365 天，我们使用公式：
$$ 365 = \dfrac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{2\pi}{365} $$
如果在函数中设 $d = 0$
$$ H(t) = 2.5 \cos[b(t - d)] + 11.5 $$
它变成
$$ H(t) = 2.5 \cos(bt) + 11.5 $$
该函数在 $t = 0$ 时取得最大值。
在我们问题中，最大值发生在 6 月 21 日，对应于
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$
（从 1 月 1 日到 6 月 21 日的天数）。
因此，水平平移为向右 172 个单位，即 $d = 172$。故，
$$ H(t) = 2.5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 $$
-
最短的一天对应于使 $H$ 达到最小值的 $t$ 值，即：
$$ 11.5 - 2.5 = 9 $$
我们求解方程：
$$ 2.5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11.5 = 9 $$
$$ \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \dfrac{9 - 11.5}{2.5} = -1 = \cos(\pi) $$
从而得到
$$ \dfrac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi $$
$$ t = \dfrac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354.5 \text{ 天} $$
注意：我们也可以通过认识到余弦函数中从最大值到随后的最小值的时间是半个周期来确定这一点。因此，最小值发生在：
$$ t = 172 + \dfrac{1}{2}(365) = 354.5 \text{ 天} $$
计算从 1 月到 11 月的天数：
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 $$
那么，12 月份过去的天数是：
$$ 354.5 - 334 = 20.5 $$
这大致对应于 12 月 21 日。
Problem 3
某城市的月平均气温 $T$（单位：$^{\circ} \mathrm{C}$）可以近似表示为
$$ T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c $$
其中 $t$ 是以月为单位的时间，$t = 0$ 对应于 1 月 1 日，并且我们假设函数 $T(t)$ 的周期为 12 个月。
- 如果 $T$ 在 7 月中旬（$t = 6.5$）达到最大值 $22.4^{\circ} \mathrm{C}$，且最小值为 $-10^{\circ} \mathrm{C}$，求 $a$、$b$（其中 $b > 0$）、$c$ 和 $d$。
- 在哪个月气温 $T$ 最低？
- 气温 $T$ 大于 $18^{\circ} \mathrm{C}$ 持续了几个月？
解答
-
$T$ 的最小值和最大值分别记为 $T_{\text{min}}$ 和 $T_{\text{max}}$，利用它们我们可以求出 $a$ 和 $c$：
已知：
$$ T_{\text{max}} = 22.4 \quad \text{且} \quad T_{\text{min}} = -10 $$
$$ c = \dfrac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6.2 $$
$$ |a| = \dfrac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16.2 \quad \text{（我们取 } a > 0 \text{）} $$
$T$ 的图像是余弦函数 $a \cos(bt)$ 向右平移 6.5 个单位得到的。因此，
$$ T(t) = 16.2 \cos[ b(t - 6.5) ] + 6.2 $$
我们现在利用周期求 $b$。周期为 12，由于
$$ \text{Period} = \dfrac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{我们得到 } b = \dfrac{\pi}{6} $$
因此，温度函数为
$$ T(t) = 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 $$
-
求使 $T$ 达到最小值的 $t$。$T$ 的最小值为 -10。我们求解：
$$ 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = -10 $$
$$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = -1 = \cos(\pi) $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) = \pi $$
$$ t = 12.5 $$
注意：我们也可以利用正弦函数中最大值到下一个最小值的距离是半个周期来回答这个问题。所以，
$$ t = 6.5 + \dfrac{1}{2}(12) = 12.5 \text{ 天} $$
由于 $t = 12.5$ 略多于一个周期（12 个月），它对应于 1 中旬，这意味着温度大约在那时达到最低。
-
我们现在通过求解方程来寻找 $T = 18$ 时的时刻 $t_1$ 和 $t_2$：
$$ 16.2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] + 6.2 = 18 $$
$$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) \right] = \dfrac{18 - 6.2}{16.2} $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6.5) = \arccos\left( \dfrac{18 - 6.2}{16.2} \right) $$
$$ t = \dfrac{6}{\pi} \arccos\left( \dfrac{18 - 6.2}{16.2} \right) + 6.5 = 7.94 \text{ 个月} $$
从 $T(t)$ 的图像和水平线 $y = 18$ 可以看出，解 $t = 7.94$ 对应于 $t_2 = 7.94$。利用对称性，
$$ t_1 = 6.5 - (t_2 - 6.5) = 6.5 - (7.94 - 6.5) = 5.06 \text{ 个月} $$
$T > 18$ 的月数是：
$$ t_2 - t_1 = 7.94 - 5.06 = 2.88 \text{ 个月（大约 3 个月）} $$
Problem 4
一个大型摩天轮的直径为 48 米，转一圈需要 2.8 分钟。在 $t = 0$ 时，乘客在距离地面最低的点上车，该点离地 60 厘米。
- 求一个正弦函数 $h(t)$，它给出乘客离地高度 $h$（以米为单位）作为时间 $t$（以分钟为单位）的函数。
- 在从 $t = 0$ 到 $t = 2.8$ 分钟的时间周期内，求乘客高度小于 30 米的时间间隔。
- 从 $t = 0$ 开始，乘客第二次到达最高点需要多少分钟？
解答
-
离地面的最小高度 $h_{\text{min}}$ 为 0.6 米。最大高度 $h_{\text{max}}$ 等于最小高度加上轮子的直径。
$$ h_{\text{max}} = 0.6 + 48 = 48.6 $$
既然 $h(t)$ 在 $t = 0$ 时取得最小值，用翻转的余弦函数来建模会更简单。因此：
$$ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
$$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{48.6 - 0.6}{2} = 24 $$
$a$ 的两个解是 $\pm 24$。
我们选择 $a = -24$，其中的负号表示关于水平轴的反射。
$$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{48.6 + 0.6}{2} = 24.6 $$
周期为 2.8，并且由于：
$$ \text{period} = \dfrac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{2.8} $$
$$ h(t) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 $$
检查：当 $t = 0$ 时，
$$ h(0) = -24 \cos(0) + 24.6 = -24(1) + 24.6 = 0.6 \, \text{m} $$
当 $t = 1.4$（半个周期后）时，
$$ h(1.4) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} \cdot 1.4 \right) + 24.6 = -24 \cos(\pi) + 24.6 = 48.6 \, \text{m} $$
-
我们首先需要求解方程：
$$ -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) + 24.6 = 30 $$
$$ \cos\left( \dfrac{2\pi}{2.8} t \right) = \dfrac{30 - 24.6}{-24} $$
$$ t = \dfrac{2.8}{2\pi} \arccos\left( \dfrac{30 - 24.6}{-24} \right) = 0.8 \, \text{分钟} $$
该解对应于 $t_1$，即 $h(t)$ 的图像与直线 $y = 30$ 的第一个交点。因此：
$$ t_1 = 0.8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2.8 - 0.8 = 2 \, \text{min} $$
$h(t) \lt 30$ 的时间段是从 $t = 0$ 到 $t = 0.8$ 以及从 $t = 2$ 到 $t = 2.8$，总共 1.6 分钟。
-
乘客在 $t = \dfrac{1}{2} \cdot 2.8$ 时首次到达最高点，并在以下时刻再次到达最高点：
$$ t = \dfrac{1}{2} \cdot 2.8 + 2.8 = 4.2 \, \text{分钟} $$
此时乘客第二次到达最高高度。
Problem 5
由于月球和太阳对地球的引力，海洋中的水倾向于周期性地上升和下降，这对应于所谓的涨潮和落潮。在一个典型情况下，两次涨潮之间的时间接近 12 小时。在某沿海地区，水深可以近似为一个形式为以下的正弦函数：
$$ d(t) = -2.5 \cos[ b(t - 2) ] + 3.5 $$
其中 $d$ 单位为米，$t$ 单位为小时，$t = 0$ 对应于凌晨 12 点。
- 如果 $d$ 的周期为 12 小时，求 $b$（$b > 0$）。
- 从 $t = 0$ 到 $t = 12$，在什么时间 $d$ 最小（落潮），在什么时间最高（涨潮）？
- 从 $t = 0$ 到 $t = 12$，水深达到或超过 4.5 米的时间间隔是多少？
解答
-
利用周期，我们有
$$ 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$
$$ b = \dfrac{\pi}{6} $$
-
$d(t)$ 现在由下式给出
$$ d(t) = -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 $$
$d$ 的最小值是
$$ -2.5 + 3.5 = 1 $$
因此 $d$ 取得最小值的 $t$ 满足
$$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 1 $$
求解得到：
$$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = 0 $$
$$ t = 2 \quad \text{（对应于凌晨 2 点）} $$
$d$ 的最高值是
$$ 2.5 + 3.5 = 6 $$
因此 $d$ 取得最大值的 $t$ 满足
$$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 6 $$
求解得到：
$$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = \pi $$
$$ t = 8 \quad \text{（对应于上午 10 点）} $$
注意：我们也可以利用正弦函数中最小值到随后的最大值之间的距离是半个周期来回答 b 部分。因此，
$$ d \text{ 在 } t = 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 8 \text{ 时取得最大值} $$
-
我们首先需要通过求解方程来找到使 $h(t) = 4.5$ 的 $t$
$$ -2.5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3.5 = 4.5 $$
可以写为：
$$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2.5} $$
求解 $t$：
$$ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\dfrac{1}{2.5} \right) + 2 = 5.8 \text{ 小时} $$
$$ t_2 = 8 + (8 - 5.8) = 10.2 \text{ 小时（利用相对于最大值位置的对称性）} $$
$d(t) > 4.5 \, \text{m}$ 的总时间为：
$$ 10.2 - 5.8 = 4.4 \text{ 小时} $$
Problem 6
由于涨潮和落潮，某沿海地区的水深 $d$ 可以用正弦函数表示。最高潮发生在上午 8 点，最低潮发生在 6 小时之后。水的最高水位是 2.8 米，最低水位是 0.4 米。
- 使用正弦函数求水深 $d(t)$（单位：米）作为时间 $t$（单位：小时）的函数。（假设上午 8 点对应于 $t = 0$）。
- 求中午时分的水深。
- 利用 $d(t)$ 的图像和解析计算，计算从中午 12 点到下午 6 点水深 $d$ 低于 $1.5 \, \text{m}$ 的时间间隔。
解答
-
设 $d(t)$ 写为
$$ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
$d$ 的最小值 $d_{\min}$ 和最大值 $d_{\max}$ 分别为
$$ d_{\min} = 0.4 $$
$$ d_{\max} = 2.8 $$
$$ c = \dfrac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \dfrac{2.8 + 0.4}{2} = 1.6 $$
$$ |a| = \dfrac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \dfrac{2.8 - 0.4}{2} = 1.2 $$
既然 $d(t)$ 在 $t = 0$（上午 8 点）时取得最小值，我们可以选择 $a = -1.2$ 且 $d = 0$
$$ d(t) = -1.2 \cos(bt) + 1.6 $$
很容易检查在 $t = 0$ 时 $d = -1.2 + 1.6 = 0.4$。
我们现在利用周期求 $b$（$b > 0$）：
$$ \text{period} = 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$
$$ \Rightarrow b = \dfrac{\pi}{6} $$
$d(t)$ 现在写为
$$ d(t) = -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1.6 $$
很容易检查最大值出现在 $t = 6$。
-
中午时分 $t = 4$，因此
$$ d(4) = -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1.6 = 2.2 \, \text{m} $$
-
下图中展示了 $d(t)$ 的图像，其中垂直线对应中午 12 点到下午 6 点，水平线对应 $d = 1.5$。水深小于 1.5 的时间段是从 $t_0$ 到下午 6 点（$t = 10$）。我们需要通过求解方程来寻找 $d(t)$ 与 $y = 1.5$ 的交点 $t_0$
$$ -1.2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1.6 = 1.5 $$
$$ t = \dfrac{6 \cdot \arccos\left( \dfrac{1.5 - 1.6}{-1.2} \right)}{\pi} \approx 2.84 $$
所求出的解对应于 $d(t)$ 和 $y = 1.5$ 的左侧交点。右侧点 $t_0$ 可以利用图像关于最高点的对称性求得。因此
$$ t_0 = 6 + (6 - 2.84) = 9.16 \, \text{小时} $$
$0.16$ 小时对应于
$$ 0.16 \times 60 \, \text{分钟} \approx 10 \text{ 分钟} $$
$9.16$ 小时对应于
$$ \approx 5:10 \, \text{pm} $$
从中午 12 点到下午 6 点，水深低于 1.5 的时间是从下午 5:10 到下午 6 点。
Problem 7
一套太阳能电池板系统产生一年中变化的日平均功率 $P$。它在 6 月 21 日（日照时数最多的一天）达到最大值，等于 $20 \ \text{kWh/day}$。我们假设 $P$ 根据正弦函数随时间 $t$ 变化：
$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
其中 $t = 0$ 对应于 1 月 1 日，$P$ 是功率（单位：$\text{kWh/day}$），并且 $P(t)$ 的周期为 365 天（2 月有 28 天）。$P$ 的最小值为 $4 \ \text{kWh/day}$。
- 求参数 $a$、$b$、$c$ 和 $d$。
- 画出从 $t = 0$ 到 $t = 365$ 一个周期内的 $P(t)$ 图像。
- 太阳能系统产生的功率何时达到最小值？
- 如果该系统产生的功率大于或等于 $16 \ \text{kWh/day}$，则该太阳能系统产生的功率足以供给一组机器。在一年中，系统产生的功率足够的天数是多少？
解答
-
设 $P(t)$ 写为
$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
给出了 $P(t)$ 的最小值 $P_{\text{min}}$ 和最大值 $P_{\text{max}}$：
$$ P_{\text{min}} = 4 $$
$$ P_{\text{max}} = 20 $$
$$ c = \dfrac{P_{\text{max}} + P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 $$
$$ |a| = \dfrac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 4}{2} = 8 $$
我们现在需要通过计算从 1 月到 5 月各个月份的天数并加上 6 月的 21 天，来求出 $P(t)$ 达到最大值时距离 1 月 1 日的天数 $t$：
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$
我们现在利用周期求 $b$（其中 $b > 0$）：
$$ \text{period} = 365 = \dfrac{2\pi}{b} $$
$$ \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{365} $$
没有平移的余弦函数在 $t = 0$ 时具有最大值。$P(t)$ 在 $t = 172$ 时具有最大值。我们可以用向右平移 172 个单位的余弦函数来对 $P(t)$ 进行建模：
$$ P(t) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 $$
检查 $P(t)$ 在 $t = 172$ 时是否为最大值：
$$ P(172) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 $$
-
$P(t)$ 的图像显示如下。
-
在 $t = 172$ 的最大值与该最大值之后的最小值之间相差半个周期。因此 $P(t)$ 在以下时刻取得最小值
$$ t = 172 + 0.5(365) = 354.5 $$
前 11 个月共有 334 天。因此，354.5 对应于 12 月 21 日，即 $P(t)$ 达到最小值的日子。
-
为了求出产生足够功率的天数，我们需要通过求解方程来找出对应于图中 $P(t)$ 与 $y = 16$ 交点的 $t_1$ 和 $t_2$：
$$ P(t) = 16 $$
$$ 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 $$
$$ \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \dfrac{1}{2} $$
$$ t = 172 + \dfrac{365}{2\pi} \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = 232.8 $$
上面求出的解大于 172，对应于最大值。因此，上面的解对应于图中的 $t_2$（右侧解）。左侧的解通过对称性求得：
$$ t_1 = 172 - (232.8 - 172) = 111.2 $$
$$ t_2 - t_1 = 232.8 - 111.2 = 121.6 \text{ 天} $$
系统大约有 121 天产生足够的功率。