$$ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{和} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] $$
以下提供详细的例题，帮助学生理解它们的行为、渐近线和图像变换。
\( y = \tan(x) \) 与 \( y = \cot(x) \) 的绘图参数
取值范围： $ (- \infty , +\infty) $
周期： $ \pi $ （注意：这与基础周期为 \( 2\pi \) 的正弦/余弦不同）
水平平移： $d$。若 $(- d)$ 为正则向左平移，若 $(- d)$ 为负则向右平移。
正切函数的垂直渐近线： 出现在余弦的零点处，由下式给出：
$$ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
余切函数的垂直渐近线： 出现在正弦的零点处，由下式给出：
$$ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
恒等式： 为了理解这些函数的核心性质，回顾其比率恒等式：
$$ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{和} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$
1) \( y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
\( \sin(x) \) 的所有零点对应于 \( \tan(x) \) 的零点。出现在分母中的 \( \cos(x) \) 的所有零点对应于 \( \tan(x) \) 的垂直渐近线。
2) \( y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
\( \cos(x) \) 的所有零点对应于 \( \cot(x) \) 的零点。位于分母中的 \( \sin(x) \) 的所有零点对应于 \( \cot(x) \) 的垂直渐近线。
草绘正切与余切函数：带详细解答的例题
例题 1：绘制变换后的正切函数图像
在一个周期内草绘函数 \( y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) \) 的图像。
解答：
绘图参数
取值范围： \((- \infty , +\infty)\)
周期： 使用正切基础周期 \( \pi \) 计算：
$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$
垂直渐近线： 出现在正切函数内部等于基础渐近线 \( \dfrac{\pi}{2} + k\pi \) 的地方：
$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$
简化为：
$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
水平平移： 由于有 \( \dfrac{\pi}{2} \) 项引起的水平平移，可以通过提取 \( 2 \) 来重写函数：
$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$
这意味着图像向左平移 \( \dfrac{\pi}{4} \) 个单位。
绘制函数 $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ 的两个步骤：
1) 在从 \( 0 \) 到 \( \dfrac{\pi}{2} \) 的一个周期内草绘 \( \tan(2x) \)（如下面的蓝色图像）。
2) 然后通过将前一个图像向左平移 \( \dfrac{\pi}{4 \) 来草绘 \( y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] \)（如下面的红色图像），使得周期从 \( - \dfrac{\pi}{4} \) 开始，到 \( \dfrac{\pi}{4} \) 结束，这是一个等于 \( \dfrac{\pi}{2} \) 的完整周期。
例题 2：绘制变换后的余切函数图像
在一个周期内草绘函数 \( y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right) \) 的图像。
解答：
绘图参数
取值范围： \((- \infty , +\infty)\)
周期： 使用余切基础周期 \( \pi \) 计算：
$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$
垂直渐近线： 通过求解余切函数内部等于 \( k\pi \) 的时刻来找到：
$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$
给出：
$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$
水平平移： 由于有 \( - \dfrac{\pi}{4} \) 项引起的水平平移，可以通过提取 \( 4 \) 来识别：
$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$
这表示向右平移 \( \dfrac{\pi}{16} \) 个单位。
绘制函数 $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ 的两个步骤：
1) 首先在从 \( 0 \) 到 \( \dfrac{\pi}{4} \) 的一个周期内草绘 \( \cot(4x) \)（蓝色图像）。
2) 然后通过将图像向右平移 \( \dfrac{\pi}{16} \) 来草绘 \( y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] \)（如下面的红色图像），使得周期从 \( \dfrac{\pi}{16} \) 开始，到 \( \dfrac{5\pi}{16} \) 结束，这是一个完整的周期。
