本页详细讲解正切函数与 余切函数的图像绘制方法，函数形式为： \[ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{和} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] \] 通过详细示例帮助学生理解函数特性与图像变换规律。
正切函数与余切函数的值域均为 \((- \infty , +\infty)\)，周期均为 \(\pi\)。水平平移量由参数 \(d\) 决定：当 \((- d)\) 为正时图像左移，为负时图像右移。
垂直渐近线位置：
\[ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
（适用于 \(y = \tan(x)\)）
\[ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
（适用于 \(y = \cot(x)\)）
理解函数性质时需掌握恒等式：
\[ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{和} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \]
\(\sin(x)\) 的所有零点对应 \(\tan(x)\) 的零点。\(\cos(x)\) 的所有零点（位于分母）对应 \(\tan(x)\) 的垂直渐近线，如下图所示。
\(\cos(x)\) 的所有零点对应 \(\cot(x)\) 的零点。\(\sin(x)\) 的所有零点（位于分母）对应 \(\cot(x)\) 的垂直渐近线，如下图所示。
绘制函数 \[ y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) \] 在一个周期内的图像。
值域：\((- \infty , +\infty)\)
周期：\(\dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2}\)
垂直渐近线位置由下式确定： \[ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \] 化简得： \[ x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
通过重写函数形式分析水平平移： \[ y = \tan \big[ 2 ( x + \dfrac{\pi}{4} ) \big] \]
表明图像向左平移 \(\dfrac{\pi}{4}\) 个单位。
绘制 \( y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) \) 的两个步骤
1）先绘制 \(\tan(2x)\) 在区间 \([0, \dfrac{\pi}{2}]\) 内的图像（下图蓝色曲线）
2）将图像向左平移 \(\dfrac{\pi}{4}\) 单位得到 \[ y = \tan \big[ 2 ( x + \dfrac{\pi}{4} ) \big] \] （下图红色曲线），此时周期区间为 \([-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}]\)，长度为一个完整周期 \(\dfrac{\pi}{2}\)。
绘制函数 \[ y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right) \] 在一个周期内的图像。
值域：\((- \infty , +\infty)\) 周期：\(\dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4}\) 垂直渐近线位置由下式确定： \[ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi \] 解得： \[ x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] 通过重写函数形式分析水平平移： \[ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] \] 表明图像向右平移 \(\dfrac{\pi}{16}\) 个单位。
绘制 \( y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right) \) 的两个步骤
1）先绘制 \(\cot(4x)\) 在区间 \([0, \dfrac{\pi}{4}]\) 内的图像（下图蓝色曲线）
2）将图像向右平移 \(\dfrac{\pi}{16}\) 单位得到 \[ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] \] （下图红色曲线），此时周期区间为 \([\dfrac{\pi}{16}, \dfrac{5\pi}{16}]\)，长度为一个完整周期。
