求解包含反三角函数的方程

求解方程 $3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}$ 中的 $x$。

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解答：

将方程两边同除以 3。

$$ \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6} $$

两边应用 $\sin$ 并简化。

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $$

上式简化为

$$ x = \dfrac{1}{2} $$

由于 $\arcsin(x)$ 的定义域，我们需要验证所求得的解是否有效。

检查解：

对于 $x = \dfrac{1}{2}$

• 方程右边： $3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
• 方程左边： $\dfrac{\pi}{2}$

上述方程的解为 $x = \dfrac{1}{2}$。

该方程解的图解近似值如下所示。构成给定方程左边和右边的图象交点的 x 坐标为 $0.5$，这与解析法求出的解相符。

求解方程 $3 \cot(\arccos(x)) = 2$ 中的 $x$。

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解答：

将给定方程两边同除以 3 并简化。

$$ \cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3} $$

令 $A = \arccos(x)$ 并在两边应用 $\cos$ 得到：

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

利用上面定义的 $A$，该方程可以写为

$$ \cot(A) = \dfrac{2}{3} $$

利用 $\cot(A) = \dfrac{2}{3}$ 构造一个直角三角形并求 $\cos(A)$。首先求斜边 $h$。

$$ h = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $$

我们现在利用上面展示的同一个三角形来求 $\cos(A)$。

$$ x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55 $$

给定方程解的图解近似值如下所示。

求解方程 $\arcsin(x) = \arccos(x)$ 中的 $x$。

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解答：

两边同时应用 $\sin$ 函数。

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x)) $$

利用恒等式 $\sin(\arcsin(A)) = A$ 简化左边。

$$ x = \sin(\arccos(x)) $$

令 $A = \arccos(x)$，则 $\cos(A) = x$。利用直角三角形三角学（或毕达哥拉斯恒等式）：

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

利用上式将给定方程改写为代数形式。

$$ x = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

两边平方。

$$ x^2 = 1 - x^2 $$

$$ 2x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} $$

由于 arccos 函数的定义域以及我们在方程两边进行了平方这一事实，我们需要验证这些解并排除任何无效（增根）解。

检查解：

1) 当 $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 时

• 左边：$\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
• 右边：$\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$

$\implies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 是给定方程的解。

2) 当 $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 时

• 左边：$\arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$
• 右边：$\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$

$\implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 不是给定方程的解。

给定方程解的图解近似值如下所示。交点的 x 坐标 $0.71$ 接近 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$。

求解方程 $\arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}$ 中的 $x$。

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解答：

两边同时应用 $\cos$ 函数。

$$ \cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

利用恒等式 $\cos(\arccos(A)) = A$ 简化左边。

$$ x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

利用和角公式 $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ 展开右边。

$$ x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) $$

代入已知值：$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$，$\sin(\arcsin(x)) = x$，以及 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$。

$$ x = \cos(\arcsin(x)) \cdot 0 - x \cdot 1 $$

$$ x = -x $$

$$ 2x = 0 $$

$$ x = 0 $$

检查解：

• 左边：$\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}$
• 右边：$\arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$

$x = 0$ 是给定方程的有效解。

给定方程解的图解近似值如下所示。交点的 x 坐标等于 $0$，正好与上面解析计算出的值相同。

求解方程 $\arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)$ 中的 $x$。

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解答：

两边同时应用余弦函数。

$$ \cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) $$

利用反函数恒等式简化左边，并利用和角公式展开右边。

左边： $\cos(\arccos(2x)) = 2x$

右边：

$$ \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x)) $$

$$ = \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

将两边相等，将含有根式的项移到右边孤立出来。

$$ 2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

$$ \dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} $$

两边平方。

$$ \dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2) $$

乘以 4 以消去分母：

$$ 9x^2 = 3(1 - x^2) $$

$$ 9x^2 = 3 - 3x^2 $$

$$ 12x^2 = 3 $$

$$ x^2 = \dfrac{1}{4} $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{2} $$

检查解：

1) 当 $x = \dfrac{1}{2}$ 时

• 左边：$\arccos\left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
• 右边：$\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

$\implies x = \dfrac{1}{2}$ 不是解。

2) 当 $x = -\dfrac{1}{2}$ 时

• 左边：$\arccos\left(2 \cdot -\dfrac{1}{2}\right) = \arccos(-1) = \pi$
• 右边：$\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$

$\implies x = -\dfrac{1}{2}$ 是给定方程的有效解。

给定方程解的图解近似值如下所示。交点的 x 坐标等于 $-0.5$，这正是通过解析法求出的解。