求解包含反三角函数的方程
学习如何求解包含反三角函数（例如反正弦、反余弦和反正切）的方程。
本指南专为12年级数学学生设计，包含常见反三角方程的分步解答。每个解答还通过在同一坐标系中绘制方程两边的图形进行验证。交点给出了方程的近似解，帮助学生可视化方程并更深入地理解概念。
问题 1
求解关于 x 的方程 \( 3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2} \)。
解答
将方程两边同时除以 3。
\[
\arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6}
\]
两边同时取正弦并化简。
\[
\sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
\]
上式化简为
\[
x = \dfrac{1}{2}
\]
由于反正弦函数的定义域限制，我们需要验证所得解是否有效。
验证解
\[
x = \dfrac{1}{2}
\]
方程右边：\( 3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} \)
方程左边：\( \dfrac{\pi}{2} \)
因此，该方程的解为 \( x = \dfrac{1}{2} \)。
下方展示了给定方程解的图形近似。由方程左边和右边构成的图形的交点，其 x 坐标约为 0.5，这与解析法求得的解一致。
问题 2
求解关于 x 的方程 \( 3 \cot(\arccos(x)) = 2 \)。
解答
将给定方程两边同时除以 3 并化简。
\[
\cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3}
\]
令 \( A = \arccos(x) \)
并对两边取余弦得到。
\[
\cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x
\]
使用上面 A 的定义，方程可写为
\[
\cot(A) = \dfrac{2}{3}
\]
利用 \( \cot(A) = \dfrac{2}{3} \) 构造一个直角三角形，并求 \( \cos(A) \)。首先计算斜边 h。
\[
h = \sqrt{13}
\]
我们现在使用上面显示的同一个三角形来求 \( \cos(A) \)。
\[
x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55
\]
给定方程解的图形近似如下所示。
问题 3
求解关于 x 的方程 \( \arcsin(x) = \arccos(x) \)。
解答
对两边同时取正弦函数。
\[
\sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x))
\]
利用恒等式 \( \sin(\arcsin(A)) = A \) 化简左边。
\[
x = \sin(\arccos(x))
\]
令 \( A = \arccos(x) \)，则 \( \cos(A) = x \)
\[
\sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2}
\]
使用上述结果将给定方程改写为代数形式。
\[
x = \pm \sqrt{1 - x^2}
\]
两边平方。
\[
x^2 = 1 - x^2
\]
\[
2x^2 = 1
\]
\[
x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\]
由于反余弦函数的定义域限制，并且我们对等式两边进行了平方，因此需要验证解并排除任何无效（增根）解。
验证解
1) \( x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
左边：\( \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4} \)
右边：\( \arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4} \)
因此，\( x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \) 是给定方程的解。
2) \( x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
左边：\( \arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \)
右边：\( \arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4} \)
因此，\( x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) 不是给定方程的解。
给定方程解的图形近似如下所示。交点 x 坐标约为 0.71，接近 \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)。
问题 4
求解关于 x 的方程 \( \arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2} \)。
解答
对两边同时取余弦函数。
\[
\cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right)
\]
利用恒等式 \( \cos(\arccos(A)) = A \) 化简左边。
\[
x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right)
\]
使用恒等式 \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \) 展开右边。
\[
x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)
\]
利用 \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \)、\( \sin(\arcsin(x)) = x \) 和 \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \)
\[
x = -x
\]
\[
2x = 0
\]
\[
x = 0
\]
验证解
左边：\( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \)
右边：\( \arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \)
因此，\( x = 0 \) 是给定方程的解。
给定方程解的图形近似如下所示。交点的 x 坐标恰好等于 0，与上面解析计算的值一致。
问题 5
求解关于 x 的方程 \( \arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x) \)。
解答
对两边同时取余弦函数。
\[
\cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right)
\]
利用恒等式化简左边，并展开右边。
左边：\( \cos(\arccos(2x)) = 2x \)
右边：
\[
\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x))
\]
\[
= \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2}
\]
将方程改写，使根式在右边。
\[
2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2}
\]
\[
\dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}
\]
两边平方。
\[
\dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2)
\]
\[
\dfrac{12x^2}{4} = \dfrac{3}{4}
\]
\[
x^2 = \dfrac{1}{4}
\]
\[
x = \pm \dfrac{1}{2}
\]
验证解
1) \( x = \dfrac{1}{2} \)
左边：\( \arccos(2x) = \arccos(1) = 0 \)
右边：\( \dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \)
因此，\( x = \dfrac{1}{2} \) 不是解。
2) \( x = -\dfrac{1}{2} \)
左边：\( \arccos(-1) = \pi \)
右边：\( \dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi \)
因此，\(x = -\dfrac{1}{2} \) 是给定方程的解。
给定方程解的图形近似如下所示。交点的 x 坐标等于 -0.5，与解析法求得的解完全一致。
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