求解分式不等式例题与解答

求解不等式：

$$ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 $$

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解答：

第一步：识别临界点（分子和分母的零点）

临界点出现在表达式为零或无定义的地方。

• 分子：$x - 2 = 0 \implies x = 2$
• 分母：$x + 1 = 0 \implies x = -1$

因此临界点为：$x = -1$（无定义）和 $x = 2$（零点）。

第二步：将数轴划分为区间

使用临界点将数轴划分：

• 区间 1：$(-\infty, -1)$
• 区间 2：$(-1, 2)$
• 区间 3：$(2, \infty)$

第三步：在每个区间中测试一个点

在每个区间中选择一个值并测试表达式的符号。

区间 1：$x = -2$

$$ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \quad (\text{正数}) $$

区间 2：$x = 0$

$$ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 < 0 \quad (\text{负数}) $$

区间 3：$x = 3$

$$ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \quad (\text{正数}) $$

第四步：包含或排除临界点

$x = -1$ 使分母为零，因此被排除。

$x = 2$ 使分子为零，满足 $\ge 0$，因此被包含。

最终答案：给定不等式的解集为：

$$ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) $$

求解不等式：

$$ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 $$

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解答：

第一步：将不等式一侧化为零并重写

$$ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 $$

通分重写：

$$ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 $$

化简分子：

$$ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} $$

所以不等式变为：

$$ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 $$

第二步：识别临界点

• 分子：$-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• 分母：$x + 3 = 0 \implies x = -3$

因此临界点为：$x = -5$（零点）和 $x = -3$（无定义）。

第三步：将数轴划分为区间

• 区间 1：$(-\infty, -5)$
• 区间 2：$(-5, -3)$
• 区间 3：$(-3, \infty)$

第四步：在每个区间中测试一个点

区间 1：$x = -6$

$$ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} < 0 $$

区间 2：$x = -4$

$$ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 > 0 $$

区间 3：$x = 0$

$$ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} < 0 $$

第五步：包含或排除临界点

$x = -3$ 使分母为零，因此被排除。

$x = -5$ 使分子为零，满足 $\le 0$，因此被包含。

最终答案：给定不等式的解集为：

$$ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) $$

求解不等式：

$$ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 $$

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解答：

第一步：对分子和分母进行因式分解

$$ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

所以不等式变为：

$$ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 $$

第二步：识别临界点

分子：

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

分母：

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

因此临界点为：$x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$。

第三步：在数轴上排列临界点

从左到右在数轴上：$-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$。所以区间为：

• 区间 1：$(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• 区间 2：$(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• 区间 3：$(-2, 1)$
• 区间 4：$(1, 3)$
• 区间 5：$(3, \infty)$

第四步：在每个区间中测试一个点

区间 1：$x = -3$

$$ \dfrac{(4(-3) + 9)(-3 - 1)}{(-3 - 3)(-3 + 2)} = \dfrac{(-3)(-4)}{(-6)(-1)} = \dfrac{12}{6} = 2 > 0 $$

区间 2：$x = -2.1$

$$ \dfrac{(4(-2.1) + 9)(-2.1 - 1)}{(-2.1 - 3)(-2.1 + 2)} \approx -3.64705\dots < 0 $$

区间 3：$x = 0$

$$ \dfrac{(4(0) + 9)(0 - 1)}{(0 - 3)(0 + 2)} = \dfrac{(9)(-1)}{(-3)(2)} = \dfrac{-9}{-6} = 1.5 > 0 $$

区间 4：$x = 2$

$$ \dfrac{(4(2) + 9)(2 - 1)}{(2 - 3)(2 + 2)} = \dfrac{(17)(1)}{(-1)(4)} = \dfrac{17}{-4} = -4.25 < 0 $$

区间 5：$x = 4$

$$ \dfrac{(4(4) + 9)(4 - 1)}{(4 - 3)(4 + 2)} = \dfrac{(25)(3)}{(1)(6)} = \dfrac{75}{6} > 0 $$

第五步：包含或排除临界点

• $x = -\dfrac{9}{4}$ 和 $x = 1$ $\to$ 分子的零点 $\to$ 满足 $\ge 0$ $\to$ 包含
• $x = -2$ 和 $x = 3$ $\to$ 使分母为零 $\to$ 排除

第六步：确定表达式在哪里的值大于或等于 0（$\ge 0$）

• $(-\infty, -\dfrac{9}{4}]$：正数 $\to$ 包含
• $(-\dfrac{9}{4}, -2)$：负数 $\to$ 排除
• $(-2, 1]$：正数 $\to$ 包含
• $(1, 3)$：负数 $\to$ 排除
• $(3, \infty)$：正数 $\to$ 包含

最终答案：

$$ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) $$

求解不等式：

$$ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} < 0 $$

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解答：

第一步：对表达式进行因式分解

• 分子：$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• 分母：$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

所以不等式变为：

$$ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$

第二步：识别临界点

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

注意：$x^2 - x + 1$ 没有实根，因为其判别式为负（$\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$）。此外，由于首项系数为正，该项对于所有实数 $x$ 总是正的，不会影响符号表。

因此临界点为：$x = -3$（无定义）、$x = -1$（零点）、$x = 3$（无定义）。

第三步：将数轴划分为区间

• 区间 1：$(-\infty, -3)$
• 区间 2：$(-3, -1)$
• 区间 3：$(-1, 3)$
• 区间 4：$(3, \infty)$

第四步：在每个区间中测试一个点

区间 1：$x = -4$

$$ \dfrac{(-3)(21)}{(-7)(-1)} = \dfrac{-63}{7} = -9 < 0 $$

区间 2：$x = -2$

$$ \dfrac{(-1)(7)}{(-5)(1)} = \dfrac{-7}{-5} = \dfrac{7}{5} > 0 $$

区间 3：$x = 0$

$$ \dfrac{(1)(1)}{(-3)(3)} = \dfrac{1}{-9} < 0 $$

区间 4：$x = 4$

$$ \dfrac{(5)(13)}{(1)(7)} = \dfrac{65}{7} > 0 $$

第五步：包含或排除临界点

$x = -3$ 和 $x = 3$ 使分母为零，因此被排除。

$x = -1$ 使分子为零，但不满足 $< 0$（严格不等式），因此被排除。

最终答案：给定不等式的解集为：

$$ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) $$

用图解法求解：

$$ \dfrac{x + 2}{x - 1} \ge \ln(x + 1) $$

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解答：

画出不等式两边的图象，并近似求出两个图象交点的坐标；然后确定 $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ 大于或等于 $\ln(x + 1)$ 的区间。

$\ln(x + 1)$ 在 $x > -1$ 时有定义，因此任何解集都必须满足 $x > -1$。函数 $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处有一条垂直渐近线。

从图象可以看出，在以下区间内，$\dfrac{x + 2}{x - 1}$（绿色）大于或等于 $\ln(x + 1)$（红色）：

$$ (-1, -0.59] \cup (1, 4.88] $$

求解双重分式不等式：

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 $$

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解答：

双重不等式必须通过将其拆分为两个独立的不等式来求解。最终解是这两个解集的交集（重叠部分）。

第一部分：左侧不等式

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \implies 0 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} + 1 $$

通分：

$$ 0 < \dfrac{2x - 1 + x + 2}{x + 2} \implies \dfrac{3x + 1}{x + 2} > 0 $$

临界点：$x = -\dfrac{1}{3}$ 和 $x = -2$。

对于 $(-\infty, -2)$、$(-2, -1/3)$、$(-1/3, \infty)$ 的符号表在外部区间产生正的结果。

解集 1：$(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

第二部分：右侧不等式

$$ \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 \implies \dfrac{2x - 1}{x + 2} - 3 \le 0 $$

通分：

$$ \dfrac{2x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0 \implies \dfrac{-x - 7}{x + 2} \le 0 $$

临界点：$x = -7$ 和 $x = -2$。

对于 $(-\infty, -7)$、$(-7, -2)$、$(-2, \infty)$ 的符号表在外部区间产生负的结果。由于有 $\le$ 号，我们包含 $-7$。

解集 2：$(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

交集：

我们必须找出解集 1 和解集 2 重叠的地方。

• 左侧从 $(-\infty, -7]$ 重叠。
• 右侧从 $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$ 重叠。

最终答案：

$$ (-\infty, -7] \cup \left(-\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

求解不等式：

$$ \dfrac{(x - 3)^2 (x + 1)}{(x - 2)^3} \le 0 $$

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解答：

本题引入了多重性的概念。当一个因式被平方（或具有任何偶数次幂）时，当跨越该临界点时，表达式的符号将不会改变。当一个因式具有奇数次幂时，符号会改变。

第一步：识别临界点

• 分子：$x = 3$（偶数重数），$x = -1$（奇数重数）
• 分母：$x = 2$（奇数重数，排除）

第二步：符号表

要测试的区间：$(-\infty, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, \infty)$

• 测试 $x = -2$：$\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• 测试 $x = 0$：$\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$（该区间符合条件）
• 测试 $x = 2.5$：$\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• 测试 $x = 4$：$\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$（注意跨越 $x=3$ 时符号没有改变）

第三步：分析端点

我们需要函数为负或恰好为零的地方。

• 区间 $(-1, 2)$ 为负。
• $x = -1$ 使其为零（包含）。
• $x = 2$ 使其无定义（排除）。
• $x = 3$ 使其为零（包含）。

尽管 $3$ 周围的区间是正的，但确切的点 $x=3$ 结果为 $0$，满足 $\le 0$。这产生了一个孤立的解点。

最终答案：

$$ [-1, 2) \cup \{3\} $$