以下呈现高三三角函数问题及分步解答。这些练习涵盖了三角恒等式、方程、证明以及现实世界的几何应用。
分步练习题
例题 1：证明恒等式
证明恒等式：$$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) $$
解答：
我们从给定恒等式的左边开始。
利用恒等式 $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ 写出：
$$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) $$
$$ = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) $$
通分：
$$ = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$
从分子中提取公因式 $\sin^2(x)$：
$$ = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} $$
应用勾股恒等式 $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$：
$$ = \dfrac{\sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$
$$ = \sin^2(x) \tan^2(x) $$
这正好等于给定恒等式的右边。
例题 2：二倍角恒等式
证明恒等式：$$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) $$
解答：
在给定恒等式的左边应用二倍角恒等式 $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$ 和 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$：
$$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} $$
$$ = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$
通过抵消 $1$ 和 $-1$ 来化简分子：
$$ = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$
从分子中提取 $\cos(x)$，从分母中提取 $\sin(x)$：
$$ = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x))} $$
约去公因式 $(1 + 2 \cos(x))$：
$$ = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$
$$ = \cot(x) $$
这等于右边。
例题 3：复合角
证明恒等式：$$ 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $$
解答：
使用二倍角恒等式 $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$。通过代入 $\theta = 2x$，我们可以将 $\sin(4x)$ 重写为 $2 \sin(2x) \cos(2x)$。
将其代入给定恒等式的右边：
$$ \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} $$
约去 $\cos(2x)$：
$$ = 2 \sin(2x) $$
再次对 $\sin(2x)$ 应用二倍角恒等式：
$$ = 2 \times [2 \sin(x) \cos(x)] $$
$$ = 4 \sin(x) \cos(x) $$
这等于左边。
例题 4：求解三角方程
求解三角方程：
$$ \sin(x) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2\pi $$
解答：
利用恒等式 $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$，通过令 $\theta = \dfrac{x}{2}$ 来重写 $\sin(x)$：
$$ \sin(x) = \sin\left(2 \left( \dfrac{x}{2} \right)\right) = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) $$
将其代入原方程：
$$ 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 $$
提取公因式 $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$：
$$ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \left( 2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 \right) = 0 $$
这产生两个需要分别求解的方程：
a) $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$
对应的角解为 $\dfrac{x}{2} = 0$ 和 $\dfrac{x}{2} = \pi$。
求解 $x$ 得到：$x = 0$ 和 $x = 2\pi$。
b) $2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 = 0$
可以写为 $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$。
对应的角解为 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{2\pi}{3}$ 和 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{3}$。
求解 $x$ 得到：$x = \dfrac{4\pi}{3}$ 和 $x = \dfrac{8\pi}{3}$。
注意 $\dfrac{8\pi}{3}$ 大于 $2\pi$，超出了给定的区间，因此被舍弃。
最终解集： $\left\{ 0, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi \right\}$
例题 5：因式分解方程
求解三角方程：
$$ (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2\pi $$
解答：
已知方程已经处于因式分解形式，可以直接拆分为两个方程求解：
$$ 2\sin(x) - 1 = 0 \quad \text{and} \quad \tan(x) - 1 = 0 $$
上述方程可以写为：
$$ \sin(x) = \dfrac{1}{2} \quad \text{and} \quad \tan(x) = 1 $$
方程 $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 内的解为：
$$ x = \dfrac{\pi}{6} \quad \text{and} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} $$
方程 $\tan(x) = 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 内的解为：
$$ x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{and} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} $$
最终解集： $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$
例题 6：和差公式
求解三角方程：
$$ \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2\pi $$
解答：
利用公式 $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$ 来化简表达式。在此令 $A = 2x$ 且 $B = x$：
$$ \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) $$
因此原方程可以写为：
$$ \cos(3x) = 0 $$
既然 $x \in [0, 2\pi]$，则 $3x$ 的定义域为 $[0, 6\pi]$。求解 $3x$ 的方程以获取在此扩展区间内余弦函数的所有零点：
$$ 3x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{2} $$
各项同除以 $3$ 来求解 $x$：
最终解集： $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}$
例题 7：化简表达式
化简三角表达式：
$$ \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1} $$
解答：
利用恒等式 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ 和 $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$ 来重写表达式：
$$ \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1} $$
通过抵消 $1$ 和 $-1$ 来化简分母：
$$ = \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{-2 \sin^2(x) + \sin(x)} $$
从分子中提取 $\cos(x)$，从分母中提取 $\sin(x)$：
$$ = \dfrac{\cos(x)(2 \sin(x) - 1)}{\sin(x)(-2 \sin(x) + 1)} $$
注意 $(2 \sin(x) - 1)$ 和 $(-2 \sin(x) + 1)$ 互为相反数（相乘等于 $-1$）。约去它们，留下一个 $-1$：
$$ = - \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$
$$ = - \cot(x) $$
例题 8：计算精确值
证明：
$$ \sin(105^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$
解答：
$105^\circ$ 可以写成两个特殊角的和：
$$ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $$
因此：
$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) $$
利用恒等式 $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$ 写出：
$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) $$
代入特殊角的精确值表格：
$$ = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $$
分数相乘：
$$ = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} $$
$$ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$
例题 9：多倍角计算
若 $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$ 且 $x$ 是锐角，求下列各式的精确值：
- $\cos(2x)$
- $\cos(4x)$
- $\sin(2x)$
- $\sin(4x)$
解答：
若 $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$，利用勾股恒等式 $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$：
$$ \cos(x) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{25}} = \sqrt{\dfrac{21}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} $$
a) 求 $\cos(2x)$：
利用恒等式 $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$：
$$ \cos(2x) = 1 - 2\left(\dfrac{4}{25}\right) = 1 - \dfrac{8}{25} = \dfrac{17}{25} $$
c) 先求 $\sin(2x)$（b 和 d 需要用到）：
利用恒等式 $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$：
$$ \sin(2x) = 2 \left(\dfrac{2}{5}\right) \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right) = \dfrac{4\sqrt{21}}{25} $$
b) 求 $\cos(4x)$：
利用恒等式 $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$：
$$ \cos(4x) = 2\left(\dfrac{17}{25}\right)^2 - 1 = 2\left(\dfrac{289}{625}\right) - 1 = \dfrac{578}{625} - \dfrac{625}{625} = -\dfrac{47}{625} $$
d) 求 $\sin(4x)$：
利用恒等式 $\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$：
$$ \sin(4x) = 2 \left(\dfrac{4\sqrt{21}}{25}\right) \left(\dfrac{17}{25}\right) = \dfrac{136\sqrt{21}}{625} $$
例题 10：几何应用
求下图中的边 $AB$ 的长度。将答案四舍五入到 3 个有效数字。
解答：
注意三角形 $DAC$ 是等腰三角形。因此，如果我们从 $D$ 向 $AC$ 作垂线，它将把 $AC$ 分成相等的两半，并平分角 $D$。
利用斜边为 $AD$（$10$ 个单位）且夹角为 $\dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$ 的直角三角形，我们可以写出：
$$ \sin(35^\circ) = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{10} \implies \dfrac{1}{2}AC = 10 \sin(35^\circ) $$
从而得到：
$$ AC = 20 \sin(35^\circ) $$
接着，注意三角形 $ABC$ 的两个内角 $B$ 和 $C$ 相加等于 $90^\circ$，因此三角形 $ABC$ 的第三个角（角 $A$）是直角。
因此我们可以写出：
$$ \tan(32^\circ) = \dfrac{AB}{AC} $$
从而得到：
$$ AB = AC \tan(32^\circ) $$
将 $AC$ 的值代入方程：
$$ AB = 20 \sin(35^\circ)\tan(32^\circ) \approx 7.17 \quad \text{（四舍五入到 3 个有效数字）} $$
挑战题
通过这些高级三角情境测试您对恒等式和代数运算的掌握程度。
挑战题 1：三角代换
求解 $x \in [0, 2\pi]$ 范围内该方程的所有实数值：
$$ 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$
解答：
利用勾股恒等式 $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ 将所有项用余弦表示：
$$ 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0 $$
$$ 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$
两边同乘以 $-1$ 使首项系数为正：
$$ 2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0 $$
令 $u = \cos(x)$ 呈现二次型：
$$ 2u^2 - 3u - 2 = 0 \implies (2u + 1)(u - 2) = 0 $$
这产生两个方程：
$$ \cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad \text{and} \quad \cos(x) = 2 $$
因为余弦函数的值域为 $[-1, 1]$，方程 $\cos(x) = 2$ 无实数解。
在区间 $[0, 2\pi]$ 内求解 $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ 得：
$$ x = \dfrac{2\pi}{3}, \ \dfrac{4\pi}{3} $$
挑战题 2：和差化积证明
证明下列恒等式：
$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x) $$
解答：
我们可以从左边开始，应用和差化积恒等式：
$$ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right) $$
令 $A = 3x$ 且 $B = x$。将它们代入公式：
$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) $$
化简三角函数内部的分数：
$$ = 2\sin\left(\dfrac{4x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2x}{2}\right) $$
$$ = 2\sin(2x)\cos(x) $$
恒等式得证。