我们从给定恒等式的左边开始：

使用恒等式 \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \) 改写左边： \[ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) \] \[ = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) \] \[ = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \] \[ = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} \] \[ = \dfrac{ \sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \] \[ = \sin^2(x) \tan^2(x) \] 这与给定恒等式的右边相等。

使用恒等式 \( \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 \) 和 \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) 改写左边： \[ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} \] \[ = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \] \[ = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \] \[ = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x)) } \] \[ = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \] \[ = \cot(x) \] 这与给定恒等式的右边相等。

使用恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) 可得 \( \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) \)，代入右边： \[ \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)}\] \[ = 2 \sin(2x) \] \[ = 2 \times 2 \sin(x) \cos(x) \] \[ = 4 \sin(x) \cos(x) \] 这与给定恒等式的左边相等。

使用恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) 将 \( \sin(x) \) 写为： \[ \sin(x) = \sin(2 ( x/2 ) ) = 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) \] 代入原方程： \[ 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) + \sin(x / 2) = 0 \] 提取公因式 \( \sin(x / 2) \)
\[ \sin(x/2) ( 2 \cos(x/2) + 1 ) = 0 \] 得到两个方程： \[ \sin(x/2) = 0 \quad \text{和} \quad 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \] a) 方程 \( \sin(x / 2) = 0 \) 的解为 \( x / 2 = 0 \) 和 \( x / 2 = \pi \)

解得：\( x = 0 \) 和 \( x = 2 \pi \)

b) 方程 \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \) 可写为： \[ \cos(x/2) = -1/2 \] 解为 \( x/2 = 2 \pi/3 \) 和 \( x/2 = 4 \pi/3 \)

解得：\( x = 4 \pi/3 \) 和 \( x = 8 \pi/3 \)

注意 \( 8 \pi/3 > 2 \pi \)，故舍去。

最终解为：\( \{ 0 , 4 \pi/3 , 2 \pi \} \)

方程已因式分解： \[ (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \] 得到两个方程： \[ 2\sin(x) - 1 = 0 \quad \text{和} \quad \tan(x) - 1 = 0 \] 即： \[ \sin(x) = 1/2 \quad \text{和} \quad \tan(x) = 1 \] 方程 \( \sin(x) = 1/2 \) 的解为： \[ x = \pi/6 \quad \text{和} \quad x = 5 \pi/6 \] 方程 \( \tan(x) = 1 \) 的解为： \[ x = \pi /4 \quad \text{和} \quad x = 5 \pi/4 \] 在给定区间内的解为：\[ \{\pi/6, 5 \pi/6 , \pi /4 , 5 \pi/4 \} \]

使用公式 \( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \) 可得： \[ \cos(3x) = \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) \] 因此原方程： \[ \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \] 可写为： \[ \cos(3x) = 0 \] 解 \( 3x \)： \[ 3x = \pi/2 , 3x = 3\pi/2 , 3x = 5\pi/2 , 3x = 7\pi/2 , 3x = 9\pi/2 , 3x = 11\pi/2 \] 解得 \( x \)：\[ \{\pi/6, \pi/2, 5\pi/6, 7\pi/6, 3\pi/2 , 11\pi/6 \} \]

使用恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) 和 \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \) 改写表达式： \[ \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } = \dfrac{ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1 } \] 化简并因式分解： \[ = \dfrac{\cos(x)( 2 \sin(x) -1) }{ \sin(x)( - 2 \sin(x) + 1) } \] 化简： \[ = - \dfrac{\cos(x)}{ \sin(x)} \] \[ = - \cot(x) \]

将 \( 105^{\circ} \) 写为两个特殊角之和： \[ 105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}\] 因此： \[ \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) \] 使用恒等式 \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)： \[ \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) + \cos(60^{\circ}) \sin(45^{\circ}) \] 代入特殊角值： \[ = (\sqrt {3} / 2 )(\sqrt {2}/2) + (1/2)(\sqrt {2}/2) \] \[ = \dfrac{ \sqrt {6} + \sqrt {2} } {4} \]

由 \( \sin(x) = 2/5 \) 得 \( \cos(x) = \sqrt {1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - (2/5)^2} = \sqrt{21}/5 \)

1. 使用恒等式：\( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) = 17/25 \)
2. 使用恒等式：\[ \cos(4x) = 1 - 2 \sin^2(2 x) \] \[ = 1 - 2 [ 2\sin(x) \cos(x) ]^2 \] \[ = 457 / 625 \]
3. 使用恒等式：\[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) = 4 \sqrt{21}/25 \]
4. 使用恒等式：\[ \sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \cos(2x) \sin(2x) \] \[ = 2 (17/25)(4 \sqrt{21}/25) = 136 \sqrt{21} / 625 \]

注意三角形 \( DAC \) 是等腰三角形，因此从 D 向 AC 作垂线会平分 AC 并平分角 D。故有：

在斜边为 AD 的直角三角形中： \[ (1/2) AC = 10 \sin(35^{\circ}) \] 得： \[ AC = 20 \sin(35^{\circ}) \] 注意三角形 ABC 的两个内角 B 和 C 之和为 \( 90^{\circ} \)，因此第三个角为直角。 故有： \[ \tan(32^{\circ}) = AB / AC \] 得： \[ AB = AC \tan(32^{\circ}) \] \[ = 20 \sin(35^{\circ})\tan(32^{\circ}) \approx 7.17 \quad \text{(保留3位有效数字)} \]