交互式梯度和等高线图探索器

二元函数 $f(x,y)$ 的梯度，记作 $\nabla f(x,y)$，是偏导数的向量： \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right). \] 因此，您将 $f(x,y)$ 对 $x$ 求导时将 $y$ 视为常数，然后对 $y$ 求导时将 $x$ 视为常数。

梯度的解释

• 它是一个指向函数最陡增加方向的向量。
• 其大小告诉您增加的陡峭程度。
• 在点 $(x_0, y_0)$ 处，梯度向量为：

\[ \nabla f(x_0,y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right). \] 这个交互式工具允许您可视化3D曲面、其等高线图和梯度向量场之间的关系。探索梯度向量如何始终指向最陡上升方向并与等高线垂直。您可以自定义函数、定义域边界和可视化选项，以更好地理解多元微积分概念。