棣莫弗定理可视化器 | 复数实验室

棣莫弗定理

棣莫弗定理是复数理论中的一个基本结果，它将复数与三角学联系起来。它提供了一种强大的方法来计算复数的幂和根。

定理内容

对于任何极坐标形式的复数和任意整数n：

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \]

应用

• 计算幂：该定理通过将模自乘n次并将幅角乘以n，简化了将复数提升到整数幂的过程。
• 求根：该定理可以推广到使用以下公式求复数的n次根：

\[ \sqrt[n]{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \]

其中 \( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \)，给出 \( n \) 个根： \( \; w_0, \; w_1, ..., \; w_{n-1} \)

如何使用此工具

• 输入复数的实部和虚部
• 选择计算幂或根
• 设置指数（用于幂）或根的次数（用于根）
• 点击"计算与可视化"查看结果
• 使用缩放控件调整复平面的视图

可视化显示了原始复数及其计算得到的幂或根在复平面上的位置，其中正角从正实轴逆时针测量，负角顺时针测量。