一个在线计算器，用于计算方阵的 LU 分解。

给定矩阵 \( A \) 的 \( LU \) 分解表示为： \[ A = L U \] 其中 \( L \) 是下三角矩阵，\( U \) 是上三角矩阵。

注意：并非所有方阵都有 LU 分解。可逆矩阵 \( A \) 具有 \( LU \) 分解当且仅当其所有顺序主子式均非零。

LU 分解（也称为 LU 因式分解）是一种基本的线性代数技术，它将方阵 \(A\) 分解为下三角矩阵 \(L\) 和上三角矩阵 \(U\) 的乘积：

\[ A = L \times U \]

主要应用与重要性：

求解线性方程组：一旦建立了 \(A = LU\)，求解 \(Ax = b\) 就简化为求解 \(Ly = b\)（前向代入），然后求解 \(Ux = y\)（后向代入）。
计算行列式：\(A\) 的行列式等于 \(U\) 的对角线元素之积。
矩阵求逆：便于高效计算矩阵的逆。
数值稳定性：与部分主元法配合使用时，可提供稳健的解决方案。
效率：对于求解具有相同系数矩阵的多个方程组，将计算复杂度降低至 \(O(n^2)\)。

通过高斯消元步骤计算：

步骤 1：从原始矩阵 \(A\) 开始。
步骤 2：对于每一列 \(k\)（从 1 到 \(n-1\)），计算乘数 \(m_{ik} = \frac{a_{ik}}{a_{kk}}\)（对于行 \(i > k\)），并消去次对角线元素。
步骤 3：得到的上三角矩阵构成 \(U\)。
步骤 4：构造 \(L\)，其对角线元素为 1，乘数 \(m_{ik}\) 存储在其各自的位置上。

LU 矩阵分解计算器

矩阵输入