方阵的行列式

2 × 2 矩阵的行列式 - 定义

为了解释线性代数中行列式的概念，我们从含未知数 $x$ 和 $y$ 的 2 × 2 方程组开始：

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]

将方程组中第一个方程的所有项乘以系数 $e$，第二个方程的所有项乘以系数 $-b$，得到等价方程组：

\[ \begin{cases} aex + bey = ce \\ -dbx - eby = -fb \end{cases} \]

将上述方程的左右两边分别相加并化简，得到一个只含一个变量的方程：

\[ aex - dbx = ce - fb \]

解出 $x$：

\[ x = \frac{ce - bf}{ae - bd} \]

同样地，我们可以求出 $y$：

\[ y = \frac{af - cd}{ae - bd} \]

我们注意到 $x$ 和 $y$ 都表示为具有相同分母 $ae - bd$ 的比值，我们将其定义为方阵 $A$ 的行列式，即由下式给出的标量：

\[ \det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = ae - bd \]

使用行列式，我们可以将 2 × 2 方程组的解写为：

\[ x = \frac{\begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}} , \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}} \]

同样地，我们可以用 $n \times n$ 方阵的行列式来表示任意 $n \times n$ 方程组的解。行列式是用于求解方程组、计算矩阵的逆以及许多其他应用的标量。

注意，$1 \times 1$ 矩阵的行列式等于该矩阵中的元素：

\[ \det[-2] = -2 \]

3 × 3 或更高阶矩阵的行列式 - 余子式与代数余子式

计算矩阵行列式的一种方法是使用方阵的余子式和代数余子式。

方阵的余子式

$n \times n$ 方阵中对应于元素 $(A)_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 是删除矩阵 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1) \times (n-1)$ 矩阵的行列式。

方阵的代数余子式

代数余子式 $C_{ij}$ 由 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 给出。

• $C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = -23, \quad C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -47, \quad C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = -18$
• $C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -19, \quad C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = -13, \quad C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -12$
• $C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = 11, \quad C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = 11, \quad C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 0$

代数余子式矩阵为：

\[ C = \begin{bmatrix} -23 & -47 & -18 \\ -19 & -13 & -12 \\ 11 & 11 & 0 \end{bmatrix} \]

使用代数余子式求行列式

知道了代数余子式，方阵的行列式可以通过将任意行或列中的元素与其对应的代数余子式的乘积相加来计算。

使用第 1 行：

\[ \det(A) = (A)_{11} C_{11} + (A)_{12} C_{12} + (A)_{13} C_{13} = (-2)(-23) + (2)(-47) + (1)(-18) = -66 \]

使用第 2 行：

\[ \det(A) = (A)_{21} C_{21} + (A)_{22} C_{22} + (A)_{23} C_{23} = (3)(-19) + (-3)(-13) + (4)(-12) = -66 \]

注意 $C_{33} = 0$，因此使用第 3 行或第 3 列计算更高效：

使用第 3 行：

\[ \det(A) = (A)_{31} C_{31} + (A)_{32} C_{32} + (A)_{33} C_{33} = (-5)(11) + (-1)(11) + (9)(0) = -66 \]

使用第 3 列：

\[ \det(A) = (A)_{13} C_{13} + (A)_{23} C_{23} + (A)_{33} C_{33} = (1)(-18) + (4)(-12) + (9)(0) = -66 \]

注意：

1. 计算方阵的行列式时，使用零元素最多的行或列更高效。
2. 代数余子式方法对于大维度矩阵效率不高。还有一种基于行运算求行列式的方法。

行列式的性质

1. $\det(I_n) = 1$，任意阶单位矩阵的行列式等于 1。
2. 有一行或一列为零的方阵的行列式等于零。
3. 任意三角矩阵的行列式等于主对角线（从左上到右下）上元素的乘积。
4. $\det(A B) = \det(A) \det(B)$
5. $\det(A^T) = \det(A)$，其中 $A^T$ 是 $A$ 的转置。
6. $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$，其中 $A^{-1}$ 是 $A$ 的逆。
7. $\det(k A) = k^n \det(A)$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$k$ 是常数。
8. 如果矩阵 $B$ 由矩阵 $A$ 的某一行或某一列乘以常数 $k$ 得到，则 $\det(B) = k \det(A)$。
9. 如果方阵的两行或两列相同，则该矩阵的行列式等于零。
10. 如果方阵的两行或两列互换，则该矩阵的行列式变号。
11. 如果将一行的倍数加到另一行，行列式不变。

行列式习题

1. 第 1 部分
   计算以下各矩阵的余子式矩阵和代数余子式矩阵： \[ a) \, A = \begin{bmatrix} -1 & 23 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad b) \, B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\ -5 & 2 & -9 \end{bmatrix} \]
2. 第 2 部分
   求以下各矩阵的行列式（如果定义）： \[ a) \, A = \begin{bmatrix} -1 & 23 & 10 \\ 0 & -2 & -11 \end{bmatrix}, \quad b) \, B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -3 & -1 \\ -5 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad c) \, C = \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix}, \quad d) \, D = \begin{bmatrix} -6 & -4 & 2 \\ 0 & -3 & 23 \\ 0 & 4 & 9 \end{bmatrix}, \quad e) \, E = \begin{bmatrix} -3 & -3 & -4 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \]
3. 第 3 部分
   解以下各方程求 $x$： \[ a) \, \begin{vmatrix} x & 8 \\ 2 & x \end{vmatrix} = 0, \quad b) \, \begin{vmatrix} x - 6 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3, \quad c) \, \begin{vmatrix} x - 6 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -2x \\ -2 & 6 \end{vmatrix} \]
4. 第 4 部分
   求下面给出的矩阵 $A$ 和 $B$ 的行列式： \[ a) \, A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}, \quad b) \, B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 7 \\ -4 & 4 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 9 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 7 & 11 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & -6 \end{bmatrix} \]
5. 第 5 部分
   已知 $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = K$，求以下各式：
   a) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ -4g & -4h & -4i \end{vmatrix}$, \quad b) $\begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix}$, \quad c) $\begin{vmatrix} 3d & 3e & 3f \\ -4a & -4b & -4c \\ 7g & 7h & 7i \end{vmatrix}$, \quad d) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d - 8a & e - 8b & f - 8c \\ g & h & i \end{vmatrix}$

上述习题的解答

1. 第 1 部分解答
   a) 给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} -1 & 23 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$，首先计算余子式矩阵：
   $M_{11} = -2, \quad M_{12} = 2, \quad M_{21} = 23, \quad M_{22} = -1$
   余子式矩阵 $M$ 为： \[ M = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 23 & -1 \end{bmatrix} \] 使用 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，代数余子式矩阵为： \[ C = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -23 & -1 \end{bmatrix} \]
   b) 给定矩阵 $B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\ -5 & 2 & -9 \end{bmatrix}$：
   $M_{11} = 40, \quad M_{12} = -28, \quad M_{13} = -16$
   $M_{21} = -6, \quad M_{22} = 24, \quad M_{23} = -2$
   $M_{31} = 12, \quad M_{32} = -4, \quad M_{33} = 4$
   余子式矩阵 $M$ 为： \[ M = \begin{bmatrix} 40 & -28 & -16 \\ -6 & 24 & -2 \\ 12 & -4 & 4 \end{bmatrix} \] 代数余子式矩阵 $C$ 为： \[ C = \begin{bmatrix} 40 & 28 & -16 \\ 6 & 24 & 2 \\ 12 & 4 & 4 \end{bmatrix} \]
2. 第 2 部分解答
   a) 矩阵 $A$ 不是方阵，因此其行列式未定义。
   b) $\det(B) = 2 \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = 2(-6 - 1) + 1(-3 - 15) = -32$。
   c) 矩阵 $C$ 只有一个元素，因此 $\det(C) = -3$。
   d) 使用第 1 列：$\det(D) = -6 \left( (-3)(9) - (23)(4) \right) = -6(-27 - 92) = 714$。
   e) 矩阵 $E$ 是三角矩阵：$\det(E) = (-3)(4)(5) = -60$。
3. 第 3 部分解答
   a) $\begin{vmatrix} x & 8 \\ 2 & x \end{vmatrix} = x^2 - 16 = 0 \implies x = 4, x = -4$。
   b) $\begin{vmatrix} x - 6 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3(x-6) - (-2)(1) = 3x - 16 = -3 \implies x = 13/3$。
   c) $3x - 16 = 12 - 4x \implies 7x = 28 \implies x = 4$。
4. 第 4 部分解答
   a) $\det(A) = \det\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \det\begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = (20)(-8) = -160$。
   b) $\det(B) = (4)((-1)(8) - (7)(4)) \times (-6)((5)(1) - (9)(-3)) \times (1)((-7)(-6) - (2)(7)) = (4)(-36)(-6)(32)(1)(28) = 774144$。
5. 第 5 部分解答
   a) $-4K$
   b) $-K$
   c) $(3)(-4)(7)K = -84K$
   d) $K$

更多参考与链接

• 用行运算求行列式
• 在线计算器：3 乘 3 矩阵的行列式
• 计算 3 乘 3 矩阵行列式的逐步求解器
• 行列式