下面给出矩阵的示例与习题及其详细逐步解答，帮助您掌握线性代数的基础概念。
以下是矩阵（matrix 的复数）的示例：
\[ \text{a)} \; \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & -3 & 4 & -9 \end{bmatrix} \qquad \text{b)} \; \begin{bmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 4 \\ 7 & -9 & 0 \end{bmatrix} \qquad \text{c)} \; \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 6 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \]m × n（读作“m 乘 n”）矩阵是将数（或代数表达式）排列成 m 行和 n 列。给定矩阵中的每个数称为元素。
零矩阵的所有元素都等于零。
只有一行的矩阵称为行矩阵。只有一列的矩阵称为列矩阵。
以下矩阵有 3 行 6 列：
\[ \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 & -6 & 0 & 1 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 & -7 \\ 1 & 7 & 8 & 0 & 5 & -2 \end{bmatrix} \]矩阵的阶（或维度或大小）表示行数和列数。在此例中，阶为 3 × 6（读作“3 乘 6”）。
矩阵 \( A \) 中第 i 行和第 j 列的元素记为 \( (A)_{ij} \) 或 \( a_{ij} \)。
在下面所示的矩阵 \( A \) 中，\( a_{11} = 5 \)，\( a_{12} = 2 \)，等等。等价地，\( (A)_{11} = 5 \)，\( (A)_{12} = 2 \)，等等。
\[ \textbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 7 & -3 \\ -9 & -2 & -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \end{bmatrix} \]方阵的行数等于列数。
对于以下每个矩阵，确定其阶并说明是否为方阵。
\[ a) \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & -7 & -9 \end{bmatrix} \;\;\;\; b) \begin{bmatrix} -6 & 2 & 0 \\ 3 & -3 & 4 \\ -5 & -11 & 9 \end{bmatrix} \;\;\;\; c) \begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 & -2 \end{bmatrix} \;\;\;\; d) \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \;\;\;\; e) \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} \]单位矩阵 \( I_n \) 是 \( n \times n \) 方阵，其主对角线上的所有元素都等于 1，其他所有元素都等于零。
以下是所有单位矩阵：
\[ I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]对角矩阵是方阵，除主对角线（从左上到右下）上的元素外，所有元素都等于零。
\[ A = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]上三角矩阵是主对角线以下所有元素都等于零的方阵。
下三角矩阵是主对角线以上所有元素都等于零的方阵。
下面的矩阵 \( U \) 是上三角矩阵的示例。矩阵 \( L \) 是下三角矩阵的示例。
\[ U = \begin{bmatrix} 6 & 2 & -5 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad L = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 10 & 9 & 2 \end{bmatrix} \]\( m \times n \) 矩阵 \( A \) 的转置记为 \( A^T \)，阶为 \( n \times m \)，定义为：
\[ (A^T)_{ij} = (A)_{ji} \]矩阵 \( A^T \) 通过交换矩阵 \( A \) 的行和列得到。
如果方阵的元素满足 \( A_{ij} = A_{ji} \)，则称其为对称矩阵。换句话说，如果 \( A = A^T \)，则 \( A \) 是对称的。
对称矩阵的示例：
\[ \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & 7 \\ 1 & 7 & 8 \end{bmatrix} \]给定矩阵：
\[ A = \begin{bmatrix} -1 & 23 & 10 \\ 0 & -2 & -11 \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} -6 & 2 & 10 \\ 3 & -3 & 4 \\ -5 & -11 & 9 \\ 1 & -1 & 9 \end{bmatrix} ,\quad C = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 9 & -5 & 7 \end{bmatrix} \] \[ D = \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} ,\quad E = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} ,\quad F = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -11 \\ 7 \end{bmatrix} ,\quad G = \begin{bmatrix} -6 & -4 & 23 \\ -4 & -3 & 4 \\ 23 & 4 & 9 \end{bmatrix} \]a) A：2 × 3，B：4 × 3，C：1 × 5，D：2 × 2，E：1 × 1，F：4 × 1，G：3 × 3
b) D、E 和 G
c) E 和 G
d) B
e) A 和 B
f) E 和 F
g) E 和 C
h)
\[ A^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 23 & -2 \\ 10 & -11 \end{bmatrix} ,\quad C^T = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 9 \\ -5 \\ 7 \end{bmatrix} ,\quad E^T = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} ,\quad G^T = \begin{bmatrix} -6 & -4 & 23 \\ -4 & -3 & 4 \\ 23 & 4 & 9 \end{bmatrix} \]给定矩阵：
\[ A = \begin{bmatrix} 23 & 10 \\ 0 & -11 \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} -6 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ -5 & 3 & -9 \end{bmatrix} ,\quad C = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \] \[ D = \begin{bmatrix} -7 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} ,\quad E = \begin{bmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 23 & 0 \\ 0 & 0 & -19 \end{bmatrix} \]a) C 和 E
b) B
c) A 和 D